Система счисления

Система счисления (нумерация лат. numeratio) - метод обозначения чисел посредством знаков - цифр, или слов. Система обозначения, основанная на цифрах - письменная нумерация. Система обозначения, основанная на словах - словесная нумерация.

Системы счисления разделяют на позиционные и непозиционные.

Различие позиционных систем счисления от непозиционных состоит в том, что значение цифр в позиционной системе зависит от позиции в числе, а в непозиционной - не зависит. Примеры позиционных систем счисления: десятичная система счисления, основанная на арабских цифрах; система Майя (20-ричная). Примеры непозиционных систем счисления - римская, старая и новая греческая, славянская.

Позиционные и многие непозиционные системы счисления имеют так называемое основание. Основание также определяет деления чисел на порядки. Числа, меньшие основания, называются числами первого порядка, до второй степени основания (n·n) - числами второго и так далее. Числа, соотносящиеся на основание, считаются различающимися на один порядок.

Системы счисления, обладающие основанием, имеют регулярную структуру названий - числа, отличающиеся на порядок, образуются подобным образом. Для позиционных систем счисления основание означает, во сколько раз изменится значение цифры при смещении на одну позицию - 3 и 30 в десятичной системе отличаются в десять раз. Непозиционные системы счисления обычно включают знаки для чисел, меньших основания и помноженных на целую степень основания, например римская - I=1, V=5, X=10, L=50, C=100 - цифры I к X и к C, относятся как основание системы счисления, аналогично относятся V и L.

Системы счисления, также различающиеся тем, как образуются числа внутри порядка. Один очевидный способ образования - повторение символа единицы необходимое количество раз - он используется во многих древних системах - египетской, старой греческой, римской и других. Такой подход обеспечивает использование достаточно малое количество различных символов, но является весьма расточительным. Нередким в таких системах было использование дополнительного основания, меньшего основного. Числа, одного порядка формировались аналогично с использованием дополнительного основания. Это позволяло значительно сократить количество повторений. Дополнительными основаниями часто служили 5 и 10. Так, отдельный символ для обозначения 5 есть в старой греческой и римской нумерации - Γ и V, а также у майя 5 в качестве промежуточного основания связан со счётом по пальцам, и обозначал, что закончились пальцы на руке (или ноге). Промежуточное основание 10 использовалось в древневавилонской клинописной 60 системе счисления.

Другой способ, использовавшийся в более новых - использование различных символов. Такой подход используется широко используемой десятичной системе счисления – цифры 1, 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Такой же подход применялся в новогреческой и заимствованной от неё древнерусской. В них в качестве цифр использовались буквы - в новой греческой это греческий алфавит, в древнерусской – кириллица или глаголица, причём цифровые значения букв кириллица полностью соответствовали таковым в греческом, у глаголицы отличались. Эти системы использовали 27 букв со значениями: от 1 до 9 через один, 10 по 90 через десяток, 100 по 900 — через сотню.

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления появились исторически первыми. В этих системах значение каждого цифрового символа постоянно и не зависит от его положения. Простейшим случаем непозиционной системы является единичная, для которой для обозначения чисел используется единственный символ, как правило это черта, иногда точка, которых всегда ставится количество, соответствующее обозначаемому числу:

1 — |

2 — ||

3 — |||, и т. д.

Таким образом, этот единственный символ имеет значение единицы, из которой последовательным сложением получается необходимое число:

Модификацией единичной системы является система с основанием, в которой есть символы не только для обозначения единицы, но и для степеней основания. Например, если за основание взято число 5, то будут дополнительные символы для обозначения 5, 25, 125 и так далее.

Примером такой системы с основанием 10 является древнеегипетская, возникшая во второй половине третьего тысячелетия до новой эры. В этой системе имелись следующие иероглифы:

шест - единицы,

дуга - десятки,

пальмовый лист - сотни,

цветок лотоса - тысячи.

Числа получались простым сложением, порядок следования мог быть любым. Так, для обозначения, например, числа 3815, рисовали три цветка лотоса, восемь пальмовых листов, одну дугу и пять шестов. Более сложные системы с дополнительными знаками — старая греческая, римская. Римская также использует элемент позиционной системы - большая цифра, стоящая перед меньшей, прибавляется, меньшая перед большей - вычитается: IV = 4, но VI = 6, этот метод, правда, применяется исключительно для обозначения чисел 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000, и производных их сложением.

Новогреческая и древнерусская системы использовали в качестве цифр 27 букв алфавита, где ими обозначалось каждое число от 1 до 9, а также десятки и сотни. Такой подход обеспечил возможность записывать числа от 1 до 999 без повторений цифр.

В старорусской системе для обозначения больших чисел использовались специальные обрамления вокруг цифр.

В качестве словесной системы нумерации до сих пор практически везде используется непозиционная. Словесные системы нумерации сильно привязаны к языку, и общие их элементы в основном относятся к общим принципам и названиям больших чисел (триллион и выше). Общие принципы, положенные в основу современных словесных нумераций предполагают формирование обозначения посредством сложения и умножения значений уникальных названий.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления важную роль играет порядок следования цифр. Каждая цифра в позиционной записи имеет свою позицию, которая определяет её численное значение. Позиции цифр носят название разрядов.

Для позиционной с. с. Выбирается основанием некоторое натуральное число большее или равное двум. Любое неотрицательное целое число представляется как сумма степеней n с целыми коэффициентами в диапазоне от 0 до n-1. Эти коэффициенты записываются в виде цифр выбранной системы счисления.

Общая система счисления может быть определена, как такая группировка целых и дробных чисел, при которой каждое из них представляется формулой:

,

в которой n означает основание системы счисления, а символ ai - i-тую цифру записи числа, ai должно лежать в диапазоне от 0 доn-1. Индекс при цифре является номером разряда.

В информатике и вычислительной технике часто используются основания 2 (двоичная), 8 (восмеричная) и 16 (шестнадцатеричная). Двоичная система счисления связана с особенностями функционирования цифровых электронных схем, работающих с двумя состояниями, выражаемыми цифрами 0 и 1. Использование систем счисления с основаниями 8 и 16 связано с тем, что для удобства двоичные цифры группируются по 3 и 4 соответственно, что позволяет использовать более компактную запись. В шестнадцатеричной и других системах счисления с основанием больше десяти используют в качестве недостающих цифр буквы латинского алфавита: A - F.

Шестнадцатеричная система счисления  используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь – специалист в области информатики. В такой форме представляется содержимое любого файла, затребованное через интегрированные оболочки операционной системы, например, средствами Norton Commander в случае MS DOS. Используемые знаки для представления числа – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F.

Десятичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является так называемый конечный пользователь – неспециалист в области информатики (очевидно, что и любой человек может выступать в роли такого потребителя). Используемые знаки для представления числа – цифры от 0 до 9.

Соответствие между первыми несколькими натуральными числами всех трех систем счисления представлено в таблице перевода:

Десятичная система	Двоичная система	Шестнадцатеричная система
0	0	0
1	1	1
2	10	2
3	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F
16	10000	10

Для различения систем счисления, в которых представлены числа, в обозначение двоичных и шестнадцатеричных чисел вводят дополнительные реквизиты:

для двоичных чисел – нижний индекс справа от числа в виде цифры 2 или букв В либо b (binary – двоичный), либо знак B или b справа от числа. Например, 1010002 = 101000b = 101000B = 101000B = 101000b;

для шестнадцатеричных чисел - нижний индекс справа от числа в виде числа 16 или букв H либо h (hexadecimal – шестнадцатеричный), либо знак  H или h справа от числа. Например, 3AB16 = 3ABH= 3ABh = 3ABH = 3ABh.

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют определенные правила. Они различаются в зависимости от формата числа – целое или правильная дробь. Для вещественных чисел используется комбинация правил перевода для целого числа и правильной дроби.

Правила и примеры перевода из двоичной в десятичную систему счисления

Имеется следующая последовательность нулей и единиц: - всего 9 разрядов. Необходимо представить ее в десятичном виде. Для перевода в десятичную систему счисления запишем справа налево 9 степеней числа 2 (от 0 до 8 степени), все просто, каждое последующее число получается путем умножения предыдущего на 2:

28	27	26	25	24	23	22	21	20
256	128	64	32	16	8	4	2	1

Запишем под степенями наше двоичное число (слева направо, как есть):

256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	0	1	0	0	1	0	1

Затем найдем сумму тех степеней двойки, под которыми стоят единицы:

256 + 32 + 4 + 1 = 293, это и есть результат перевода:

 = 29310

Итак, запишем правило перевода из двоичной системы счисления в десятичную:

Для перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную сосчитаем количество разрядов N и запишем степени двух от нулевой до N - 1 справа налево (помним, что каждая последующая степень получается умножением предыдушей на 2). Запишем под ними двоичное число и найдем сумму тех степеней, под которыми стоят единицы. Результатом будет десятичное число, представленное в виде суммы различных степеней числа 2.