Лекция 1

Лекция 1

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия относится к базовым общеинженерным дисциплинам, хорошие знания которой, необходимое условие при освоении фундаментальными инженерными дисциплинами. В результате изучения начертательной геометрии будущий специалист должен освоить теоретические основы построения изображения точек, прямых, плоскостей и поверхностей на плоскость; ознакомиться с решением задач на взаимную принадлежность и взаимное пересечение геометрических фигур, определение натуральной величины плоских геометрических фигур; изучить способы построения изображений простых предметов и относящихся к ним условности.

Начертательная геометрия является основой черчения. Чертеж это хорошее средство для получения и запоминания информации. В чертеже сочетается большая ёмкость с малым временем, необходимым для поиска и выбора нужных сведений. В творческом процессе чертёж часто используется для фиксации, проверки и уточнения идей.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А, В, С … ü

ýточки;

1, 2, 3 … þ

a, b, c … - прямые и кривые;

α, β, γ … - плоскость;

П1, П2, П3 … - плоскости проекций;

α0, β0, γ0 … - углы;

А1, А2, А3 … ü

ýпроекции точки;

11, 12, 13 … þ

a1, a2, a3 … ü

ýпроекции прямых и кривых;

b1, b2, b3 … þ

= - равенство;

∩ - пересечение (a∩b);

≡ - совпадение (А1≡В2);

t - пересечение под прямым углом (ab);

∸ - скрещивающиеся прямые ;

- принадлежность;

// - параллельность.

∦ - не параллельность.

МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

Для отображения точек оригинала на чертеже применяют операцию проецирования.

Центральное проецирование.

Центральное (коническое или полярное) проецирование представляет собой общий случай проецирования геометрических образов из некоторого центра на плоскость.

Рис.1

Аппарат проецирования:

1.  Центр проекции, S;

2.  Проецирующий луч, SA;

3.  Геометрическая фигура, A;

4.  Плоскость проекции, Пi.

Имеется плоскость проекции (картинная плоскость, плоскость чертежа) на которой получается изображение оригинала – точка А. Операция проецирования заключается в проведении через точку А прямой, которая называется проецирующей. Точка Аi пересечения проецирующей прямой с плоскостью Пi называется проекцией точки А на плоскость Пi.

Чертёж, построенный по методу проецирования, называется проекционным.

Для определения в пространстве проецирующей прямой зададим точку S≠A, через которую проходят все проецирующие прямые. Точка S называется центром проецирования. Операция в этом случае называется центральным проецированием, а её результат Ai=(SA)∩Пi – центральной проекцией. Так же поступаем с точкой B и C. Bi и Ci – являются центральными проекциями. Если для некоторой точки D проецирующая прямая окажется параллельной плоскости проекции, то принято считать, что они пересекаются, но в бесконечности d∞. Не изменяя плоскости Пi, взяв новый центр S1 – получим новую проекцию точки А – Аi1.

Параллельное проецирование

Другой способ определения проецирующей прямой – задание вектораA Пi, называемого направлением проецирования. Проецирующие прямые строят параллельными проецирующему лучу SA. Операция называется параллельным проецированием. Параллельное (цилиндрическое) проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования с бесконечно удаленным центром проекций.

В случае параллельного проецирования проецирующие прямые наклонены по отношению к плоскости проекции под одним углом γ = .

Если γ≠90°, то проецирование называется косоугольным. Следовательно, и проекция называется косоугольной. Когда γ = 90° проецирование называется прямоугольным (ортогональным), проекция называется прямоугольной (ортогональной).

Рис. 2

Свойства фигур, не изменяющихся при проецировании, называют неизменными или инвариантными свойствами данного проецирования.

Свойства центрального проецирования.

1.  Проекция точки есть точка;

2.  Проекция прямой есть прямая;

3.  Из одного центра можно получить одну единственную точку проекции.

Свойства параллельного проецирования:

Для параллельного проецирования верны свойства центрального проецирования и еще ряд свойств.

1.  Прямая проецируется в виде прямой.

2.  Каждая точка и линия в пространстве имеют единственную проекцию.

3.  Каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая.

4.  Каждая линия на плоскости проекции может быть проекцией множества линий.

5.  Для построения проекции прямой, достаточно спроецировать две её точки и через полученные проекции точек провести прямую линию.

6.  Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой.

7.  Если прямая параллельна направлению проецирования, то проекцией прямой является точка.

8.  Отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекции, проецируется в натуральную величину.

9.  Проекция любой фигуры не может быть больше самой фигуры.

10.  Прямой угол проецируется прямым (без искажения) если одна его сторона параллельна плоскости проекций.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОЧКИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА

По схеме Монжа оригинал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2. (горизонтальный и фронтальный). Они разделяют пространство на четыре области, называемые четвертями (или квадрантами) (рис. 3,а).

а б

Рис. 3

После совмещения плоскостей П1 и П2 в одну плоскость эпюры точек, расположенных в различных четвертях пространства, различаются по внешнему виду. Так, например, мысленно поворачивая плоскость проекции П1 вокруг оси х, можно восстановить положение точек по их параметрам положения, имеющихся на эпюре. Точка А расположена в первой четверти, а точка B – во второй. Для точек, расположенных в разных четвертях, координаты отличаются знаками. Анализирую положение точек В и С по эпюру, устанавливаем, что это точки конкурирующие по отношению к плоскости П1. Сравнивая координаты точек В и С видим, что аппликата т В больше, чем т. С. В связи с этим проекция В1 на плоскости П1 является видимой, а С1 – невидимой. Т. D и Е конкурирующие по отношению к П2, а т. М и N расположены в плоскостях проекций. М П1, а N П2 .

Рассмотрим построение проекций в первой четверти пространства. Выбираем геометрическую фигуру т. А. Проецируем оригинал т. А на плоскости проекций П1, П2 и П3. После проецирования оригинала плоскости П1, П2 и П3 совмещают в одну плоскость. Это достигается путём вращения плоскости вокруг оси ох и оz. Полученный чертёж (рис. 4, б) называется эпюром Монжа. Эпюр содержит изображение всех осей координат, которые называются здесь осями проекций. Обозначение осей проекций дополняется подстрочными индексами, совпадающими с индексами плоскостей проекций, которым ось принадлежит ох12 оу13 и оz23.

Рис. 4

Ортогональные проекции точки А, на плоскостях проекций П1 и П2 называются горизонтальной А1, фронтальной А2 , и профильной А3 проекциями. Информация о параметрах положения точки имеется на плоскостях проекции. Так:

абсцисса |OAx|=|AyA1|

ордината |OAy|=|AxA1|

аппликата |OAz|=|AxA2|

Линии, связывающие пары проекций одной и той же точки и перпендикулярные оси проекций, называются линиями связи. Они являются проекциями соответствующих проецирующих прямых.

Лекция 2

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ЭПЮРЕ МОНЖА

Прямая линия представляет собой линию множества точек, вдоль которой расстояние между двумя ее точками является кратчайшим.

Положим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В. Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, получим проекции отрезка АВ: фронтальную А2В2 и горизонтальную А1В1 и профильную А3В3 (рис.5).

а б

Рис. 5

Положение прямой линии относительно плоскостей проекций

По положению относительно плоскостей проекций различают прямые общего и частного положения.

Прямой общего положения называется прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной плоскости проекций. Она пересекает плоскости проекций под углом отличным от 900. Проекции такой прямой на плоскости проекций отображаются меньше оригинала. Искаженно проецируются и углы наклона этой прямой к плоскостям проекций.

Всякую прямую, параллельную плоскости проекций, называют линией уровня. Различают при основные линии уровня: горизонталь, фронталь, профильная прямая линия.

Горизонталью (рис. 6) называют всякую линию, параллельную горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали всегда перпендикулярна линиям связи. Любой отрезок горизонтали проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину. В натуральную величину проецируется на эту плоскость и угол наклона горизонтали к фронтальной плоскости проекций.

Горизонтали будем обозначать символом h (h1h2).

Рис. 6

Фронталью (рис.7) называют линию, параллельную фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали всегда перпендикулярна линиям связи. Любой отрезок фронтали проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. В натуральную величину проецируется на эту плоскость и угол наклона фронтали к горизонтальной плоскости проекций.

Фронтали будем обозначать символами f (f1f2)

Рис. 7

Профильной линией (рис. 8) называют линию, параллельную профильной плоскости проекции. Горизонтальная и фронтальная проекции профильной линии параллельны линиям связи этих проекций. Любой отрезок профильной линии проецируется на профильную плоскость проекций в натуральную величину.

Рис.8

Проецирующими прямыми называют прямые уровня, перпендикулярные к плоскостям проекций, т. е. линии двойного уровня.

Горизонтально проецирующая прямая (рис. 9) перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций. Любой отрезок этой прямой проецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения, а на горизонтальную плоскость проекций в одну точку.

Рис. 9

Фронтально проецирующая прямая (рис.10) перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций. Любой отрезок этой прямой проецируется на горизонтальную плоскость проекций без искажения, а на фронтальную плоскость проекций в одну точку.

Рис. 10

Профильно проецирующая прямая (рис.11) перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Любой отрезок этой прямой проецируется на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций без искажения, а на профильную плоскость проекций в одну точку.

Рис.11

КОНКУРИРУЮЩИЕ ТОЧКИ

Конкурирующими называются точки, лежащие на одном проецирующем луче.

Рассмотрим проекции прямой ℓ, произвольный отрезок которой GK(G1K1,G2K2) проецируется в точку на горизонтальную плоскость проекций. Концевые точки G и К являются конкурирующими по отношению к плоскости П1. Прямая ℓ ^ П1 и является проецирующей для каждой принадлежащей ей точки.

Рис. 12

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ И УГЛОВ ЕЁ НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ

Длина отрезка, не может измерена на чертеже непосредственно, т. к. [Ai Bi] ≠ [АВ]. В связи с этим, возникает задача изменения длины отрезка прямой по его проекциям. Истинную величину отрезка можно определить различными способами. Один из них – метод прямоугольного треугольника

Этот метод заключается в следующем.

К одной из проекций (любой) восстанавливаем перпендикуляр в любой точке, например В1 (В1К^ А1В1). На перпендикуляре В1К откладываем разницу координат (в данном случае аппликат) В2Вх—А2Ах = В2С2, получим т. к. соединив К и А1 получим отрезок А1К – истинная величина отрезка АВ. Угол между горизонтальной проекцией отрезка АВ А1В1 и истинной величиной А1К=a - есть угол наклона отрезка АВ к плоскости П1. Если решать задачу в плоскости П2, то получим истинную величину отрезка = А1К = А2D и угол наклона отрезка АВ к плоскости П2.

а

б

Рис. 13

Лекция 3 Главные линии плоскости положение двух прямых

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

В пространстве две прямые могут занимать различное положение и могут быть:

параллельными, (рис. 14, а) т. е. не иметь общей точки, но лежать в одной плоскости;

пересекающимися, (рис. 14, б) т. е. лежать в одной плоскости и иметь одну общую точку;

скрещивающимися, ( рис.14, в) т. е. не лежать в одной плоскости.

а б в

Рис. 14

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА.

Плоскостью называется такая поверхность, с которой совпадает всякая прямая, имеющая с ней две общие точки.

Множество элементов плоскости нельзя изобразить на чертеже. Поэтому плоскость принято изображать геометрическими элементами, лежащими в плоскости и определяющие ее.

Плоскость определяется:

·  тремя точками не лежащими на одной прямой;

·  прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;

·  двумя прямыми, пересекающимися в собственной или бесконечно удаленной точке (т. е. параллельными прямыми) ;

·  Плоской фигурой

Любая фигура представляет собой задание плоскости. Плоская фигура придает большую наглядность изображаемой плоскости. В качестве плоской фигуры, задающей плоскость можно выбрать любую фигуру, например, треугольником.

·  Следами.

а б в

г д е

Рис. 18

Во всех случаях задания плоскость считается безграничной.

О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам. Следами принято называть линии пересечения плоскости с плоскостями проекций.

ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.

Заданием трёх произвольных точек плоскости на эпюре Монжа определяют проекции всех остальных точек этой плоскости. Для каждой точки N1 поля плоскости П1 можно найти единственную точку N2 поля плоскости П2 так, чтобы пара точек N1,N2 определяла в пространстве точку N, лежащую в данной плоскости АВС.

а

б

Рис. 21

а

б

Рис. 22

ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

По отношению к плоскостям проекций плоскости могут занимать различные положения.

Плоскостью общего положения называют плоскость, не перпендикулярную плоскостям проекций.

Плоскостями частного положения (т. е. перпендикулярные к плоскостям проекций) называются проецирующими плоскостями.

Горизонтально проецирующей плоскостью называют плоскость, перпендикулярную к горизонтальной плоскости проекций П1.

а б

Рис. 23

Любой элемент, лежащей в этой плоскости, проецируется на плоскость П1 в прямую линию (на горизонтальный след плоскости). Все фронтали горизонтально проецирующей плоскости, перпендикулярные к плоскости П2 , проецируются на плоскость проекций без искажения.

Горизонтально проецирующая плоскость Р (Р1 Р2). Все элементы этой плоскости (отрезок АВ) проецируется на плоскость П1 в прямую линию Р1 называемую горизонтальным следом плоскости. Фронтали этой плоскости являются горизонтально проецирующими прямыми. Угол наклона горизонтально проецирующей плоскости Р к плоскости П2 = β, заключенный между горизонтальным следом плоскости Р и осью х.

Фронтально проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П2.

Любой элемент этой плоскости проецируется на фронтальную плоскость проекций в прямую линию – фронтальный след плоскости.

Угол наклона фронтально проецирующей плоскости к плоскости П1 определяется как угол α, заключенный между фронтальным следом Q2 и осью х.

а б

Рис. 24

Профильно проецирующая плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций.

Наглядное изображение профильно проецирующей плоскости представлено на рис.25а, на эпюре Монжа профильно-проецирующяя плоскость представлена следами (рис. 25б). Любой элемент, лежащий в этой плоскости, проецируется на профильную плоскость в прямую линию, совпадающую с профильным следом плоскости.

Все горизонтали профильно проецирующей плоскости будут так же и фронталями. Чтобы определить без построения профильной проекции, является ли данная плоскость профильно проецирующей, достаточно построить любую линию уровня. Например, если построенная горизонталь плоскости окажется в то же время и фронталью, то плоскость будет профильно проецирующей. На профильной плоскости проекций углы α и β наклона профильной плоскости к плоскостям П1 и П2 проецируются без искажения (рис.25 б).

а б

Рис. 25

ПЛОСКОСТИ УРОВНЯ

Плоскостями уровня или дважды проецирующими называют плоскости, параллельные плоскостям проекций.

Различают три плоскости уровня: горизонтальную – параллельную плоскости П1, фронтальную – параллельную плоскости П2, профильную - параллельную плоскости П3.

Плоскости уровня одновременно перпендикулярны двум плоскостям проекций.

Любая линия, принадлежащая плоскости уровня, будет являться линией уровня.

ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

Плоскость есть геометрическое место точек, образующих прямые линии. Линий в плоскости бесконечно много и положение их относительно плоскостей проекций может быть различным. Различают линии общего и частного положения. Линии общего положения, принадлежащие плоскости, к плоскостям проекций расположены под углами, отличными от 900. Линии частного положения могут быть линиями уровня или проецирующими. Линии уровня это такие прямые, которые параллельны плоскостям проекций. Проецирующие – это плоскости перпендикулярные плоскостям проекций.

Линии уровня различают горизонтальные прямые или горизонтали, фронтальные прямые или фронтали и профильные прямые (рис.26 а).

Горизонталями называются прямые, лежащие в плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций П1 (рис.26.б).

Фронталями называются прямые, лежащие в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций П2 (рис. 26 в)

Профильными называются прямые, лежащие в плоскости и параллельные профильной плоскости проекций П3.

а б

б

Рис. 26

Если линии уровня расположены в плоскостях проекций, т. е. являются линиями нулевого уровня, то они определяют собой линии пересечения данной плоскости с плоскостями проекций – являются следами плоскости.

Линиями наибольшего наклона (рис. 27) называются прямые данной плоскости, перпендикулярные к линиям уровня этой плоскости. Линии наибольшего наклона плоскости α к плоскости проекций П1 образует со своей проекцией на эту плоскость линейный угол двугранного угла плоскостей α и П1. При этом плоскость α перпендикулярна линии пересечения этих плоскостей. Отсюда линия наибольшего наклона данной плоскости к плоскости П1 перпендикулярна к любой горизонтали этой плоскости и ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции любой горизонтали плоскости. Линии наибольшего наклона к плоскости П1 называют также линиями ската или падения, так как эти линии являются направлением по которому скатываются с плоскости материальные частицы под тяжестью своего веса.

Рис. 27

Линия наибольшего наклона плоскости α к плоскости П2 (рис.28) перпендикулярна к любой фронтали этой плоскости. Фронтальная проекция линии наибольшего наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций перпендикулярна любой фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Рис. 28

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаться.

Плоскости параллельны между собой, если две пересекающие прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости. Параллельные плоскости не имеют общих элементов.

Пересекающие плоскости имеют одну общую прямую, которая называется линией пересечения, для построения которой достаточно определить две точки, принадлежащие обеим плоскостям.

Плоскости могут пересекаться под прямы углом, т. е. они будут взаимно перпендикулярными.

Признак перпендикулярности двух плоскостей – две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Взаимное положение прямой и плоскости определяется количеством общих точек, принадлежащих прямой и плоскости.

Прямая, имеющая с плоскостью общих точек более одной, принадлежит плоскости.

Прямая, имеющая с плоскостью одну общую точку – пересекает плоскость.

Прямая не имеющая с плоскостью ни одной точки будет параллельна плоскости. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащей в плоскости.

Если прямая не принадлежит плоскости, и не параллельна ей, то она пересекает плоскость в единственной точке.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ

Точка пересечения проецирующей плоскости с прямой общего положения является общей для обеих фигур. Проецирующая плоскость на плоскость проекций, к которой она перпендикулярна, вырождается в линию. Следовательно, точка будет лежать на этой линии и одновременно на проекции прямой (рис.29).

Рис. 29

На рис. 29 горизонтальная проекция точки пересечения прямой АВ с горизонтально проецирующей плоскостью β определяется на пересечении:

А1В1 и β1

АВ∩ β =С,

А1В1 ∩ β1 =С1,

С2 определяем по принадлежности: С1Î А1В1, С2Î А2В2. Из С1 проводим линию связи до А2В2.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ОДНА ИЗ КОТОРЫХ – ПРОЕЦИРУЮЩАЯ.

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две их общие точки. Пусть плоскость общего положения γ, заданная ∆АВС, и горизонтально – проецирующая плоскость β, заданная следами, пересекаются по прямой линии. Требуется найти горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения. Так как проецирующая плоскость на одну из плоскостей проекций проецируется в линию, совпадающую со следом плоскости, то и линия пересечения плоскостей так же совпадет с этим следом, т. к. она является общей для обеих плоскостей и соответственно лежит в проецирующей плоскости (рис.30).

Рис. 30

На основании выше сказанного

γ (АВС) ∩ β (β1 β2) = MN

γ1 (А1 В1 С1) ∩ β1 = M1 N1

γ 2(А2 В2 С2) ∩ β (β1 β2) = M2 N2

ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТИ

Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Пусть дана плоскость α общего положения. Построить плоскость β, параллельную заданной α на расстоянии 20 мм.

Задача решается в следующем порядке.

Сначала опускаем перпендикуляр на плоскость, затем находим основание перпендикуляра и определяем натуральную величину его, на которой откладываем от основания заданную величину. В полученной точке проводим параллельную плоскость

Лекция 3

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ.

При решении задач мы пытаемся расположить проецируемый объект так, чтобы наиболее важные элементы или вырождались (например, прямая - в точку, плоскость - в линию и т. д.), или проецировалась в натуральную величину. При этом некоторые геометрические элементы будут проецироваться искаженно. Для получения неискаженного изображения существуют преобразования, которые можно разделить на два основных вида:

Построение по двум данным третьей проекции на дополнительную неосновную плоскость проекций. При таком преобразовании проецируемый объект остается неподвижным в пространстве, и вводится новая, дополнительная, плоскость проекций.

Перемещение (вращение) объекта в пространстве до частного положения по отношению к неизменной системе плоскостей проекций.

Способ вращения

Способ вращения вокруг некоторой оси состоит в том, что изображаемый объект или его элемент вращается вокруг указанной оси до требуемого положения относительно неподвижной, данной системы плоскостей проекций (рис. 31-33).

В качестве оси вращения может быть взята любая прямая. В практике преобразования комплексного чертежа лучше использовать вращение вокруг проецирующих осей и линий уровня. Вращение вокруг незакрепленной оси называется плоскопараллельным движением фигуры.

Рис.31

Рис. 32

Рис. 33

СПОСОБ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Сущность способа заключается в том, что положение изображаемых объектов в пространстве остается неизменным, а система плоскостей П1 П2 дополняется новыми плоскостями, образующими с П1 или П2 или между собой, системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.

Пусть задана точка А проекциями А1 и А2 в системе П1 и П2 (рис.34). Заменим плоскость П2 другой, тоже фронтальной плоскостью П4 и построим новую фронтальную проекцию точки на эту плоскость. Принимая за новую ось след плоскости П4, совмещаем плоскость П4 с плоскостью П1.

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

Лекция 4 Метод плоскопараллельного перемещения

Рассматривается решение задач методом плоскопараллельного перемещения

Лекция 5 Метод вращения

Рассматривается решение задач используя метод вращения вокруг неподвижной оси и задачи методом вращения вокруг линии уровня

Лекция 6

МНОГОГРАННИКИ

Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящее из плоских многоугольников.

Многогранной поверхностью называется поверхность, образованная частями пересекающихся плоскостей.

Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения – ребрами. Точки пересечения ребер называются вершинами.

Грани, ребра и вершины являются элементами многогранника. Совокупность всех ребер и вершин является его сеткой.

Образование поверхностей некоторых многогранников подчинено определенным законам.

Боковая поверхность призмы образуется при таком движении прямой а – образующей - по ломаной направляющей n, когда прямая а при движении остается параллельной сомой себе.

Боковая поверхность пирамиды получается при движении прямолинейной образующей а, проходящей через фиксированную точку S, по направляющей n. Призматическая поверхность является частным случаем пирамидальной, у которой точка S находится в бесконечности. В предельном случае, когда направляющая ломаная становится криволинейной, призматическая поверхность превращается в цилиндрическую, а пирамидальная – в коническую.

Призмой называется многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, все другие грани – параллелограммы. Призму называют прямой, если ребра ее перпендикулярны плоскости основания.

Или призмой называется многогранник, две грани которого одноименные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а любые два ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.

Рис. 37

Пирамида – это многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани треугольники с общей вершиной (рис.38). Пирамиду называют правильной, если основанием ее является правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина ее отсекается плоскостью, пересекающей все ребра, исходящие из ее вершины.

Рис. 38

Правильный шестигранник (куб) или гексаэдр – частный случай прямой призмы, у которой основания и боковые грани квадраты.

4 – тетраэдр; 6 – гексаэдр; 8 – октаэдр; 12 – додекаэдр; 20 – икосаэдр.

Линия пересечения многогранников плоскостью

Линия пересечения многогранника плоскостью определяется по точкам пересечения ребер многогранника или по линиям пересечения граней многогранника с плоскостью. Задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или определению линии пересечения плоскостей (рис.39). Фигуру, полученную от пересечения многогранника плоскостью, называют многогранником сечения.

Рис. 39

Рис. 40

Рис. 41

Взаимное пересечение двух многогранников

Линия пересечения двух многогранников может быть определена по точкам пересечения одного многогранника с гранями другого и как линия пересечения граней многогранников (рис. 42).

Линиями пересечения двух многогранников являются пространственные замкнутые многоугольники. В зависимости от вида многогранников и их взаимного расположения линиями пересечения могут быть один, два и более пространственных многоугольников.

Видимость в проекциях ребер многогранников и линий их пересечения может быть определена так же, как и видимость точек, принадлежащих скрещивающимся прямым, т. е. способом конкурирующих точек.

Рис. 42

РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТЕЙ МНОГОГРАННИКОВ

Разверткой поверхности многогранника называется плоская фигура, полученная в результате совмещения с плоскостью чертежа граней в том порядке, в котором они расположены на многограннике, при этом грани многогранника приложены друг к другу по прямым, которые соответствуют ребрам многогранника. Боковыми гранями пирамиды являются треугольники, для построения которых достаточно определить истинные длины их сторон – ребер пирамиды (рис. 43).

Рис. 43

Истинные величины сторон определяем любым из известных методов, например, методом вращения. Далее по трем сторонам построить контур одной грани и к ней пристраиваем следующую грань и т. д. Завершаем построение развертки изображением основания пирамиды.

Рис. 44

Рис. 45

Лекция7

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Аксонометрическая проекция является проекцией фигуры вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве на некоторую плоскость методом параллельного проецирования. Аксонометрическая проекция является проекцией на одну плоскость, картинную плоскость b отличаются большей наглядностью. В аксонометрии длина отрезков осей координат в пространстве не равна длине их проекций. Искажение отрезков осей координат при их проецировании на плоскость П1 характеризуется коэффициентом искажения. Коэффициентом искажения называется отношение длины проекции отрезка оси на картинной плоскости к его истинной длине.

Например, показатели искажения равны кх= 0,94; кy= 0,47; кz= 0,94. Это значит, если точка А в натуральной системе имеет координаты х, у, z.

Классификация аксонометрических проекций

В зависимости от направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций, аксонометрические проекции могут быть прямоугольные и косоугольные. Когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций, аксонометрические проекции прямоугольные и косоугольные - в противном случае.

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции могут быть:

Изометрическими, если коэффициенты искажения по всем трем осям равны кx= кy= кz;

Диметрическими, если коэффициенты искажения равны по двум любым осям кx= кz ≠ кy.

Триметрическими, если коэффициенты искажения по всем трем осям разные x ≠ кz ≠ кy.

Косоугольные аксонометрические проекции

Аксонометрические проекции называются фронтальными, если оси X и Z параллельны вертикальной плоскости (рис. 2). Тогда кX=кZ =1, а кy=1 у фронтальной изометрии и кy=0,5 у фронтальной диметрии (ГОСТ 2.317-69) рис. 47 .

Рис.47

Если оси x и z расположить параллельно плоскости, занимающей горизонтальное положение (рис. 48), то получим , кx= кy= кz=1 при. Эта проекция называется горизонтальной изометрией (ГОСТ 2.317-69).

Рис. 48

Окружности, расположенные в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, проецируются эллипсами. Размеры большой и малой оси и их расположение показаны на рис. 47 и 48.

Прямоугольные аксонометрические проекции

Прямоугольная изометрия

Прямоугольная изометрия получается в том случае, если координатные оси расположены под равными углами к плоскости проекций. Тогда аксонометрические оси располагаются также под равными углами друг к другу (1200), а показатели искажения будут приблизительно равны 0,82 (рис.49).

Из (2) при кx = кy= кz получим:

Для построения наглядных изображений применяют приведенную прямоугольную изометрию с кx = кy=кz =1 (ГОСТ 2.317-69).

Увеличение равно 1,22 ().

Рис. 49

Прямоугольная диметрия

По ГОСТ 2.317-69 принята прямоугольная диметрия, у которой кx = кz, а кY=0,5кX. При таких показателях искажений аксонометрические оси располагаются под углами, указанными на рис. 49. Значения коэффициентов искажения: кx = кz= 0,94; кy=0,47. Для практических целей рекомендуется строить диметрию с коэффициентами искажения: кx = кz =1 и кy =0,5. Оно увеличено в 1,06 раза ().

Рис. 51

Лекция 6

ПОВЕРХНОСТИ

В начертательной геометрии поверхности рассматриваются как геометрические место всех возможных положений линии, двигающийся в пространстве по определенному закону.

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Поверхности вращения образуются вращательным перемещением производящей линии вокруг неподвижной оси. Ось вертикальна плоскости проекций. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси. Линия пересечения поверхности вращения любой плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью. Такие окружности являются параллелями. Наибольшая параллель называется экватором.

Плоскость, проходящая через ось поверхности, называется меридиональной плоскостью. Линия, получаемая в сечении поверхности меридиональной плоскостью, называется меридианом. Если меридиональная поверхность параллельна плоскости проекций, то меридиан, лежащий в этой плоскости, называется главным меридианом. На эту плоскость проекций главный меридиан проецируется без искажений.

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Поверхности, образованные вращением прямой линии: цилиндр вращения, конус вращения.

Поверхности, образованные вращением кривой линии: сфера.

Поверхности, образованные вращением прямой линии

Если образующая параллельна оси вращения, то она образует поверхность прямого кругового цилиндра – цилиндра вращения.

Если образующая пересекает ось вращения, то получается поверхность прямого кругового конуса – конуса вращения.

Прямой круговой цилиндр

Поверхность задана геометрическим определителем:

Ф ( ℓ // i) Ф (ℓ, i) [ℓ - образующая, ^ П1 , i – ось вращения i ^ П1].

Поверхность прямого кругового цилиндра получается вращением образующей ℓ вокруг неподвижной оси i. Все точки, лежащие на образующей прямой, описывают вокруг оси окружности (параллели), равные между собой.

Рис.

Прямой круговой конус

Поверхность задана геометрическим определителем:

Ф ( ℓ ∩ i) Ф (ℓ, i) [ℓ - образующая, прямая общего положения, i – ось вращения i ^ П1].

Поверхность прямого кругового конуса получается вращением образующей ℓ вокруг неподвижной оси i. В отличие от цилиндра, окружности (параллели), полученные в результате вращения точек образующей, разные, а точка пересечения образующей и оси остается неподвижной.

Рис.

Сфера

Поверхность задана геометрическим определителем:

Ф ( m, i) [m – дуга ^ П1, i – ось вращения i ^ П1].

Рис.

ГЛАВНЫЙ МЕРИДИАН И ТОЧКИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ

Рис.

Рис.

СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ

Сечение цилиндра плоскостью

Рис.

Сечение конуса проецирующей плоскостью

В сечении получается: треугольник, если секущая плоскость проходит через ось вращения рис. а, окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения рис. б, гипербола, если секущая плоскость параллельна образующей рис. в, парабола, если секущая плоскость перпендикулярна основанию и не проходит через ось вращения рис. г, эллипс рис. д.

Рис.

Сечение сферы плоскостью

В сечении всегда получается окружность, которая проецируется эллипсом, когда секущая плоскость не параллельна плоскости проекций.

Рис.

Лекция 10 Линейчатые поверхности

Рассматриваются поверхности: цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид. Строиться очерк перечисленных поверхностей. Решаются задачи нахождения точки на поверхности, пересечение поверхностей проецирующей плоскостью.

Лекция 11

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Для определения линии пересечения двух взаимопересекающих поверхностей применяется несколько способов, одним из которых является построение без введения вспомогательных плоскостей по принадлежности точек какой-либо линии на поверхности. Этот способ применяется в том случае, если хотя бы одна из пересекающихся поверхностей занимает проецирующие положение. На плоскость, по отношению к которой она занимает проецирующие положение, поверхность вырождается в линию (ломаную или кривую), совпадающую с очерком или следом поверхности.

В этом случае одна проекция линии пересечения будет известна и совпадать со следом поверхности. Решение сводится к определению недостающей проекции.

При построении линии пересечения следует придерживаться такой последовательности:

1.  Выяснить геометрическую форму поверхностей и установить каким образом поверхности пересекаются;

2.  Выяснить какие проекции линии пересечения требуют построения;

3.  Из всех пересекающих поверхностей выявить проецирующие, выделяя на чертеже их вырожденную проекцию, так как она совпадает с проекцией линии пересечения поверхностей.

Построим линию пересечения двух поверхностей, одна из которых является конусом вторая поверхность – полуцилиндр.

Линия пересечения является общей для обеих поверхностей, поэтому ее можно рассматривать отдельно на каждой поверхности поочередно. Принимая во внимание выше сказанное, будем рассматривать принадлежность линии пересечения поверхности цилиндра. Фронтальная проекция линии пересечения будет совпадать со следом цилиндрической поверхности в том месте, где происходит наложение проекций конуса и цилиндра. По определению линия – есть множество точек, поэтому для построения горизонтальной проекции необходимо отметить на фронтальной проекции линии пересечения ряд точек.

Точки отмечаем в следующей последовательности:

1.  Опорные точки - точки, вторую проекцию которых определяют без дополнительного построения (по принадлежности по линиям связи).

2.  Характерные точки – точки, которые характеризуют линию пересечения: излом линии, вершину, являющиеся границей видимости и т. д.

3.  Промежуточные точки – точки, взятые произвольно.

Следующим шагом будет нахождения другой проекции отмеченных точек. Далее будем рассматривать линию пересечения, как линию, принадлежащую конической поверхности - конусу. Нахождение точек на поверхности - конус уже рассматривали.

1.  – т. .1 находится на линии главного меридиана конуса, поэтому проводим линию связи до главного меридиана в плоскости П1.

1.  – т. 2 и т. 3 лежат на основании конуса

2.  – т. 4 строим, основываясь на принадлежность точки линии, принадлежащей поверхности. Проводим фронтальную проекцию параллели через точку 4, затем строим горизонтальной проекцию параллели, по линии связи определяем горизонтальную проекцию т.4.

Определяем видимость. Границей видимости является главный меридиан. Все, что в плоскости П1 ниже главного меридиана, в плоскости П2 будет видимым. Все, что выше будет невидимым. Линия пересечения является границей видимости самих поверхностей.

Лекция 12 Винтовые поверхности

Винтовой коноид, косой геликоид. Рассматривается построение очерка этих поверхностей, нахождение точки на поверхности, пересечение этих поверхностей проецирующей плоскостью, нахождение линии пересечения этих поверхностей с поверхностями другого класса.

Лекция 13

РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Развертка поверхности представляет плоскую фигуру, получаемую совмещением всех точек данной поверхности с плоскостью без разрывов и складок. Поэтому между точками поверхности и её разверткой устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Это означает, что каждой точке на поверхности соответствует вполне определенная и единственная точка на развертке и наоборот. Длина линий на развертке равна длине линий на поверхности, площадь развертки равна площади самой поверхности.

Построение разверток имеет большое практическое значение при изготовлении многих изделий.

Развертка цилиндра

Боковая поверхность цилиндра развертывается в прямоугольник, ширина которого равна высоте цилиндра, а длина длине окружности.

Если не требуется большой точности развертки, то её можно построить приближенным способом.

Для этого окружность основания делят на 12 равных частей, циркулем откладывают такую часть двенадцать раз по длине прямоугольника. Точку А переносится на развертку следующим методом. Откладывается отрезок m, взятый с горизонтальной проекции и отрезок h взятый с фронтальной проекции.

Развертка конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса является сектор радиусом равным длине образующей и центральным углом, равным α = R/L ∙3600, где R – радиус окружности основания конуса вращения, L - длина образующей.

Для того чтобы избежать вычислений развертку можно построить графическим путем используя приближенный метод. Развертку боковой поверхности прямого кругового конуса с достаточной для практического применения точностью заменяют разверткой правильной 12- гранной пирамиды. Вписывают в основание конуса правильный двенедцатиугольник, т. е для этого делим основание конуса на 12 равных частей. Затем из произвольной точки описываем дугу, радиусом равным длине образующей. На полученной дуге откладываем двенадцать дуг, каждая из которых равна стороне двенадцатиугольника.

Рис.

Лекция 14 Касательные плоскости к поверхностям

Дается определение касательной плоскости к поверхностям и правила построения этой плоскости к рассмотренным поверхностям.