Лекции по дисциплине «Численные методы» (стр. 5 )

где i = 1, 2, 3 (или i = –1, 1, 2 с соответствующим изменением нумерации). Зная эти значения, из уравнения (1) можно найти значения производных

y0¢, y1¢, y2¢, y3¢,

и составить таблицу разностей:

D( h y¢0) = Dq0; D( hy¢1) = Dq1; D( hy¢2) = Dq2; D2(hy¢0); D2(h y¢1); D2( h y¢2) (6)

где q0 = h y¢0 = h f(x0, y0); q1 = h f(x1, y1); q2 = h f(x2, y2); q3 = h f(x3, y3);

x	y	Dy	q	Dq	D2q	D3q
x0	y0		q0
		D y0		Dq0
x1	y1		q1		D2q0
		D y1		Dq1		D3q0
x2	y2		q2		D2q1
		D y2		Dq2
x3	y3		q3
x4
…	…	…	…	…	…	…
xn

Дальнейшие значения yi (i = 4, 5, …) искомого решения можно шаг за шагом вычислять по формуле Адамса, пополняя по мере необходимости таблицу разностей.

Зная числа в нижней косой строке, найдем D y3 по формуле Адамса

и далее величину y4 = y3 + D y3. Зная теперь y4, вычислим q4 = h f(x4, y4), после чего можно написать следующую косую:

Dq3 = q4 – q3, D2q2 = Dq3 – Dq2, D3q1 = D2q2 – D2q1.

Новая косая строка позволяет вычислить по формуле Адамса значение D y4:

а следовательно y5 = y4 + D y4 и т. д.

Для контроля рекомендуется, вычислив первое приближение для D yi по формуле

,

определить y i + 1 = yi + D yiI, подсчитать конечные разности

D( h y¢i), D2(h y¢i–1), D3(h y¢i – 2) (7)

и затем найти второе приближение по более точной формуле

(8)

Если DyiI и DyiII отличаются лишь на несколько единиц последнего сохраняемого десятичного разряда, то можно положить

DyiI = DyiII,

а затем, найдя

Dyi + 1 = yi + Dyi,

перевычислить конечные разности (7). После этого, строго говоря, следует снова найти DyiII по формуле (8). Поэтому шаг h должен быть таким, чтобы этот пересчет был излишним.

На практике шаг h выбирают столь малым, чтобы в формуле (8) можно было пренебречь членом .

Если же расхождение величин DyiI и DyiII значительно, то следует уменьшить шаг h.

Пример. Методом Адамса найти на отрезке [0, 1] интеграл уравнения

y¢ = x + y, y(0) = 1.

Решение.

Примем шаг h = 0,1. Для начала процесса используем значения, найденные Рунге-Кутта, т. е.

y0 = 1; y1 = 1,1103; y2 = 1,2427; y3 = 1,3996;

Дальнейшие вычисления располагаем в двух бланках: основном и вспомогательном.

В последнем столбце основного бланка приведены для сравнения точные значения решения y* = 2ex – x – 1

Основной бланк для интегрирования дифференциального уравнения методом Адамса

i	x	y	Dy	q	Dq	D2q	D3q	y*
0	0	1		0,1000				1
			0,1103		210
1	0,1	1,1103		0,1210		23		1,1103
			0,1324		333		1
2	0,2	1,2427		0,1443		24		1,2427
			0,1569		257		2
3	0,3	1,3996		0,1700		26		1,3997
			0,1838		283		5
4	0,4	1,5834		0,1983		31		1,5836
			0,2137		314		2
5	0,5	1,7971		0,2297		33		1,7974
			0,2469		347		3
6	0,6	2,0440		0,2644		36		2,0442
			0,2833		383		5
7	0,7	2,3273		0,3027		41		2,3275
			0,3235		424		3
8	0,8	2,6508		0,3451		44		2,6511
			0,3682		468
9	0,9	3,0190		0,3919				3,0192
			0,4172
10	1,0	3,4362						3,4366

Вспомогательный бланк для интегрирования дифференциального уравнения методом Адамса