Вычисления в многогранниках

2. Вычисления в многогранниках

2.1 Все плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны – длина ребра – площадь грани Найдите объем пирамиды.

2.2 Высота правильной треугольной пирамиды равна а двугранный угол при ребре основания равен Найдите объем пирамиды.

2.3 Каждый из двугранных углов трехгранного угла равен На какое расстояние удалена от вершины точка, которая находится внутри угла на расстоянии от каждого ребра?

2.4 В правильной треугольной пирамиде боковая грань образует угол с плоскостью основания. Найдите величину двугранного угла между двумя боковыми гранями.

2.5 В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань образует угол с плоскостью основания. Найдите величину двугранного угла между двумя смежными боковыми гранями.

2.6 Каждый из плоских углов трехгранного угла равен На какое расстояние удалена от вершины точка, которая находится внутри угла на расстоянии от каждой грани (от каждого ребра)?

2.7 Основанием пирамиды является прямоугольник, у которого меньшая сторона равна а острый угол между диагоналями равен Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом Найдите объем пирамиды.

2.8 В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а площадь ее сечения плоскостью, проходящей через одну из вершин основания и середины противолежащих этой вершине ребер, равна Найдите объем пирамиды.

2.9 В правильной треугольной пирамиде по стороне основания и величине двугранного угла между боковыми гранями определить длину бокового ребра.

2.10 В правильной четырехугольной пирамиде угол между смежными боковыми гранями равен а сторона основания равна Найдите площадь диагонального сечения пирамиды.

2.11 В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух боковых ребер параллельно третьему боковому ребру, равна Найдите объем пирамиды.

2.12 Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с боковой стороной и углом при основании Все боковые ребра образует с основанием угол Найдите площадь сечения, проходящего через высоту пирамиды и вершину угла

2.13 Основание пирамиды – равнобочная трапеция, у которой боковые стороны и меньшее основание равны а острый угол равен Все боковые ребра образует с основанием угол Найдите площадь сечения, проходящего через высоту пирамиды перпендикулярно основаниям трапеции.

2.14 Площадь основания наклонной призмы равна стороны основания, – длина проекции ребра на основание, Найдите объем призмы.

2.15 В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм с острым углом и сторонами Большая из диагоналей боковых граней равна меньшей диагонали основания. Найдите объем параллелепипеда.

2.16 В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм с тупым углом и сторонами Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Найдите объем параллелепипеда.

2.17 Грани параллелепипеда – равные между собой ромбы, расположенные так, что встречаются вместе три острых угла. Найдите объем параллелепипеда, если известно, что сторона ромба равна а острый угол равен

2.18 В основании прямого параллелепипеда с равными ребрами лежит ромб со стороной а большая диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом Найдите объем параллелепипеда.

2.19 Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2.20 Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна двугранный угол при боковом ребре равен Найдите объем пирамиды.

2.21 В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен боковая поверхность равна Найдите объем пирамиды.

2.22 Из основания высоты правильной треугольной пирамиды опущен перпендикуляр на боковое ребро длины Найдите объем пирамиды, если двугранный угол между боковыми гранями равен

2.23 Из основания высоты правильной треугольной пирамиды на боковую грань опущен перпендикуляр длины Найдите объем пирамиды, если плоский угол при вершине равен

2.24 В треугольной пирамиде ребро перпендикулярно основанию двугранный угол с ребром равен Найдите

2.25 Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы с высотой если прямая, соединяющая центр верхнего основания с серединой стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основания под углом

2.26 В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине Угол между прямыми и равен диагональ равна Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2.27 В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны а угол между ними равен Найдите объем пирамиды, если каждое из боковых ребер пирамиды образует с высотой пирамиды угол

2.28 Квадрат – основание параллелепипеда Вершина равноудалена от вершин Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

2.29 Точки – середины ребер правильной призмы угол между и равен Найдите объем призмы.

2.30 Точка – середина ребра правильной пирамиды Угол между прямыми равен Найдите объем пирамиды.

2.31В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной и острым углом Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью боковой грани угол Найдите объем параллелепипеда.

2.32 В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой и острым углом боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом Найдите объем пирамиды

2.33 Сторона основания правильной призмы меньше ее бокового ребра и равна Прямая образует с плоскостью угол Найдите объем призмы.

2.34 Все боковые грани призмы квадраты. На прямой взята точка такая, что – середина Через прямую проведена плоскость, пересекающая призму и образующая с плоскостью угол Найдите объем многогранника, отсеченного от призмы плоскостью и содержащего вершину если

2.35 В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной Двугранный угол между плоскостями и равен Найдите объем параллелепипеда.

2.36 В прямоугольном параллелепипеде расстояние между прямыми и равно Найдите объем параллелепипеда.

2.37 Основание треугольной призмы - равносторонний треугольник со стороной Ребро образует с плоскостью основания угол а центр (вписанной) вневписанной в угол окружности является ортогональной проекцией вершины на основание. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2.38 В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом Найдите объем пирамиды.

2.39 В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами и Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания на расстояние, равное Найдите высоту пирамиды.

2.40 Определить объем параллелепипеда, у которого все ребра равны а плоские углы при одной вершине равны

2.41. Основание прямой призмы является ромб с диагоналями и Найдите площадь полной поверхности призмы, если диагональ боковой грани равна

2.42 Основание прямой призмы - треугольник Угол между плоскостями равен Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2.43 В четырехугольной пирамиде основание трапеция а боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Найдите объем пирамиды, если площадь грани равна а площадь грани равна

2.44 Боковые грани четырехугольной пирамиды – равные равнобедренные треугольники, а в основании пирамиды лежит ромб, одна диагональ которого в два раза длиннее другой. Найдите объем пирамиды, если известно, что площадь ее боковой поверхности равна и есть два ребра, составляющие тупой угол.

2.45 – правильная четырехугольная пирамида. На ребрах и выбраны точки и соответственно, причем В каком отношении делит ребро плоскость, проведенная через точки

2.46Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с основанием - высота пирамиды. Найдите отношение площади треугольника к плоскости треугольника если

2.47 Основание треугольной пирамиды – треугольник со сторонами высота пирамиды Луч является биссектрисой угла и пересекает в точке Найдите площадь грани

2.48 В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной – середина ребра Через точки и – середины и проведена прямая, пересекающая плоскость основания в точке Найдите расстояние от точки до вершины

2.49 Основание правильной четырехугольной пирамиды – квадрат со стороной боковые ребра равны В плоскости основания проведена прямая, которая касается вписанной в квадрат окружности и пересекает ребра и в точках и причем Найдите объем пирамиды

2.50 В правильной треугольной призме точки – середины ребер соответственно. Известно, что прямая образует угол с плоскостью Найдите объем призмы, если

2.51 Основание правильной четырехугольной пирамиды –

квадрат со стороной боковые ребра равны Точки – середины ребер соответственно. Найдите объем пирамиды

2.52 В пирамиде ребра взаимно перпендикулярны, Найдите расстояние между серединами ребер и

2.53 В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник Ребра и перпендикулярны и образуют с плоскостью основания углы соответственно, объем пирамиды равен Найдите расстояние от вершины до плоскости

2.54 В кубе с ребром – середина ребра - центр грани Плоскость, проходящая через точки пересекает прямые в точках и Найдите длину отрезка

2.55 В треугольной пирамиде объем пирамиды равен Докажите, что длина ребра не меньше

2.56 - куб с ребром Точка лежит на ребре Из точки проведен перпендикуляр к плоскости Найдите

2.57 Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы плоскостью, проходящей через середины ребер и вычислите угол между плоскостью и плоскостью сечения, если

2.58 В треугольной пирамиде ребра взаимно перпендикулярны, середина ребра равноудалена от плоскостей и угол между ребром и гранью равен Найдите длину ребра угол

2.59 В кубе с ребром точки – середины ребер соответственно, а точка расположена на ребре

Найдите: 1) Расстояние от точки до прямой 2) Расстояние между прямыми

2.60 В правильной четырехугольной призме боковое ребро равно сторона основания равна Окружность основания прямого конуса вписана в треугольник а вершина конуса лежит в плоскости Найдите объем конуса.

2.61 В правильной четырехугольной пирамиде высота пирамиды равна Сечение пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку а другая – через точки имеют равные площади. В каком отношении делят ребро плоскости сечений? Найдите расстояние между плоскостями и объемы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями.

2.62 Внутри правильной треугольной пирамиды расположена прямая призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней призмы принадлежит основанию пирамиды, другая грань – боковой грани пирамиды. Какой наибольший объем может иметь призма, если ребро основания пирамиды равно а высота равна

2.63 На сторонах правильной четырехугольной пирамиды взяты точки Сечение пирамиды двумя взаимно перпендикулярными плоскостями и проходящими через прямую - трапеции с равными основаниями. Грань образует угол с пересекающей ее плоскостью сечения, а угол между гранями равен Найдите площади сечений пирамиды плоскостями если

2.64 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а боковое ребро равно Через середину бокового ребра перпендикулярно этому ребру проведено сечение. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

2.65 Определить высоту правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна а двугранный угол между боковыми гранями равен

2.66 Высота правильной четырехугольной пирамиды равна перпендикуляр, опущенный из центра вписанного шара на боковую грань, образует с высотой угол Найдите объем пирамиды.

2.67 Найдите двугранный угол (в градусах) при основании правильной четырехугольной пирамиды, если плоскость, проведенная через сторону основания, делит и этот угол и боковую поверхность пополам.

2.68 Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если – высота пирамиды,

2.69 В правильной треугольной пирамиде с вершиной плоскость, проходящая через сторону перпендикулярно ребру отсекает пирамиду объем которой в полтора раза меньше объема пирамиды Найдите площадь боковой поверхности пирамиды если

2.70 В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной плоскость, проведенная через сторону перпендикулярно грани делит эту грань на две части, одинаковые по площади. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2.71 Основанием пирамиды является треугольник площадь которого равна Ребро перпендикулярно плоскости а плоскость образует с ней угол Найдите объем пирамиды.

2.72 Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами Ребро перпендикулярно плоскости а угол между плоскостями и равен Найдите объем пирамиды.

2.73 Объем треугольной призмы равен Точка – середина ребра точка лежит на ребре Проведены две плоскости: одна проходит через точки другая – через точки Найдите объем части призмы, заключенный между этими плоскостями.

2.74 Дана треугольная призма . Через сторону основания и середину ребра проведена плоскость, делящая призму на два многогранника. Найдите отношение их объемов.

2.75 В треугольной призме проведены две плоскости: одна проходит через вершины другая – через вершины Эти плоскости разделили призму на части, объем меньшей из которых равен Найдите объем призмы.

2.76 В треугольной пирамиде проведена плоскость, параллельная ребрам и Эта плоскость пересекает ребро в точке В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

2.77 Дан правильный тетраэдр с ребром Точки лежат на ребрах так, что Найдите объем пирамиды где – точка пересечения медиан треугольника

2.78 В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник боковые ребра равны Точки – середины ребер точки лежат на ребрах Найдите объем пирамиды

2.79 В пирамиде – середина ребра точка расположена на ребре Плоскость проходит через точки параллельно биссектрисе треугольника В каком отношении плоскость делит объем пирамиды?

2.80 Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань. Найдите радиус основания конуса.

2.81 Высота правильной треугольной призмы равна Угол между диагоналями боковых граней, выходящих из одной вершины равен Найдите объем призмы.

2.82 Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания по углом Найдите высоту пирамиды.

2.83 Основание пирамиды – трапеция, основания которой равны а высота равна Найдите высоту пирамиды, если каждое боковое ребро равно

2.84 Основание пирамиды – треугольник со сторонами все двугранные углы при основании равны Найдите высоту пирамиды.

2.85 Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна и двугранный угол при боковом ребре вдвое больше двугранного угла при основании.

2.86 Основание пирамиды – равнобедренный прямоугольный треугольник. Все двугранные углы при основании равны высота пирамиды равна Найдите площадь основания.

2.87 В основании пирамиды лежит ромб с углом каждая из боковых граней наклонена к плоскости основания под углом большее ребро пирамиды равно Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и Вычислите ее при

2.88 Основание пирамиды – равносторонний треугольник со стороной Грань перпендикулярна основанию, Найдите объем пирамиды и вычислите его при

2.89 Основании пирамиды – правильный треугольник со стороной Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом а грань перпендикулярна основанию. Найдите: высоту пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды, двугранный угол между боковыми гранями с общим ребром

2.90 Основание пирамиды – ромб с углом равным и высотой Вершина равноудалена от прямых и вершин Найдите длины боковых ребер пирамиды, если высота пирамиды равна

2.91 Основанием четырехугольной пирамиды является трапеция у которой Плоскость, проходящая через точки и некоторую точку лежащую на ребре пересекает ребро в точке Известно, что В каком отношении точка делит ребро

2.92 На лучах тетраэдра выбраны точки так. что Через точки и середину проведена плоскость. В каком отношении она делит ребро

2.93 В основании треугольной пирамиды в основании лежит равносторонний треугольник со стороной Точка лежит на ребре Точка лежит на ребре Найти длину бокового ребра пирамиды, если известно, что

2.94 В кубе с ребром точка лежит на прямой а точка - на луче Найти максимально возможный объем пирамиды если

2.95 - куб с ребром Точка лежит на ребре Из точки проведен перпендикуляр к плоскости Найдите

2.96 В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной высота пирамиды равна Через середины ребер перпендикулярно плоскости проведена плоскость, пересекающая ребра в точках соответственно. Найти объем пирамиды

2.97. В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник Ребра перпендикулярны и образуют с плоскостью основания углы и Найдите расстояние от вершины до плоскости если объем пирамиды равен

2.98. В треугольной пирамиде ребра взаимно перпендикулярны, а расстояние между серединами ребер равно Найдите длину ребра

2.99. В правильной треугольной призме точки - середины ребер Известно, что и образует с плоскостью угол Найдите объем призмы.

2.100. В основании треугольной пирамиды лежит треугольник со сторонами Высота пирамиды а точка лежит на луче который перпендикулярен ребру и пересекает его в точке Найдите площадь грани

2.101. В пирамиде Известно, что Найдите ребро если объем пирамиды равен

2.102. Основания трех высот треугольной пирамиды являются точками пересечения медиан граней, к которым они проведены. Докажите, что все ребра пирамиды равны.

2.103 Грани и пирамиды равные равнобедренные треугольники середина ребра Найдите объем пирамиды.

2.104 В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами - середина высота пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если двугранный угол между гранью и основанием равен

2.105 В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами - середина высота пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом

2.106 В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой и углом все боковые ребра наклонены к основанию под одним углом. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом

2.107 В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами боковые грани перпендикулярны основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если боковая грань наклонена к основанию под углом

2.108 В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом Найдите высоту пирамиды и двугранные углы при основании.

2.109 В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с большим основанием, равным и углом при основании Все боковые ребра равны (наклонены к основанию под углом ). Найдите высоту пирамиды (объем пирамиды).

2.110 Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна Тангенс двугранного угла при основании равен Найдите полную поверхность пирамиды.

2.111 Основание пирамиды - ромб с острым углом боковые грани наклонены к плоскости основания под углом Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен

212. Дан прямоугольный параллелепипед Точка лежит на диагонали точка - на диагонали прямые пересекаются. Определите тангенс угла между прямой и плоскостью если

213. Дан прямоугольный параллелепипед Точка лежит на диагонали точка - на диагонали прямые пересекаются. Определите тангенс угла между прямой и плоскостью если

214. В прямоугольном параллелепипеде на ребрах лежат точки так, что Во сколько раз объем параллелепипеда больше объема пирамиды с вершиной и основанием

215. Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды опущен перпендикуляр на боковое ребро, равный и перпендикуляр на боковую грань, равный Найдите объем пирамиды.

216. Основанием наклонного параллелепипеда является ромб со стороной и острым углом Диагональ одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол Найдите площадь полной поверхности и объем параллелепипеда.

217. В правильной четырехугольной пирамиде через точку и середины и проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

218. В четырехугольной пирамиде через точку и середину и точку лежащую на проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

219. Все боковые грани прямой призмы - квадраты со стороной На прямой взята точка так, что середина Через прямую проведена плоскость под углом к основанию. Найдите объем призмы, лежащий ниже плоскости.

если