Тема урока: Задачи на построение сечений.
Цель урока:
-выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелограмма.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания
Ответы на вопросы 14, 15.
14.Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?
(Ответ: нет, т. к. граней всего 4, они являются треугольниками, а треугольника с двумя прямыми углами не существует.)
15. существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань-прямоугольник;
б) только две смежные грани-ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых граней не равно числу всех тупых углов граней?
(Ответ: а)нет (противоположные грани равны); б)нет (по той же причине); в) нет (таких параллелограммов не существует); г) да (прямоугольный параллелепипед); д)нет (в каждой грани два острых и два тупых угла, либо все прямые).
III. Изучение нового материала
План:
Теоретическая часть. Практическая часть. Теоретическая часть.Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Под сечением будем понимать любую плоскость (назовем ее секущей плоскостью), по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры (то есть тетраэдра или параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает тетраэдр (параллелепипед) по отрезкам. Многоугольник, который будет образован этими отрезками, и является сечением фигуры. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечением могут быть треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечением могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники.
При построении сечения параллелепипеда учитываем тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким –то отрезкам, то эти отрезки параллельны (свойство 1, п.11: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны).
Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащей в одной и той же грани.
Может ли в сечении тетраэдра плоскостью получиться четырехугольник, изображенный на рисунке?
Ответ: Нет.
2.1.Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, лежащие на ребрах куба.
Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, лежащие на ребрах куба, выходящих из одной вершины, достаточно просто соединить данные точки отрезками.
2.2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба.
Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G,
проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD.
Обозначим Q точку пересечения прямых PG и AB.
Соединим точки E и Q, F и G.
Полученная трапеция EFGQ будет искомым сечением.
2.3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба, для которых AE = DF.
Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G,
соединим точки E и F.
Прямая EF будет параллельна AD и, следовательно, BC.
Соединим точки E и B, F и C.
Полученный прямоугольник BCFE будет искомым сечением.
2.4. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба и вершину B.
Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F и вершину B,
Соединим отрезками точки E и B, F и B.
Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE, соответственно.
Полученный параллелограмм BFGE будет искомым сечением.
2.5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба.
Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G,
проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD.
Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG с AB и DC.
Обозначим S точку пересечения FR c СС1.
Соединим точки E и Q, G и S.
Полученный пятиугольник EFSGQ будет искомым сечением.
2.6. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба.
Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G,
найдем точку P пересечения прямой EF и плоскости грани ABCD.
Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG с AB и CD.
Проведем прямую RF и обозначим S, T её точки пересечения с CC1 и DD1.
Проведем прямую TE и обозначим U её точку пересечения с A1D1.
Соединим точки E и Q, G и S, F и U.
Полученный шестиугольник EUFSGQ будет искомым сечением.
2.7. Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, параллельной ребру AD и проходящей через точки E, F.
Решение. Соединим точки E и F. Через точку F проведем прямую FG, параллельную AD.
Соединим точки G и E.
Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.
2.8. Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, параллельной ребру CD и проходящей через точки E, F .
Решение. Через точки E и F проведем прямые EG и FH, параллельные CD.
Соединим точки G и F, E и H.
Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.
2.9. Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G.
Решение. Для построения сечения тетраэдра, проходящего через точки E, F, G,
проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с BD.
Обозначим Q точку пересечения прямых PG и CD.
Соединим точки F и Q, E и G.
Полученный четырехугольник EFQG будет искомым сечением.
IV. Итог урока.
V. Домашнее задание п.14, стр.27 № 000 –вариант1, 2.
Приложение.
