Вступление

Разложение квадратного трёхчлена на множители.

ax 2 + bx+ c  

Если  x1 и  x2  - корни уравнения ax 2 + bx+ c =0, то

ax 2 + bx+ c = a ( x –  x1 ) ( x –  x2 ) .

  П р и м е р 1.  Разложить трехчлен 2x 2 – 4x – 6 на множители первой степени.

Решение. Во-первых, решим уравнение:  2x 2 – 4x – 6 = 0.  Его корни:

    x1 = –1  и  x2 = 3.  Отсюда, 2x 2 – 4x – 6 = 2 ( x + 1 ) ( x – 3 ) .

    ( Раскройте скобки и проверьте, пожалуйста, результат! ).

Пример2. Разложим ещё один трёхчлен на множители:

Потренируйтесь:

 а)x2 – 12x + 20;
 б)–x2 + 16x – 15;
 в)3x2 + 5x – 2;
 г) –5x2 + 6x – 1.

Пример 3. Сократите дробь:

.

Решим уравнение: 6а2-а-1=0;

D=1+24=25;

; ; .

Потренируйтесь! Сократите дробь:

Сократите дробь:
 
     

· Упростите выражение:
   

2

Решение уравнений

1. 3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1=0

х2(3х─1)─(3х─1)=0;

(3х─1)(х2─1)=0;

3х─1=0 или х2─1=0;

х=1/3 ; х=1; х=─1

Ответ1/3; 1,─1

2) ( x 2 + x + 1)( x 2 + x + 2) = 12.

Сделаем замену переменных t=x2+x+1.

t(t+1)=12

t2+t−12=0.  t = – 4 и t = 3.

Рассмотрим два случая: 1) x2+x+1=−4; x2+x+5=0. D = = - 19 < 0.  Уравнение корней не имеет

2) x2+x+1=3

x2+x−2=0.  Корни этого уравнения x = 1 и x = –2.

  Ответ. x = 1 и x = –2.

3)

Ответ: х = 2..

3

Потренируйтесь в решении уравнений

1) 8x(1 + 2x) – (4x + 3)(4x – 3) = 2x. 2)(x – 6)2 – x(x + 8) = 2.

3) 9x2 – 1 – (3x – 2)2 = 0. 4) (х-5)2=2(х2+7)

5) 3х2 - 4х = 0 6)6х3─3х2─18х+9=0 7) 8х3─4х2─2х+1=0

8)

9)(√2х-8)(х2─9)=0 ( Пояснение - под корнем выражение 2х-8.)

10)

11)

 

Решите уравнения с №6-№20, используя метод введения новой переменной:

12)9x4 – 40x2 + 16 = 0;

13) x6 – 7x3 – 8 = 0;

14) (3x – 4)2 – 5(3x – 4) + 6 = 0;

15) (x2 + 2x)2 – 2(x2 + 2x) – 3 = 0;

16) (x2 – 3x + 1)(x2 – 3x + 3) = 3;

17)

18)(x2 – 5x + 7)2 – (x – 2)(x – 3) = 1;

19)

20) x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 15;

21)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3;

22)

23)

4

Решение неравенств.

1. Простейшие линейные неравенства.

а)6у – ( у + 8 ) – 3( 2 – у ) ≤ 2. б) ( 6х + 1 )2 – 21 < ( 4x + 2 )( 9x – 1 ).

Решение. Решение.

6у – у – 8 – 6 + 3у ≤ 2 , 36x2 + 12x + 1 – 21 < 36x2 + 18x – 4x –

8у – 14 ≤ 2, 36x2 + 12x – 20 < 36x2 + 14x – 2,

8у ≤ 16, 12x – 14x < 20 – 2,

у ≤ 2. – 2x < 18,

Ответ: ( - ∞; 2 ]. x > - 9.

Ответ: ( - 9; + ∞ ).

Проверь себя!

Решить неравенство:

1) 4( 2 – 3х ) – ( 5 – х ) > 11 – х.х – 3 ) > 1 – 2( х + 5 ).

2) 3 ( х – 4 ) – 7 ≤ 3 – 2( х + 6х ≥ 2( 1 – х ) – 3( х + 1 ).

Ответы∞ ; - 0,8 ); Ответы:,5; + ∞ );

2) ( - ∞; 2] . 4) [ - 1/11; + ∞ ).

2. Решение квадратных неравенств

Решим неравенство: х2+6х-16>0

У=х2+6х-16 У=0 ,х2+6х-16=0, ,два корня х1 =─8, х2=2. а=1, ветви параболы направлены вверх
Параболу можно построить схематично, даже ось у чертить необязательно.

Закрепление: Решить неравенства: 1)х2─ 3х─18≤0

2)3х2+7х≥6 3)3х2+4x+2>0 4) -3х2-4x-20 5) 3(х+2)20х+2)(х+3)>0

5

3. Метод интервалов 1)

1)Найдём нули функции , , . 2) х≠3

3)Наносим найденные нули на числовую ось. Т. к. неравенство строгое, то все нули изображаем выколотыми точками, которые разбивают числовую ось на интервалы:

Выбираем интервалы, на которых дробь отрицательна. Получаем ответ .

2)..

1)Рассмотрим функцию f(x)=x2(2x+1)(x-3) 2)D(f)=R

3) Найдем нули функции:x2(2x+1)(x-3)=0

3)

Решить самостоятельно: 1.(3х─ 4)(5х─ 20)<0 2) х(х─4)(4─3х)≥0 3) . х2 (2х─3)(5─х) ≤0 4)(√17─4,5)(─2х+5)>0

6

Арифметическая прогрессия:

Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и тоже число, то это арифметическая прогрессия. Примеры: а)3;6;9;12;15… б) – 2, – 4, – 6, – 8, –10, ...,

Формулы:

.

№1
Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (сn), если с7=1,5 и с17=-26,5.
№2
Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (bn), если b1=4,2 и b10=15,9.
№3
Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии
3, 5, 7,...
сумма которых не превосходит 120.
№4
Являются ли членом арифметической прогрессии 20,7; 18,3; ...число:
а)-1,3
б)-3,3?

№5.Дана арифметическая прогрессия. 15,3;15,1;14,9;… Сколько положительных членов она содержит?

№6. Сумма второго, четвёртого и шестого членов арифметической прогрессии равна 18, а их произведение равно (-168). Найдите первый член и разность прогрессии.

№7При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.

№8.Известно, что при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn=4n²-3n. Найти три первых члена этой прогрессии.

№9 Найти сумму десяти членов прогрессии с десятого по двадцатый, если первый член прогрессии2, а разность0,2

№10 (с практическим содержанием)Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения”.

№11* Три числа, третье из которых равно 12, составляют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то эти три числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

Указания: во многих заданиях достаточно найти а1 и d. Для этого можно составить уравнение или систему уравнений, используя формулу n-го члена. Иногда на вопрос задачи можно ответить даже выписывая члены прогрессии подряд ,если их не очень много. Смелее! Все формулы перед вами. Всё получится.

7

Геометрическая прогрессия

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число  q , называется геометрической

прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии. 

Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

bn =  b1  q n - 1 .

Сумма  n  первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

Последовательность {bn} является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется соотношение

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии | q | < 1 вычисляется по формуле:

Задача. Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...

Решение.

Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем

 

1) Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии -2. -4, -8…

2) Третий член геометрической прогрессии равен 3, а пятый – 12. Найти Сумму первых четырех членов этой прогрессии. 

3) Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна -3, а разность между третьим и вторым ее членами равна -6. Чему равна сумма первых пяти членов прогрессии?

4) Сумма первых двух членов геометрической прогрессии с положительными коэффициентами равна 4, а первых трех – 13. Найти сумму первых четырех членов этой прогрессии. 

5) Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равно 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму первых десяти членов этой прогрессии. 

.6) Произведение первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии с положительными членами равно 64, а их же среднее арифметическое – 14/3. Найти сумму первых 5 членов этой прогрессии. 

8

О некоторых элементарных функциях

1.Линейная функция — функция вида y = kx + b. Для построения прямой достаточно взять две точки

.

рис1 рис2 рис3

у=кх (частный случай) у=b (частный случай)

рис4 рис5

2.Квадратичная функция у=ах2+вх+с, где а≠0

1.а >0 D > 0 2. a=0 D =0 3. а >0 D <0

рис6

4. а< 0 D > 0 5.. а< 0 D =0 6. а< 0 D <0

рис7

При построении параболы для нахождения вершины воспользуйся формулой:

Найдём значение х, а затем найдём у, подставив значение х в формулу.

После этого составим таблицу некоторых значений функции. Это просто!!!

9

3.Кубическая парабола у=х3 (1 и 3 четверти) рис8

у= ─х3 ( во 2-ой и 4-ой четвертях)

Постройте сами! А этот забавный

человечек вам поможет

Пусть здесь появится рисунок 9

4. График обратной пропорциональности при у=к/х к>0

А как выглядит график, если к<0 ?

10

Понятие о кусочных функциях

На различных участках числовой прямой функция может быть задана разными формулами. Например:

Построим график функции y  = 2 –  x при x  < 1 и y  =  x при x  ≥ 1. График представляет собой угол с вершиной A  (1, 1) или объединение двух лучей с общей вершиной A. Заметим, что эта функция может быть задана с помощью формулы y  = | x  – 1| + 1.

Ещё один пример:

Проверьте свои знания:. А ещё имейте в виду, что различные «кусочки» графика не обязательно образуют непрерывную линию. И при строгом неравенстве, когда график терпит разрыв, не забудьте про «выколотые» точки

11

Решение текстовых задач

При решении текстовых задач нужно, прежде всего, уяснить условие. Без этого трудно решить задачу. Представьте себя на месте «героя» из задачи. Итак представьте себя и своего лучшего друга участниками этого сюжета.

Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, одновременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 ч. раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.

Решение. Пусть Хкм/ч - скорость велосипедиста, а У км/ч –скорость пешехода. Попробуем составить систему двух уравнений.

Лирическое отступление.

Подумайте, откуда появилось каждое из уравнений.

- Первое выражает разность во времени. Разность равна 4часам.

Второе уравнение составлено из условия «Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход.»

Продолжаем решение:

6(2у+4) - 6у = (2у+4)у;

2у2 - 2у - 24 = 0;

у2 - у - 12 = 0 

 

у1 = -3 - не удовлетворяет условию.

у2 = 4; х = 12.

Ответ: 4 км/ч.

Итак, не теряйте присутствие духа, а пробуйте в задачах составлять уравнение или систему уравнений. Удачи!

12

Заключение.

Итак, вы просмотрели или основательно проработали материал этой маленькой книжечки.

В любом случае, надеюсь, это было полезно.

Эта брошюра была составлена на базе ресурсов Интернета.

Но в полной мере отношу её к собственному творчеству, так как материал, в буквальном смысле, собирался по «крупицам».

Надеюсь, мой труд вам поможет успешно сдать экзамены. Всего доброго!

Удачи на экзаменах!

С любовью, Наталия Львовна.

13