10 класс. Материал к уроку.
Прямоугольный параллелепипед
Лекция
Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.
Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда. У параллелепипеда все грани — параллелограммы.
Параллелепипеды могут быть прямые и наклонные.
Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами.
Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда.
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.
Длины не параллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера.
Свойства параллелепипеда:
· Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
· Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
· Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.
· Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. d 2 = a 2 + b 2 + c 2.
Давайте для краткости назовем эту формулу "трёхмерной теоремой Пифагора".
Площадь прямоугольного параллелепипеда
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
S = 2(a · b+ a · h+ b · h)
где S - площадь прямоугольного параллелепипеда,
a - длина,
b - ширина,
h - высота.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда V = a · b · h
Площадь куба
Площадь поверхности куба
Формула площади куба S = 6 a2
где S - площадь куба,
a - длина грани куба.
Формула объема куба V = a3
Алгоритм решения задач:
1. Чертим прямоугольный параллелепипед. Не обязательно в масштабе, можно от руки.
2. Подписываем вершины. Отмечаем на чертеже упомянутые в условии точки. Соединяем линиями, где это необходимо.
3. Ставим известные (заданные) значения прямо на чертеже.
4. Если получился треугольник внутри тела, то выясняем есть ли в нем прямой угол и какой именно. Для этого пользуемся теоремами о перпендикуляре к плоскости или о трех перпендикулярах.
5. Чертим этот треугольник на плоскости. На нем также отмечаем заданные и искомые величины, если нужно, перенося числа с параллельных ребер.
6. Проводим необходимые вычисления по известным формулам. Как правило, это будут теорема Пифагора и определения синуса и косинуса острых углов прямоугольного треугольника.
Решение ключевых задач.
B9 № 245359. Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1=3.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
в котором 
является гипотенузой. По теореме Пифагора
В прямоугольнике 
– диагональ, 
=
. Значит,
Ответ: 50.
B9 № 245361. Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
, 
, 
. Дайте ответ в градусах.
Решение.
В прямоугольнике 
отрезок 
является диагональю, 
По теореме Пифагора
Прямоугольный треугольник 
равнобедренный: 
, значит, его острые углы равны 
Ответ: 45.
B9 № 245363. Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого =4, 
=3, 
=5. Дайте ответ в градусах.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
По теореме Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
Так как 
==
то треугольник 
является равнобедренным, значит, углы при его основании равны по .
Ответ: 45.
9 № 271071. Найдите квадрат расстояния между вершинами 
и 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
, в котором 
является гипотенузой, и найдем квадрат ее длины по теореме Пифагора
В квадрате отрезок 
— диагональ. Значит,
Откуда
Ответ: 59.
B9 № 271571. Найдите расстояние между вершинами и 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
.
Решение.
Рассмотрим треугольник 
, в котором 
является гипотенузой и найдем ее длину по теореме Пифагора:
Значит, 
.
Ответ: 13
B9 № 272551. Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
, 
, 
. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
, в нём 
По теореме Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
Так как 
, треугольник 
является равнобедренным, значит, углы при его основании равны .
Ответ: 45.
Материал для урока - практикума
Устная работа
B9 № 245360. Найдите расстояние между вершинами А и D прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA = 3.
B9 № 245362. Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого =5, =4, =4. Дайте ответ в градусах.
27055. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.
Тренировочный материал к уроку
270527. Найдите квадрат расстояния между вершинами 
и 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
, 
, 
.
271075. Найдите расстояние между вершинами 
и 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
, 
, 
.
285399.В прямоугольном параллелепипеде 
известно, что 
, 
, 
. Найдите длину ребра 
.
271579. Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
, 
, 
. Ответ дайте в градусах.
271827. Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
, 
, . Ответ дайте в градусах.
272321. Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
, 
, 
. Ответ дайте в градусах.
245359.Найдите квадрат расстояния между вершинами 
и прямоугольного параллелепипеда, для которого 
, , 
.
245360. Найдите расстояние между вершинами 
и 
прямоугольного параллелепипеда, для которого , , .
245361. Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого , , . Ответ дайте в градусах.2
245362. Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого , , . Ответ дайте в градусах.
245363. Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого , , . Ответ дайте в градусах.
27060. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.
27077. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.
27079. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
27080. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.
27081. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?
27082.Диагональ куба равна 
. Найдите его объем.
