Глава II. Механика материальной точки

ГЛАВА II. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Лабораторная работа №1

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ
НА МАШИНЕ АТВУДА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение равнопеременного и равномерного прямолинейных движений в поле земного тяготения. Определение ускорения свободного падения.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Предварительно изучите теоретические основы работы №8.

Механическим движением называется происходящее со временем перемещение тел или их частей относительно других тел (тел отсчета). Любое механическое движение рассматривается в определенной системе отсчета, состоящей из тела отсчета, связанной с ним системы пространственных координат и часов.

Материальной точкой называется тело, размеры которого много меньше масштаба движения. Положение материальной точки в пространстве характеризует ее радиус-вектор , проведенный из начала координат к этой точке. При движении материальной точки по траектории ее радиус-вектор меняется. Мерой изменения радиуса-вектора со временем является физическая величина - скорость , а мерой изменения скорости со временем - ускорение . Мерой действия одного тела на другое является физическая величина - сила . Основные законы динамики материальных точек - это законы Ньютона. В частности, второй закон Ньютона, математическая запись которого имеет вид:

, (1)

называют основным уравнением динамики.

Эскиз машины Атвуда показан на рис.2. Два груза массами М соединены нитью, перекинутой через неподвижный блок. Если на один из грузов положить перегрузок массой m, то система приходит в ускоренное движение. Каждый из грузов натягивает участок нити, который, стараясь сократиться, действует на груз силой натяжения , а на блок - силой . Тогда на каждый груз действует сила тяжести и сила натяжения нити . Основное уравнение динамики для груза с перегрузком имеет вид:

, (2)

а для другого груза:

. (3)

Основное уравнение динамики вращательного движения неподвижного блока имеет вид:

, (4)

где - алгебраическая сумма моментов сил, действующих на блок, относительно оси вращения; I - момент инерции блока; e - угловое ускорение.

Если вращение по часовой стрелке считать положительным, то, согласно рис.2, получим

, (4¢)

где R - радиус блока; Мтр - момент силы трения.

Будет считать, что нить невесомая, нерастяжимая и не скользит по блоку. Из условия невесомости нити следует:

, т. е. ; . (5)

Из условия нерастяжимости нити следуют равенства модулей перемещений, скоростей и ускорений грузов и нити:

. (6)

Наконец, в отсутствие скольжения нити по блоку ускорение грузов и нити а равно модулю тангенциального ускорения точек обода блока:

или . (7)

Проецируя уравнения (2) и (3) на ось У, направленную вертикально вверх, получим с учетом формул (5), (6) и (7) систему уравнений, к которой присоединим уравнение (4¢):

(8)

Умножая первое из уравнений (8) на -1 и складывая все уравнения (8), получим

. (9)

В данной лабораторной установке момент сил трения настолько мал, что выполняется неравенство

<< . (10)

Кроме того, в лабораторной установке величина момента инерции I блока такова, что справедливо другое неравенство:

<< . (11)

Пренебрегая малыми величинами, из уравнения (9) получим ускорение а системы грузов под действием перегрузка массой m:

, (12)

а модули сил натяжения нити Т1 и Т2 по обе стороны блока равны:

. (13)

Можно сказать, что равенство (13) выполняется при двух предположениях (10) и (11).

Равноускоренное движение системы грузов вдоль оси У описывается уравнениями движения произвольной точки системы:

,

,

где у1, v1 - начальные параметры.

Исключая из этих уравнений время t при условии v1 = 0, получим

. (14)

Система грузов перемещается на величину , двигаясь равноускоренно под действием перегрузка массой m с ускорением, которое определяется формулой (12).

В точке с координатой у2 и скоростью v2 перегрузок подхватывается столиком и система грузов движется равномерно, перемещаясь на величину L2 за время t, измеряемое миллисекундомером экспериментальной установки. Подставляя в равенство (14) формулу , получим

. (15)

При изменении L2 меняется время t, измеряемое секундомером, но ускорение а должно оставаться неизменным. Уравнение (15) проверяется экспериментально в упражнении №1.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

К основанию 1 экспериментальной установки (см. рис.3), которая стоит на регулируемых ножках 2, прикреплены миллисекундомер 3 и вертикальная стойка 4. К стойке крепятся три кронштейна, из которых два неподвижные - нижний 5 и верхний 6. А средний кронштейн 7 может перемещаться вдоль стойки. На кронштейне 7 находятся первый фотоэлектрический датчик 8 и столик 9 для снятия перегрузка. На нижнем кронштейне 5 установлен второй фотоэлектрический датчик 10 и резиновые амортизаторы 11. Все кронштейны содержат прорезь для определения положения кронштейна на вертикальной миллиметровой шкале 12. На верхнем конце стойки находится неподвижный блок 13. За блоком помещен электромагнит 14, при включении которого в сеть блок тормозится. И наоборот, при выключении тока нажатием кнопки "ПУСК" на передней панели установки система из грузов и перегрузка приходит в движение. Для наблюдения ускоренного движения грузов на правый груз 15 помещают перегрузок 16 и поднимают их в такое положение, в котором нижнее основание груза совпадает с чертой на верхнем кронштейне. После нажатия кнопки "ПУСК" начинается ускоренное движение грузов и перегрузка до того момента, когда столик 9 подхватит перегрузок. Одновременно фотоэлектрический датчик 8 включает миллисекундомер, измеряющий время равномерного движения грузов до тех пор, пока груз 15 не ударится об амортизатор II и не вызовет срабатывание датчика 10, выключающего миллисекундомер. Итак, во время равноускоренного движения грузы проходят расстояние L1 (см. рис.2) и приобретают скорость v2, с которой, двигаясь равномерно, проходят расстояние L2 за время t, измеренное миллисекундомером и показанное на табло "ВРЕМЯ, С". Для подготовки прибора к следующему измерению нажимают кнопку "СБРОС".

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Упражнение 1. ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ ГРУЗОВ

1.  После нажатия кнопки "ПУСК" подключите к сети лабораторную установку нажатием кнопки "СЕТЬ". На табло "ВРЕМЯ, С" должны появиться нули. Отожмите кнопку "ПУСК".

2.  Установите средний кронштейн 7 на некотором расстоянии L2 от нижнего кронштейна 5. Измерьте L2 и расстояние L между верхним 6 и нижним 5 кронштейнами. Результаты измерений запишите в таблицу 1.

3.  Опустите левый груз на нижний кронштейн. Добейтесь, чтобы нижняя грань правого груза совпадала с чертой на верхнем кронштейне.

4.  Найдите массы груза М и перегрузка m.

5.  Поместите перегрузок на правый груз.

Таблица 1

№№	L	L2	t			х2	ху
1 2 3 4 5
Средние значения <х>, <у>, <х2>, <ху>

6.  Устранив возможные колебания грузов, нажмите кнопку "ПУСК" до ее фиксирования.

7.  После остановки грузов запишите в таблицу 1 время t равномерного движения грузов, измеренное миллисекундомером и показанное на табло "ВРЕМЯ, С".

8.  Нажмите кнопку "СБРОС".

9.  Повторите пункты 2¸8 не менее четырех раз, меняя расстояние L2 между средним и нижним кронштейнами.

10. Для каждого измерения вычислите величины и , запишите результаты в таблицу 1 и постройте экспериментальные точки на графике, откладывая по оси абсцисс значения х, а по оси ординат - у.

Если формула справедлива, то экспериментальные точки лежат на прямой, тангенс угла наклона которой определяет величину ускорения а грузов с перегрузком.

11. Найдите величину ускорения а по методу наименьших квадратов:

; ;

;

; ,

где - коэффициент Стьюдента, соответствующий вероятности Р и числу степеней свободы .

Результат измерения а: а ± D а.

Используя найденные значения а и с, постройте на графике с экспериментальными точками прямую линию у = ах + с.

Упражнение 2. ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ
СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

12. Определите величину ускорения свободного падения g по формуле

.

Полуширину доверительного интервала Dg найдите с помощью формулы:

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.  Сформулируйте цель лабораторной работы.

2.  Что называется системой отсчета?

3.  Дайте определение материальной точки.

4.  Сравните понятия пути и перемещения.

5.  Дайте определения средней и мгновенной скоростей.

6.  Дайте определения среднего и мгновенного ускорений.

7.  Как зависит траектория движения от направления ускорения?

8.  Укажите формулы, связывающие кинематические величины при равноускоренном прямолинейном движении.

9.  Дайте определение силы.

10.  Что характеризует масса тела?

11.  Сформулируйте основные законы динамики - законы Ньютона.

12.  Какая система тел называется изолированной?

13.  Сформулируйте законы сохранения импульса и механической энергии.

14.  Какое движение тела называется свободным падением?

15.  Как записать 2-ой закон Ньютона для свободного падения?

16.  Как ускорение свободного падения зависит от широты точки наблюдения?

17.  Почему величина ускорения свободного падения на уровне моря различна на полюсе и экваторе?

18.  Как уменьшится ускорение свободного падения при подъеме с уровня моря на высоту h = 10 км? Радиус Земли R3=6370 км.

19.  Нарисуйте эскиз машины Атвуда.

20.  При каком условии ускорения тел, используемых в машине Атвуда, одинаковы по модулю?

21.  При каких условиях одинаковы силы натяжения нитей по обе стороны неподвижного блока?

22.  Как движется система тел в машине Атвуда?

23.  Какое время измеряет секундомер машины Атвуда?

24.  Укажите зависимость квадрата скорости равноускоренного движения системы тел от величины перемещения.

25.  Какие величины определяют с помощью прямых измерений в данной лабораторной работе?

26.  Какие сделаны допущения при выводе формулы ускорения системы тел?

27.  По какой формуле определяют величину ускорения свободного падения g?

28.  Найдите ускорение свободного падения, если масса
перегрузка в 4 раза меньше массы одного груза, а ускорение системы грузов с перегрузком равно а = 1,1 м/с2.

29.  По какой формуле можно найти полуширину доверительного интервала Dg ускорения свободного падения?

30.  Можно ли использовать закон сохранения механической энергии для описания движения системы тел в машине Атвуда?

Лабораторная работа №2

ИЗУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО НЕУПРУГОГО УДАРА
НА МОДЕЛИ КОПРА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение абсолютно неупругого удара. Оценка действующих сил и величины необратимых потерь механической энергии при абсолютно неупругом ударе.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Материальной точкой называется тело, размеры которого много меньше масштаба движения. В дальнейшем в этом пункте под словом "тело" следует подразумевать материальную точку.

Силы, действующие на тела механической системы, можно разделить на две группы:

1)  внешние силы , с которыми на тело с номером i действуют тела, не вошедшие в систему;

2)  внутренние силы взаимодействия тел системы с номерами i и k. По третьему закону Ньютона :

или . (1)

Система тел называется изолированной или замкнутой, если на тела системы не действуют внешние силы, т. е. .

Если ускорение записать в виде ,
где - малое изменение скорости тела за малый промежуток времени Dt, то второй закон Ньютона принимает вид

или , (2)

где - начальная скорость тела; - конечная скорость спустя малый промежуток времени Dt. Величина - импульс тела, а - импульс силы.

Рассмотрим систему двух тел с массами m1 и m2. Пусть тела системы взаимодействуют с силами и и на тела действуют внешние силы и . Запишем уравнение (2) для каждого тела системы:

; (3)

. (4)

Складывая уравнения (3) и (4) и учитывая равенство (1), получим

. (5)

Из уравнения (5) следует закон сохранения импульса: если система является изолированной (;), то суммарный импульс тел такой системы сохраняется, т. е.

. (6)

Изменение скорости соударяющихся тел может быть достаточно большим, а время удара Dt очень мало (с). Поэтому ускорения тел и внутренние или ударные силы во время удара могут быть очень большими. Эти силы значительно превосходят внешние силы: . Мерой механического воздействия на тело за время удара является импульс ударной силы :

,

где - средняя ударная сила за время Dt.

Импульсами внешних сил, например, сил тяжести, а также перемещениями тел за малое время удара Dt можно пренебречь. В этом случае уравнения (3) и (4) принимают вид:

; (3¢)

. (4¢)

Складывая уравнения (3¢) и (4¢) с учетом (1), получим уравнение (6), т. е. при кратковременных взаимодействиях даже в неизолированных системах закон сохранения импульса приближенно выполняется.

Удар называется абсолютно неупругим, если после удара скорости тел одинаковы: . Для такого удара уравнение (6) принимает вид

.

Изменение кинетической энергии тел при абсолютно неупругом ударе равно

. (7)

Для кратковременного удара изменениями положения тел и их потенциальной энергии Ер можно пренебречь: DЕр = 0.

Так как DЕk < 0, то полная механическая энергия тел убывает, переходя в другие виды энергии.

Удар, при котором полная механическая энергия тел сохраняется, называется абсолютно упругим. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: полная механическая энергия системы тел сохраняется, если система изолирована и на тела системы не действуют внутренние диссипативные силы (например, силы трения).

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

В модели копра (см. рис.4) груз 1, падая почти свободно по вертикальной направляющей с некоторой высоты Н, приобретает скорость и совершает абсолютно неупругий удар со сваей 2, которая до удара покоилась.

После удара свая движется в разрезной втулке 3, действующей на сваю силой трения скольжения. Поэтому после удара груз и свая движутся замедленно до полной остановки. Меняя положение гири 5, скользящей по рычагу 4, можно менять силу нормального давления втулки на сваю, а значит, менять силу трения. Рычаг 4 может поворачиваться относительно горизонтальной оси О. Для предварительного закрепления груза 1 на некоторой высоте служит защелка 6, положение которой на нужной высоте фиксируется стопорными винтами. Груз поднимают вверх до соприкосновения с защелкой. Чтобы освободить груз, нужно нажать на ручку 7 защелки. Положение груза и сваи до и после удара определяется с помощью их указателей по вертикальной шкале 8. Экспериментальная установка находится внутри металлического кожуха 9.

При почти свободном падении с высоты Н груз приобретает скорость v1, которую находим по кинематической формуле

, (8)

учитывая начальную скорость v0 = 0.

Для абсолютно неупругого кратковременного удара груза и сваи можно приближенно применить закон сохранения импульса (6) и найти общую скорость груза и сваи после удара. Так как до удара свая покоилась (v2 = 0), а скорость груза равна v1, то скорость u после удара равна

. (9)

При ударе между грузом и сваей возникают ударные силы , являющиеся внутренними силами в системе "груз-свая". Для этой системы сила тяжести является внешней силой. Проекция векторного уравнения (3) на ось координат У, направленную вертикально вверх, имеет вид .

Отсюда

. (10)

Подставляя (9) и (8) в формулу (10), получим

. (11)

Так как время удара Dt » 2×10-4 с очень мало, то внутренняя сила f, действующая на груз, много больше внешней силы тяжести . Поэтому можно пренебречь импульсом внешней силы во время удара и суммарный импульс груза и сваи при кратковременном абсолютно неупругом ударе приближенно сохраняется.

Учитывая, что до удара свая покоилась (v2 = 0), полная механическая энергия системы "груз-свая" согласно формуле (7) уменьшается на величину

. (12)

Если эту величину необратимых потерь механической энергии поделить на начальную энергию падающего груза, то получим долю необратимых потерь механической энергии

. (13)

Поделив числитель и знаменатель формулы (13) на m2, получим

. (13¢)

Из формулы (13¢) видно, что доля необратимых потерь энергии при ударе груза и сваи уменьшается с увеличением отношения .

При ударе груза и сваи соприкасаются нижняя поверхность груза и верхняя поверхность сваи. В первую очередь нас будет интересовать изменение положения этих поверхностей.

На рис.5 груз 1 до падения и свая 2 в начальном положении показаны пунктиром, а в конечном положении после удара и замедленного движения - сплошной линией.

Расстояния Н1, h1, h2 измеряют по вертикальной линейке 8 (рис.4) и записывают в таблицу 1. На рис.5 видно, что высота падения груза

, (14)

а путь S замедленного движения груза и сваи до остановки

. (15)

Работа усредненной силы трения , совершаемая при замедленном движении груза и сваи,

(16)

равна изменению полной механической энергии этих тел

.

Отсюда, с учетом формул (9) и (8), усредненная сила трения равна

или

. (17)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ СИЛЫ ТРЕНИЯ

1.  Поместите гирю 5 (см. рис.4) на сравнительно небольшом расстоянии L1 от оси вращения О рычага 4.

2.  Поднимите сваю 2 на максимальную высоту.

3.  С помощью защелки 6 расположите груз 1 на такой высоте Н1, чтобы после удара с грузом свая не касалась втулки 3 своей горизонтальной платформой.

4.  По вертикальной линейке 8 измерьте положение Н1 указателя груза и положение h1 указателя сваи до удара. Результаты измерения занесите в таблицу 1.

5.  Нажимая на защелку 7, освободите груз. Наблюдайте абсолютно неупругий удар груза и сваи, а также их замедленное движение после удара. Измерьте положение h2 указателя сваи после удара и результат измерения запишите в таблицу 1.

6.  Повторите пункты 2¸5 еще четыре раза при тех же значениях Н1 и h1.

7.  Передвиньте гирю 5 вдоль рычага 4 на новое расстояние L2 от оси вращения О, установив гирю в середине рычага. Измените высоту Н1 поднятия груза. При изменении высоты Н1 поднятия груза необходимо контролировать выполнение пункта 3. Повторите измерения, указанные в пунктах 2 ¸ 6, при новом расстоянии L2.

8. Передвиньте гирю 5 на максимальное расстояние L3 от оси вращения О и повторите измерения, указанные в пунктах 2 ¸ 6.

9. Используя методику обработки результатов прямых измерений, изложенную в главе I, для каждого L найдите средние значения величин Н1, h1, h2 и полуширину доверительных интервалов DН1, Dh1, Dh2.

10. Для каждого L по формулам (14) и (15) найдите высоту Н падения груза и путь S замедленного движения тел после удара, а по формулам

;

определите полуширину доверительных интервалов этих величин.

11. Для каждого L по формуле (17) вычислите усредненную силу трения F, используя данные экспериментальной установки: m1 = 0,32 кг; m2 = 0,12 кг; Dm1 = Dm2 = Dm = 1 г = 0,001 кг.

Пренебрегая погрешностью Dg ускорения свободного падения, полуширину доверительного интервала DF найдите по формуле: .

Таблица 1

Положение гири 5	L1	L2	L3
Результаты наблюдений №№	H1	h1	h2	H1	h1	h2	H1	h1	h2
1 2 3 4 5
Среднее значение <х>
Полуширина доверит. инт. Dх
H
DH
S
DS
F
DF

Результаты вычислений занесите в таблицу 1. Сравните силу трения F для разных значений L длины рычага, т. е. для разных величин силы нормального давления.

Упражнение 2. ОЦЕНКА ВЕЛИЧИНЫ
ВНУТРЕННЕЙ СИЛЫ

12. По формуле (11) оцените величину внутренней силы f, действующей на груз при абсолютно неупругом ударе груза и сваи, считая, что время удара Dt » 2×10-4 с.

Сравните полученную силу с силой тяжести FТ = m1g, которая является внешней силой в системе "груз-свая".

Упражнение 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОБРАТИМЫХ ПОТЕРЬ
МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

13. Подставляя формулу (8) в формулу (12), получим расчетную формулу для величины необратимых потерь механической энергии при абсолютно неупругом ударе груза и сваи:

. (18)

Найдите величину необратимых потерь механической энергии dЕ, а полуширину доверительного интервала D(dЕ) этой величины определите с помощью формулы:

. (19)

14. Долю g необратимых потерь механической энергии определите по формуле (13), а полуширину доверительного интервала Dg найдите с помощью формулы:

. (20)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте цель лабораторной работы

2. Сформулируйте закон сохранения импульса

3. Какой удар называется абсолютно упругим?

4. Какой удар называется абсолютно неупругим?

5. Что происходит с механической энергией при абсолютно неупругом ударе?

6. Выполняется ли закон сохранения импульса при кратковременном абсолютно неупругом ударе?

7. Какую скорость имеет груз после свободного падения с высоты Н = 1 м?

8. Какую скорость имел груз до удара о сваю, если после абсолютно неупругого удара скорость груза и сваи равна 2,4 м/с, а масса сваи в 3 раза меньше массы груза?

9. Выполняется ли закон сохранения механической энергии при свободном падении груза до удара?

10. Как движутся груз и свая после абсолютно неупругого удара?

11. Выполняется ли закон сохранения механической энергии при движении груза и сваи после удара?

12. Укажите формулу работы постоянной силы.

13. Как работа силы, действующей на тело, связана с изменением механической энергии тела?

14. Как найти силу, с которой свая действует на груз при их абсолютно неупругом ударе?

15. Каким должно быть соотношение между внешней силой F и внутренней f при кратковременном ударе, чтобы приближенно выполнялся закон сохранения импульса?

16. Чему равна величина необратимых потерь механической энергии при ударе груза и сваи?

17. Как меняется доля необратимых потерь механической энергии во время удара груза и сваи при увеличении массы сваи и неизменной массе груза?

18. Нарисуйте эскиз экспериментальной установки

19. Какая система тел является изолированной?

20. По какой формуле можно найти величину необратимых потерь механической энергии при ударе груза и сваи?

21. Как определяют высоту Н свободного падения груза до удара?

22. Как вычисляют полуширину доверительного интервала DН высоты свободного падения груза до удара?

23. Как определяют путь S замедленного движения груза и сваи после удара?

24. Как вычисляют полуширину доверительного интервала DS величины пути замедленного движения груза и сваи после удара?

25. По какой формуле определяют величину внешней силы F?

26. Как определяют полуширину доверительного интервала DF внешней силы?

27. Какая величина определяется в упражнении 2 и по какой формуле?

28. Как определяют полуширину доверительного интервала Df силы, с которой свая действует на груз?

29. Какая величина определяется в упражнении 3?

30. По какой формуле можно найти долю необратимых потерь механической энергии при ударе груза и сваи?

Лабораторная работа №3

ИЗУЧЕНИЕ УПРУГОГО УДАРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Определение коэффициента восстановления относительной скорости и необратимых потерь кинетической энергии при прямом центральном упругом ударе двух шаров.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Предварительно необходимо изучить теоретические основы работы № 2.

Ударом твердых тел называется совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твердых тел. Время удара t очень мало, составляет примерно с. Процесс упругого столкновения двух тел можно разделить на две фазы. В первой фазе, которая начинается в момент соприкосновения тел, кинетическая энергия соударяющихся тел переходит в потенциальную энергию деформации. Первая фаза заканчивается прекращением сближения тел. Во второй фазе упругого удара тела расходятся, и потенциальная энергия упругой деформации тел переходит в их кинетическую энергию.

Абсолютно упругим ударом называется такой удар, при котором сохраняется полная механическая энергия соударяющихся тел. При реальном упругом ударе часть механической энергии тел переходит в другие виды энергии (внутреннюю энергию, энергию звуковых волн и т. д.), т. е. появляется необратимая потеря механической энергии dЕ. Абсолютно неупругим ударом называется удар, после которого скорости тел одинаковы.

Линией удара MN называется общая нормаль к поверхностям соударяющихся тел в точке соприкосновения К (рис.6).

Если центры масс С1 и С2 тел лежат на линии удара, то удар называется центральным, а если не лежат, то - нецентральным.

Если скорости v1 и v2 центров масс тел в начале удара параллельны линии удара, то удар называется прямым, в противном случае - косым.

Уравнения законов сохранения импульса и энергии, справедливых для абсолютно упругого удара, имеют вид :

, (1)

, (2)

где - скорости тел после удара.

Решая эту систему для прямого центрального удара шаров, получим :

, (3)

т. е. относительная скорость тел при абсолютно упругом прямом центральном ударе сохраняется по модулю, меняя свое направление на противоположное. При реальном прямом центральном ударе вместо уравнения (3) получим :

, (4)

где k - коэффициент восстановления относительной скорости. При абсолютно упругом ударе k = 1; при абсолютно неупругом ударе k = 0; для упругих ударов реальных тел 1 > k > 0. В частности, при столкновении тел из дерева
k » 0,5, из стали - 0,55, из стекла - 0,94.

Решая совместно систему уравнений (1) и (4) для прямого центрального удара шаров, получим :

, (5)

. (6)

Отсюда легко определить величину необратимых потерь кинетической энергии при ударе :

. (7)

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Экспериментальная установка представляет собой платформу 3 с вертикальной стойкой 4 (см. рис.7), на вершине которой закреплены нити с подвешенными шарами 1 и 2. На платформе расположены две круговые шкалы 5, электромагнит 6 и кнопка пуска 7. Винты 8 регулируют положение шаров так, чтобы в положении равновесия их центры находились на одной высоте, а поверхности соприкасались.

Шар 1 с меньшей массой отклоняют от положения равновесия так, что

нить

подвеса шара образует с вертикалью угол g. При этом центр шара поднимается от положения равновесия на высоту H = L - Lcosg = L(1 - cosg), где L - расстояние от точки подвеса до центра шара.

Если из этого положения шар отпустить, то он начинает двигаться в положение равновесия и перед ударом со вторым шаром приобретает скорость v1 , которую найдем, применяя закон сохранения энергии для движения первого шара и пренебрегая сопротивлением движению :

,

отсюда . (8)

После прямого центрального удара первый и второй шары получают скорости u1 и u2 . Двигаясь свободно, шары отклоняются от своих положений равновесия так, что направления нитей подвеса образуют углы a и b с вертикалью, а шары поднимаются на высоты h1 и h2 , причем

h1 = L - Lcosa = L(1 - cosa) = 2Lsin2(a/2) ,

h2 = L - Lcosb = L(1 - cosb) = 2Lsin2(b/2

Пренебрегая сопротивлением движению шаров после удара, по закону сохранения энергии получим :

;

. (10)

;

. (11)

Шар с большей массой m2 перед ударом покоится, т. е. v2 = 0. Если шары после удара движутся в одном направлении, то с учетом формул (4), (8), (10) и (11) коэффициент восстановления относительной скорости шаров равен

. (12)

Если шары после удара движутся в разные стороны, то направления векторов u1 и u2 противоположны, т. е.

, и коэффициент восстановления относительной скорости шаров определяется по формуле :

. (13)

В частном случае при g = 900 формула (13) принимает вид :

. (13¢)

Необратимая потеря кинетической энергии dЕ при прямом центральном ударе шаров равна

dE = m1v12/2 - m1u12/2 - m2u22/2 =

= 2m1gLsin2(g/2) - 2m1gLsin2(a/2) - 2m2gLsin2(b/2) =

=2gL[m1sin2(g/2) - m1sin2(a/2) - m2sin2(b/2)] . (14)

С учетом формулы (7) dE можно определить так :

. (15)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА

ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ СКОРОСТИ

1.  С помощью винтов 8 (см. рис.7) отрегулируйте экспериментальную установку так, чтобы в положении равновесия шары касались друг друга, а их удар был прямым и центральным. Включите установку нажатием кнопки "СЕТЬ".

2.  Найдите массы шаров m1 и m2 и запишите их в таблицу 1.

3.  Измерьте штангенциркулем диаметры шаров d1 и d2 и линейкой длину нитей R1 и R2 от точек подвеса до поверхности шаров.

4.  По формулам L1 = R1 + d1/2 и L2 = R2 + d2/2 найдите расстояния L1 и L2 от точек подвеса нитей до центров шаров. Если результаты вычислений отличаются друг от друга более чем на 1 мм, то подъемом или опусканием одного из шаров сравняйте длины L1 и L2 . Тогда L1 = L2 = L. Результат измерения L запишите в таблицу.

5.  Включите электромагнит нажатием кнопки ²ВКЛ². Поместите шар с меньшей массой m1 в гнездо электромагнита и измерьте угол g отклонения нити подвеса этого шара от вертикали. Убедившись в неподвижности другого шара, отпустите легкий шар нажатием кнопки ²ПУСК². Наблюдая прямой центральный удар шаров, измерьте и запишите в таблицу углы максимального отклонения a и b нитей подвеса шаров от вертикали после удара. Проведите наблюдения углов a, b, g не менее 5 раз.

6.  Результаты измерения , , углов отклонения вычислите по формуле (1.1) главы I. Выборочные оценки S(), S(), S() среднеквадратичных отклонений найдите по формуле (1.8), а полуширину доверительных интервалов в градусах по формуле (1.15). Для каждой полуширины доверительного интервала перейдите от градусов к радианам по формуле : Dх(рад) = pDх0/1800 , где буквой х обозначены углы a, b, g. Результаты наблюдений и вычислений поместите в таблицу 1.

Таблица 1

m1 = ; m2 = ; L = ;
	Результаты наблюдений	Результат измерения	S	Dx0	Dx(рад)
1	2	3	4	5
a
b
g

7.  Подставляя результаты измерения , , в формулу (13), вычислите коэффициент k восстановления относительной скорости при прямом центральном ударе шаров.

8.  Полуширину доверительного интервала Dk найдите по формуле :

,

где Da, Db, Dg - полуширины доверительных интервалов углов a, b, g, измеренные в радианах.

9.  Результат измерения запишите в виде доверительного интервала : k ± Dk.

Упражнение 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ НЕОБРАТИМЫХ

ПОТЕРЬ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

10. Используя результаты измерения , , по формуле (14), вычислите величину необратимых потерь кинетической энергии dЕ.

11. Пренебрегая ошибками измерения длины подвеса шаров L, ускорения свободного падения g и масс шаров m1 и m2 , найдите полуширину доверительного интервала D(dЕ) по формуле :

. (16)

Результат измерения запишите в виде : dЕ ± D(dЕ).

12. Оцените величину dЕ по формуле (15) и сравните с результатом, полученным в пункте 11.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте цель лабораторной работы.

2. Укажите явления, происходящие при упругом ударе твердых тел.

3. Оцените время удара твердых тел.

4. По какой формуле можно найти импульс ударной силы?

5. Сформулируйте законы сохранения импульса и механической энергии

6. Какой удар называется абсолютно упругим?

7. Какой удар называется абсолютно неупругим?

8. Сохраняется ли механическая энергия соударяющихся тел при реальном упругом ударе?

9. Какой удар тел называется центральным?

10. Какой удар называется: 1) прямым; 2) косым?

11. Какую величину называют коэффициентом восстановления относительной скорости?

12. Чему равен коэффициент восстановления относительной скорости при абсолютно упругом ударе твердых тел?

13. Укажите величину коэффициента восстановления относительной скорости тел при абсолютно неупругом ударе.

14. В каких пределах меняется величина коэффициента восстановления относительной скорости тел при реальном упругом ударе?

15. Напишите систему уравнений, решая которую можно найти скорости шаров после абсолютно упругого удара.

16. Какие скорости имеют шары равной массы после абсолютно упругого прямого центрального удара?

17. Какие уравнения образуют систему, решая которую можно найти скорости шаров после реального упругого удара?

18. Нарисуйте эскиз экспериментальной установки.

19. Какую величину определяют при выполнении упражнения 1 ?

20. Укажите порядок выполнения упражнения 1

21. По какой формуле получают значение угла в радианах?

22. Как высота подъема шара от положения равновесия связана с углом отклонения нити (стержня) подвеса от вертикали?

23. Как при выполнении данной работы находят скорости шаров до и после удара?

24. По какой формуле определяют коэффициент восстановления относительной скорости шаров, если после удара шары движутся в разные стороны?

25. По какой формуле вычисляют полуширину Dk доверительного интервала коэффициента восстановления относительной скорости шаров?

26. Какую величину определяют в упражнении 2 ?

27. Выполняется ли для кратковременного реального упругого удара закон сохранения импульса?

28. Укажите формулу для определения величины необратимых потерь кинетической энергии.

29. Укажите формулу для вычисления полуширины доверительного интервала величины необратимых потерь кинетической энергии.

30. Что происходит с механической энергией шаров при реальном упругом ударе?

Лабораторная работа № 4

определение коэффициента трения качения

методом наклонного маятника

Цель работы

Изучение закономерностей при внешнем трении и экспериментальное измерение коэффициента трения качения для различных материалов.

ТеоретическИе ОСНОВЫ РАБОТЫ

Во всех механических явлениях имеют место силы трения, действие которых практически всегда связано с переходом механической энергии в тепловую. Силы всемирного тяготения, упругие силы, рассматриваемые в механике, а также силы взаимодействия электрически заряженных тел зависят только от конфигурации тел, то есть от их взаимного расположения, но не от их скоростей. Отличие сил трения от указанных сил состоит в том, что силы трения, помимо конфигурации, зависят от относительной скорости тех тел, между которыми они действуют.

Силы трения могут возникать между соприкасающимися телами или их частями как при их относительном перемещении, так и при их относительном покое.

Внешнее трение действует в плоскости касания двух прижатых друг к другу тел при их относительном движении (например, трение между бруском и наклонной плоскостью, с которой он соскальзывает).

Внутреннее трение проявляется между различными частями одного и того же тела (между различными слоями жидкости или газа).

Трение между поверхностями двух соприкасающихся тел при отсутствии между ними жидкой, газообразной прослойки, называется сухим. Если между твердыми телами имеется тонкий слой жидкости (смазочного масла), то в этом случае трение называется жидкостным.

По кинематическому признаку внешнее трение можно разделить на трение скольжения и трение качения.

Рассмотрим движение (качение) шара (или цилиндра) по горизонтальной поверхности и возникающее при этом движении трение качения.

Для объяснения сил трения качения следует считать деформации шара (цилиндра) и плоскости качения неупругими, причем для простоты будем полагать, что деформируется только поверхность качения, и только она имеет некоторые пластические деформации (в реальных условиях возникают упругие и пластические деформации как шара (цилиндра), так и плоскости).

Точка приложения и направление реакции опоры (), или силы воздействия плоскости на катящийся шар (цилиндр) представлены на рис.8.

Уравнение проекций сил и на ось У имеет вид:

- mg +N·cosγ=0. (1)

Угол γ практически мал, cosγ » 1, то есть

N»mg. (2)

Горизонтальная составляющая реакции опоры представляет собой силу трения качения .

Так как вращение шара (цилиндра) равномерное, и угловое ускорение его равно нулю, то должно выполняться условие равенства моментов* сил, то есть момент силы трения качения относительно точки С равен проекции силы нормального давления Ny, умноженной на К:

Fтр·R=Nу·K, (3)

где R - радиус шара (цилиндра);

Nу = N×cosγ = N;

К - линейная величина, называемая коэффициентом трения качения.

Коэффициент трения качения имеет размерность длины, поэтому он называется также «плечом» силы трения качения шара (цилиндра).

Из равенства (3) с учетом, что Nу»N получаем следующее выражение для силы трения качения:

. (4)

В данной лабораторной работе предлагается один из способов исследования процесса трения качения - метод наклонного маятника.

Шарик 1, подвешенный в точке О на нити длиной L, может катиться по наклонной плоскости 2, составляющей регулируемый угол α с горизонтальной поверхностью (рис.9а).

ОО1 - направление (ось), фиксирующее положение равновесия наклонного маятника, точки А| и В| - проекции точек А и В на ось ОО1.

Идея данного метода заключается в определении связи уменьшения угла φ отклонения нити маятника с коэффициентом трения качения К.

Если маятник отклонить от положения равновесия на угол φ (точка А, рис.9а) и отпустить, то при отсутствии трения шарик 1 через половину периода* оказался бы в точке А1. Но при наличии трения качения шарик окажется (остановится) в точке В, нить маятника составит угол (φ-Dφ) с осью ОО1, причем точка В расположена ниже, чем точка А. Это означает, что происходит уменьшение потенциальной энергии маятника (DU), равное работе сил трения качения на пути АВ.

Следует отметить, что работой по преодолению сопротивления среды и трения в подвесе маятника ввиду их малости можно пренебречь.

DU = Aтр,

mgDh = FтрDS, (5)

где m - масса шарика;

Dh - потеря высоты (рис.9б);

DS - длина дуги АВ;

Fтр - сила трения качения, определяемая по формуле (4), в которой сила нормального давления тела (шара) на наклонной плоскости равна

N = mg×cosα. (6)

Из геометрических соображений определим Dh и DS.

Длина дуги АВ равна (рис.9а)

DS = L(2φ-Dφ), (7)

где L - длина нити или радиус дуги АВ окружности.

Изменение высоты Dh определяется как проекция отрезка A|B| на вертикальную ось (рис.9,б):

Dh = (A|B|)×sina = DL×sina,

где DL = A|B| = OB| - OA| = L×cos(j - Dj) - L×cosj,

Dh = L×sina[cos(j - Dj) - cosj]. (8)

Подставив в (5) формулы (4), (6), (7) и (8), получим следующее выражение:

mg×L×sina[cos(j - Dj) - cosj] = (K×mg×cosa/R)×L(2j - Dj

Учитывая, что Dj << 1 (за половину полного колебания потеря угла составляет порядка Dj @ 0,3° = 5,2×10-3 рад), то можно считать, что

cosDj » 1, sinDj @ Dj

и cos(j - Dj) = cosj×cosDj + sinj×sinDj = cosj + Dj×sinj.

С учетом указанных упрощений выражение (9) можно представить в виде:

.

Откуда . (10)

Так как коэффициент трения качения мал, например, порядка 10-5 м при движении стали по стали [1], то

sinj >> K/(R×tga),

и при малых углах отклонения шарика от положения равновесия
(j=6°=0,1 (рад))

sinj » j,

тогда уменьшение угла отклонения шарика от положения равновесия за половину полного колебания равно

. (11)

Тогда за одно полное колебание уменьшение угла отклонения удвоится,
т. е. ,

а за n полных колебаний

.

Итак, коэффициент трения качения при вышеуказанных упрощениях рассчитывается по формуле:

или , (12)

где Djn = (j0 - jn) - уменьшение угла отклонения маятника за n колебаний, выраженное в радианах.

Описание установки

Приборы и принадлежности: измерительная установка (наклонный маятник) и набор плоских образцов, изготовленных из различных материалов.

На рис.10 представлен наклонный маятник, представляющий собой шар
с указателем 1, подвешенный на нити к стойке 2.

Нить с шаром отклоняется от положения равновесия на заданные углы в градусах, которые отсчитываются по шкале 3, расположенной над плоским образцом 4, по которому происходит качение исследуемого шарика. Направляющие, в которые вставляется плоский образец, крепятся в кронштейне 5. Угол наклона плоскости качения меняется с помощью маховика 6 и регистрируется по шкале 7 в градусах, причем угол наклона a = 90° - d, где d - показание шкалы 7 прибора.

Рис.10

Вся установка расположена на основании 8 с регулируемыми по высоте ножками (опорных винтов). На этом же основании расположен измерительный блок (миллисекундомер) 9, соединенный с фотоэлектрическим датчиком 10. На лицевой панели миллисекундомера 9 расположены табло “ЧИСЛО КОЛЕБ.” и “ВРЕМЯ, С”, а также кнопки “СЕТЬ” (включение установки), “СБРОС” (установка нуля измерителя) и “СТОП” (остановка счета измерителя).

Порядок выполнения работы

1.  Включите установку в сеть.

2.  При помощи опорных винтов установите маятник в такое положение, чтобы нить маятника находилась против нулевого деления шкалы 3, а указатель 1 пересекал световой луч фотоэлектрического датчика.

3.  Установите и закрепите шкалу 7 углов на отметку 90° и установите с помощью маховика 6 стойку 2 маятника под углами di. Значения углов наклона плоскости качения ai = 90° - di указаны в таблице.

4.  При заданном угле наклона плоскости отклоните шарик на угол j0 = 6° и без толчка отпустите. После того как маятник совершит n = 5 полных колебаний, нажмите кнопку “СТОП” и по шкале 3 измерьте визуально угол jn отклонения маятника.

Таблица

R = 0,1 м; j0 = 6° = 0,104 рад; n = 5
a1 = 65°	a2 = 75°	a3 = 80°
№№	t, с	jn град	№№	t, с	jn град	№№	t, с	jn град
1			1			1
2			2			2
3			3			3
4			4			4
5			5			5
<t> = ; <jn> = ;	<t> = ; <jn> = ;	<t> = ; <jn> = ;
T =	T =	T =

5.  Показания миллисекундомера 9 (время полных колебаний t, с) и значения угла jn занесите в таблицу.

6.  Для каждого угла наклона плоскости ai повторите опыты, проводимые по пунктам 4 и 5 не менее 5 раз, и результаты измерений занесите в таблицу.

ВНИМАНИЕ: после каждого измерения следует нажать кнопку “СБРОС” для установки нуля измерителя.

7.  Указанные измерения проделайте для плоских образцов 4 (рис.10), изготовленных из различных материалов (стали, бронзы, латуни, алюминиевого сплава).

Обработка результатов измерений

1.  Выразите (j0 - jn) в радианах и по формуле (12), используя данные таблицы, вычислите коэффициент трения качения при различных углах наклона плоскости качения a.

2.  Постройте график зависимости коэффициента трения качения от угла наклона a, то есть К = К (tga).

3.  Методику расчета абсолютной ошибки при прямых измерениях смотрите в гл.Ι данного пособия. Найдите абсолютные ошибки Dt, Djn, Dj0, Da, DR.

4.  Рассчитайте относительную ошибку измерения коэффициента трения качения по формуле

.

5.  Вычислите периоды колебаний маятника при различных углах наклона плоскости качения по формуле

,

а абсолютную ошибку по формуле

и результаты вычислений занесите в таблицу: .

6.  Постройте график зависимости периода колебаний от угла наклона плоскости качения a, то есть T = T (a), учитывая, что при a = 90° (наклонная плоскость установлена вертикально и шар почти касается плоскости) период колебаний можно вычислить по формуле

.

Контрольные вопросы

1.  От каких факторов зависит величина сил трения?

2.  Дайте определение внешнего трения.

3.  Что такое внутреннее трение?

4.  Какие виды внешнего трения Вы знаете?

5.  При каких условиях возникают сухое или жидкостное трение?

6.  Чему равна сила трения скольжения?

7.  Какова размерность коэффициента трения скольжения?

8.  Объясните, какие деформации твердого тела называются упругими, пластическими?

9.  Чему равен момент силы относительно неподвижной точки?

10.  Что такое сила нормального давления и чему она равна в случае горизонтальной поверхности и в случае наклонной поверхности?

11.  Чему равна сила трения качения?

12.  Какова размерность коэффициента трения качения?

13.  Что такое полное колебание и его период?

14.  На основании какого закона выводится формула (12) для вычисления коэффициента трения качения?

15.  Какие упрощения вводятся при выводе расчетной формулы коэффициента трения качения?

16.  Опишите работу данной лабораторной установки.

17.  Какое явление используется для автоматической регистрации времени колебаний маятника?

18.  Объясните порядок выполнения данной лабораторной работы.

19.  Почему нить с шариком следует отклонять от положения равновесия на малые углы?

20.  Используя формулу периода колебаний математического маятника, вычислите время одного полного колебания, если длина маятника равна 0,9 м.

21.  Маятник (рис.11) длиной L = 1 м и массой m = 0,2 кг отклонили от положения равновесия на угол a = 60°. Найдите изменение потенциальной энергии в момент прохождения шариком положения равновесия. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.

22.  Почему происходит уменьшение амплитуды колебаний наклонного маятника?

23.  Цилиндр (рис.12) массой 1кг и радиусом 0,4 м пытаются поднять на ступеньку высотой 0,1 м горизонтальной силой F, приложенной к центру С. Найдите момент силы тяжести () и силы относительно точки поворота (т. О).

24.  Как изменится коэффициент трения качения, если стальную пластину заменить на алюминиевую?

25.  Как зависит период колебаний маятника от угла наклона плоскости качения?

26.  Какие виды погрешностей Вы знаете?

27.  Назовите виды измерений физических величин.

28.  Как вычисляются абсолютные и относительные ошибки при прямых измерениях?

29.  Что такое доверительный интервал?

30.  Напишите формулу для вычисления относительной погрешности .

* Момент силы относительно оси, проходящей через точку С, численно равен произведению силы на плечо (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения, проходящей через точку С).

* Период колебаний Т (с) - это время одного полного колебания.