Министерство образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
РАСЧЕТ БРУСЬЕВ
НА СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
И НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Методические указания
к выполнению контрольной работы 3
по курсу "Сопротивление материалов"
для студентов специальности 170600
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2009
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Цель методических указаний – помочь студентам механических специальностей заочной формы обучения в выполнении контрольной работы 3. В контрольных работах 1 и 2 решались задачи по таким разделам курса, как растяжение-сжатие, теория напряженного состояния, кручение, геометрические характеристики плоских сечений и плоский изгиб. В контрольной работе 3 рассматриваются задачи расчета элементов конструкций в условиях сложного сопротивления и расчета стержней на устойчивость.
Сложное сопротивление – это такие виды деформаций бруса, при которых возникает не менее двух внутренних силовых факторов. В тех случаях, когда напряженное состояние в опасных точках бруса является одноосным, например, при центральном растяжении-сжатии, при расчетах на прочность, критерии прочности и пластичности не используются. Если в опасных сечениях бруса возникают плоское или объемное напряженные состояния, например, при изгибе с кручением, то расчет на прочность выполняется с применением критериев прочности и пластичности.
Прежде, чем приступить к решению задач на внецентренное сжатие и изгиб с кручением, необходимо повторить такие разделы курса, как растяжение-сжатие, прямой поперечный изгиб, кручение и изучить разделы: внецентренное растяжение-сжатие, теории напряженного состояния, критерии прочности и пластичности.
В ряде конструкций прямолинейные стержни сжимаются силами, направленными вдоль оси стержня. При некотором критическом значении этих сил стержень теряет прямолинейную форму устойчивого равновесия и искривляется. Это явление называется потерей устойчивости или продольным изгибом. В зависимости от гибкости стержня критическая сила вычисляется либо с помощью формулы Эйлера, либо по формуле Ясинского. Для подбора сечения стержня используют метод последовательных приближений коэффициента продольного изгиба. Для решения задачи на устойчивость необходимо изучить раздел курса - устойчивость сжатых стержней.
ПРИМЕР РАСЧЕТА СТЕРЖНЯ НА ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ
Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рис. 1, сжимается продольной силой F, приложенной в точке А. Требуется: вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив эти напряжения через F и размеры сечения; найти допускаемую нагрузку F при заданных размерах сечения (а = 3 см, в = 3 см) и допускаемых напряжениях для чугуна на сжатие [sс] = 130 МПа и на растяжение [sp] = 23 МПа.
1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения стержня. Так как сложная фигура, лежащая в поперечном сечении стержня имеет только одну ось симметрии, необходимо найти положение центра тяжести этой фигуры. Проведем произвольные оси x, y и разделим сложную фигуру на простые фигуры I и II, положение центров тяжести которых мы знаем.
Координаты центров тяжести простых фигур с1(a/2; 0), с2(a + a/2; 0).
Площадь сложной фигуры
Статические моменты площади сложной фигуры:
Координаты центра тяжести сложной фигуры:
Отметим положение центра тяжести сложной фигуры на рис.1 и проведем через него главные центральные оси xc, y c.
Осевые моменты инерции сложной фигуры:
Квадраты радиусов инерции:
2. Определим положение нейтральной оси. Координаты точки А, в которой приложена сила F, равны: xF = 3,5 см; yF = 3 см.
Размеры отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях координат:
Откладываем эти отрезки по осям координат и через их концы проводим нейтральную линию Н-Л. Нейтральная линия делит сечение стержня на сжатую и растянутую зоны.
3. Вычислим наибольшие растягивающее и сжимающее напряжения. Наиболее удаленными от нейтральной линии являются точки А и B. В т. А возникают наибольшие сжимающие напряжения, в т. B – наибольшие растягивающие напряжения. Координаты этих точек:
xA = 3,5 см; yA = 3 см; xB = -2,5 см; yB = -6 см.
Напряжения в точках А и B:
4. Из условий прочности на растяжение и сжатие определим допускаемую нагрузку [F].
Из условия прочности на сжатие имеем
Из условия прочности на растяжение имеем
Из полученных двух значений допускаемой нагрузки выбираем наименьшее, то есть принимаем окончательно [F] = 30 кН.
ПРИМЕР РАСЧЕТА ВАЛА НА ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ
Шкив диаметром D1 и углом наклона ветвей ремня к оси x - a1 делает n оборотов в минуту и передает мощность N кВт. Два других шкива имеют одинаковый диаметр D2 и одинаковые углы наклона ветвей ремня к оси x - a2. Каждый из них передает мощность N/2 (рис. 2а). Требуется:
- определить моменты, приложенные к шкивам, по заданным N и n; - построить эпюру крутящих моментов Mк;
- определить окружные усилия t1 и t2, действующие на шкивы, по найденным моментам и заданным диаметрам шкивов D1 и D2;
- определить давления на вал, принимая их равными трем окружным усилиям;
- определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях (вес шкивов и вала не учитывать);
- построить эпюры моментов от вертикальных (Mx) и горизонтальных (My) сил;
- построить эпюру суммарных изгибающих моментов (Mизг);
- найти опасное сечение и определить максимальный расчетный момент (по третьей теории прочности);
- подобрать диаметр вала d при заданном допускаемом напряжении [s] (округлить значение d по данным к задаче 5).
N = 100 кВт; n = 500 об/мин; a = 1,1 м; b = 1,2 м; c = 1,3 м; D1 = 1,0 м;
D2 = 0,6 м; a1 = 30°; a2 = 45°; [s] = 70 МПа.
1. Определяем моменты, приложенные к шкивам, по заданным N и n:
Расчетная схема вала изображена на рис. 2в.
1. Для построения эпюры крутящих моментов используем метод сечений. Вал имеет четыре участка (рис. 2а).
Для участка I: 
Для участка II: 
Для участков III и IV:
Эпюра крутящих моментов Mк приведена на рис. 2с.
3. Определяем окружные усилия t1 и t2, действующие на шкивы:
где D1 и D2 – диаметры первого и второго шкивов.
4. Находим давления на вал (принимаем их равными трем окружным усилиям):
5. Определяем силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Для этого разложим силы F1 и F2 на горизонтальную и вертикальную составляющие:
При этом нагрузки F1x и F2x направлены в противоположные стороны (см. рис. 2n).
6. Прикладываем к валу силы F1y и F2y, изгибающие его в вертикальной плоскости (рис. 2d), и находим опорные реакции RА и RВ из уравнений равновесия статики:
Проверка: 
Определяем изгибающие моменты от вертикальных сил.
I участок (0 £ x1 £ 1,1 м)
II участок (1,1 £ y2 £ 2,3 м)
III участок (1,1 £ y3 £ 2,4 м)
IV участок (0 £ y4 £ 1,1 м)
Строим эпюру Мx (Мверт) (рис. 2g).
7. Прикладываем к валу нагрузки F1x и F2x, изгибающие его в горизонтальной плоскости, при этом изображение вала с приложенными нагрузками поворачиваем из горизонтальной плоскости в вертикальную и располагаем в плоскости чертежа (рис. 2f). Находим опорные реакции НА и НB из уравнений равновесия статики.
Проверка: 
Записываем выражения изгибающих моментов My (Mгор) на каждом участке:
I участок (0 £ y1 £ 1,1 м)
II участок (1,1 £ y2 £ 2,3 м)
III участок (1,1 £ y3 £ 2,4 м)
IV участок (0 £ y4 £ 1,1 м)
Строим эпюру My (Mгор) (рис. 2g).
8. Определяем суммарные изгибающие моменты в граничных сечениях участков по формуле
Строим эпюру суммарных изгибающих моментов Мизг (рис. 2к).
Для каждого поперечного сечения вала имеется своя плоскость действия суммарного изгибающего момента, но для круглого сечения можно совместить плоскости Мизг для всех поперечных сечений и построить суммарную эпюру в плоскости чертежа. Эта эпюра будет прямолинейной только для тех участков, на которых эпюры Мx и Мy пересекают ось в одной точке (I и IV участки). На других участках эпюра Мизг будет криволинейной.
9. Опасным сечением является сечение О.
Расчетный момент по третьей теории прочности для этого сечения
10. Определяем диаметр вала d из условия прочности:
Округляя, принимаем диаметр вала d = 120 мм.
ПРИМЕР РАСЧЕТА СТЕРЖНЯ НА ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ
Стальной стержень длиной 
сжимается силой F = 100 кН (см. рис. 3). Требуется: определить размеры поперечного сечения стержня при допускаемом напряжении на простое сжатие [s] = 160 МПа; найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.
1. Определяем геометрические характеристики поперечного сечения стержня. Площадь
Главные центральные моменты инерции поперечного сечения стержня
Минимальный главный центральный момент инерции
Минимальный радиус инерции 
Гибкость стержня 
где m - коэффициент приведения длины (для рассматриваемого стержня m=1).
2. Подбор поперечного сечения стержня проводим последовательными приближениями, предварительно задаваясь коэффициентом продольного изгиба j = 0,5.
Первое приближение. j1 = 0,5.
Площадь сечения 
Гибкость 
Представим число 117 как 110 + 7.
По таблице коэффициентов продольного изгиба j для стали марки Ст.3 с помощью интерполяции находим j1табл, соответствующее гибкости l1 = 117:
при l = 110 j = 0,52
при l = 120 j = 0,45
Dl = 10 Dj = -0,07.
Для Dl = 1 Dj = -0,007,
тогда 
Напряжения, действующие в стержне
Допускаемое напряжение на устойчивость
Разница в процентах между действующим напряжением и напряжением на устойчивость 
Это больше допустимых 5 % , поэтому проводим второе приближение.
Второе приближение. В качестве начального значения j2 для второго приближения принимается 
Повторяя в той же последовательности все действия, выполненные в первом приближении, получаем
Гибкость 
По таблице коэффициентов продольного изгиба j для стали марки Ст.3 с помощью интерполяции находим j2табл, соответствующее гибкости l2 = 115.
при l = 110 j = 0,52
при l = 120 j = 0,45
Dl = 10 Dj = -0,07.
Для Dl = 1 Dj = -0,007,
тогда 
Напряжения, действующие в стержне
Допускаемое напряжение на устойчивость
Разница в процентах между действующим напряжением и напряжением на устойчивость
Полученная разница 0,2 % менее 5 % допустимых, следовательно принимаем с2 = 1,16 см.
3. Определяем критическую силу Fк.
Если l < lпред, то для определения критической силы используется формула Ясинского, а если l > lпред, то формула Эйлера. Для стали марки Ст.3 величина гибкости lпред. = 100.
Так как гибкость стержня l=115 > lпред. = 100, то критическую силу определяем по формуле Эйлера
Коэффициент запаса устойчивости
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении или сжатии ?
2. На какие зоны делит нейтральная ось поперечное сечение стержня?
3. Какие напряжения возникают в поперечном сечении стержня при изгибе с кручением?
4. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением ?
5. В чем заключается явление потери устойчивости сжатого стержня?
6. Что называется гибкостью стержня?
7. Как устанавливается предел применимости формулы Эйлера?
8. Как определяется критическая сила по Ясинскому?
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров материалов: Учеб. для вузов/ , , ; Под ред. . -5-е изд. стер.- М.: Высш. шк., 200с.
2. Вольмир материалов для вузов / , ; Под ред. . - М.:Высш. шк., 20с.
3. Гильман материалов: Учебное пособие для студентов механических специальностей / .- Саратов.: СГТУ, 200с.
4. Сопротивление материалов: Учеб. пособие/ , , и др.; Под ред. .- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Высшая школа, 200с.
5. Феодосьев материалов учебник/ изд. стер.- М.: Изд-во МГТУ им. , 200с.
РАСЧЕТ БРУСЬЕВ
НА СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
И НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Методические указания
к выполнению контрольной работы 3
Составили ГИЛЬМАН Александр Абрамович
ПОПОВА Наталья Евгеньевна
Саврасов
Мишина
Лицензия ЛР № 000 от 15.11.96
Подписано в печать 27.02.02 Формат 60х84 1/16
Бум. тип Усл.-печ. л.0,93 Уч.-изд. л 0.9
Тираж 100 экз. Заказ 87 Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054 7
Копипринтер СГТУ, 410054 7
