Решать шестой выриант

Решать шестой выриант

1.  Исследовать сходимость числовых рядов:

	а)	б)		а)	б)
			6.

Решение

Воспользуемся вторым признаком сравнения. Для сравнения возьмем ряд Дирихле

, где p=3/4, этот ряд расходится

получили конечный предел, следовательно исходный ряд расходится, т. к. расходится ряд

Исследуем сходимость ряда по признаку Коши

следовательно ряд сходится.

2. Найти интервал сходимости, исследовать сходимость на концах интервала:

		6.

Найдем радиус сходимости степенного ряда по формуле

Интервал сходимости ()

Исследуем на концах интервала. при получаем ряд

этот ряд расходится, т. к. это гармонический ряд

при получаем ряд

данный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, следовательно он сходится условно

тогда область сходимости [)

3. Найти общее решение дифференциального уравнения.

6.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение

а)

Положим y=tx

б) ;

В это уравнение x и dx входят линейно, будем искать зависимость x(y)

Применяем далее метод вариации произвольной постоянной . Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде

Подставив значения и в неоднородное уравнение, получим

возьмем интеграл дважды по частям

Тогда общее решение неоднородного уравнения

в) ;

Данное уравнение линейное. Для его решения нужно решить однородное уравнение

Применяем далее метод вариации произвольной постоянной . Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде

Подставив значения и в неоднородное уравнение, получим

Тогда общее решение неоднородного уравнения.

г) .

Произведем замену переменных

4. Для данного дифференциального уравнения второго порядка найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

6., , .

Решение

Общее решение линейного неоднородного уравнения во всех случаях равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения общего однородного с той же левой частью. Найдем решение общего однородного

составим характеристическое уравнение

поскольку правая часть имеет вид , и коэффициент при х совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде

тогда частное решение неоднородного

Общее решение неоднородного

Найдем коэффициенты