Абсолютная величина в неравенствах

Абсолютная величина в неравенствах

Неравенство с модулем – такое неравенство, в котором имеется хотя бы одно выражение | a |, где в качестве a может быть любое аналитическое выражение, содержащее хотя бы одну искомую неизвестную данного неравенства.

При решении неравенств с модулем можно не упоминать общий алгоритм, а применять схемы равносильности преобразований неравенств с модулем, которые получены на основе определения модуля.

Схемы равносильных переходов

1.

 

3.

5.

6.

Но заучивать все схемы не следует, важно их знать. К положительному результату может привести только осознанное их использование.

§1. Неравенства вида

Неравенство (1) можно решать основным методом. Однако иногда можно решить данное неравенство, применив схемы равносильных переходов – 2 и 4.

Пример 1. Решить неравенство

Решим данное неравенство, применив схему 4.

при любом

при

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство

Решаем согласно схеме 2:

Ответ: .

§2. Неравенства вида

Неравенство (2) можно решать основным способом. Однако иногда бывает полезно разбить ОДЗ неравенства (2) на две части, а именно:

1.  Найти область, где . Все x из этой области дают решение неравенства (2).

2.  Найти область, где и на ней рассмотреть неравенство .

Объединение найденных решений и даёт решение неравенства (2).

Пример 3. Решить неравенство

(3)

Решение. ОДЗ: .

а) Найдём те x, для которых

(4)

Перепишем неравенство (4) в виде

(5)

Ясно, что никакое x из промежутка 0 ≤ x < + ∞ не является решением неравенства (5). Пусть x < 0, для этих x неравенство (5) равносильно неравенству




(6)

Решения неравенства (6) составляют два промежутка

Из этих x условию x < 0 удовлетворяют лишь x из промежутка

Следовательно, решениями неравенства (4) являются все x из промежутка

, все эти x являются решениями исходного неравенства (3).

б) Теперь на множестве рассмотрим неравенство

(6)

Его можно переписать в виде

(7)

Ясно, что x = не есть решение неравенства (7).

Для любого x > левая часть неравенства (7) отрицательна, а правая положительна, следовательно, среди x > нет решений неравенства (7).

Для любого x < левая часть неравенства (7) положительна, а правая отрицательна, следовательно, любое из этих x является решением неравенства (7).

Из этих x в множество входят все x из промежутка .

Все они являются решениями исходного неравенства (3).

Объединяя решения, найденные в пунктах а) и б), получаем решения исходного неравенства (3).

Ответ: .

§3. Неравенства вида | f(x) | < | g(x) |

Неравенство | f(x) | < | g(x) | (8) можно решать согласно общему методу. Однако иногда бывает полезно заметить неравенство (8) неравенством

(применили схему 6), т. е. неравенством

( f (x) + g (x)) ∙ (f (x) - g (x)) < 0, равносильным ему на его ОДЗ.

Пример 4. Решить неравенство

(9)

Решение. ОДЗ: . Неравенство (9) равносильно неравенству

,

которое можно переписать в виде

Решением этого неравенства является любое действительное x, кроме x = 0.

В самом деле, для любого x, принадлежащего промежутку имеем и , поэтому для любого такого x.

Для любого x, принадлежащего промежутку имеем и , поэтому и .

В силу чётности функции получаем, что все также являются решениями неравенства.

Очевидно, что x = 0 неравенству не удовлетворяет.

Ответ: .



Подпишитесь на рассылку:

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.