Учитель – ученик: проблемы, поиски, находки (стр. 3 )

·  контроля и дополнительной индивидуальной проработки изучаемого материала;

·  качественной реализации всех этапов формирования математических понятий (мотивации, выявления существенных свойств понятия, усвоение определения понятия, использование понятия в конкретных ситуациях, систематизация понятий) за счет визуального представления изучаемых математических объектов[2, с.49-67];

·  качественной реализации всех этапов работы с задачей или теоремой за счет визуального представления каждого этапа и моделирования задачных ситуаций;

·  решения большого количество расчетных задач профессионально значимых для студентов ссузов с помощью специализированных математических систем и пакетов.

Кроме того, без овладения НИТ невозможны повышение качества среднего профессионального образования, подготовка специалистов – профессионалов, владеющих компьютерными технологиями, математическими методами построения моделей, постановки и решения задач, а также умеющих проводить математические расчеты и анализ результатов с использованием современных информационных и телекоммуникационных технологий в своей профессиональной деятельности.

Использование НИТ в обучении математике студентов ссузов, учет особенностей профиля специальности (гуманитарный, технический) поможет студентам осознать целостную картину изучения материала, индивидуализировать обучение, совершенствовать контроль и самоконтроль, повысить результативность учебного процесса, и, следовательно, будет способствовать подготовке специалистов-профессионалов.

Литература

1. Вознесенская, И. В. Обучение физике студентов инженерных специальностей с использованием современных компьютерных технологий/ //Интеграция образования.– Саранск, 2006.– №4.–С.248-251.

2. Захарова, И. Г. Информационные технологии в образовании: учеб. пособ. для студ. высш. учеб. заведений/ , - М.: Издательский центр «Академия», 200с.

3. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособ. для пед. инстит. / , – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.

О. М. КУЛИБАБА

ДЕТСКАЯ ОДАРЕННОСТЬ И ЕЕ СТРУКТУРНЫЕ КОМПОНЕНТЫ

В последние годы в педагогике и психологии значительно возрос интерес к области такого сложного явления, как «детская одаренность».

Достаточно общее определение детской одаренности в 1972 году было опубликовано Комитетом по образованию США: «Одаренными и талантливыми учащимися являются те, которые выявлены профессионально подготовленными людьми, как обладающие потенциалом к высоким достижениям в силу выдающихся способностей. Такие дети требуют дифференцированных учебных программ и (или) помощи, которые выходят за рамки обычного школьного обучения, для того, чтобы иметь возможность реализовать свои потенции и сделать вклад в развитие общества. Дети, склонные к высоким достижениям, могут и не демонстрировать их сразу, но иметь потенции к ним в любой из следующих областей (в одной или в сочетании): а) общие интеллектуальные способности; б) конкретные академические способности; в) творческое или продуктивное мышление; г) лидерские способности; д) художественные и исполнительские искусства; е) психомоторные способности» [13, с.87].

Отметим, что в 1975 году Всемирный совет по одаренным и талантливым детям, объединяющий 55 стран утвердил представленное выше определение детской одаренности в качестве рабочего определения.

В нашей стране в 1997 году утверждено Положение о Координационном Совете Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации по федеральной и целевой программе «Одаренные дети», созданного в целях реализации программы по оказанию социальной, педагогической и психологической помощи одаренным детям, педагогам, а также образовательным учреждениям для обучения и воспитания талантливых детей, показавших высокую специальную, общую и (или) творческую одаренность. Согласно рабочей концепции одаренности, разработанной , и др. [4], «одаренность – это системное, развивающееся в течение жизни качество психики, которое определяет возможность достижения человеком более высоких (необычных, незаурядных) результатов в одном или нескольких видах деятельности по сравнению с другими людьми», «одаренный ребенок – это ребенок, который выделяется яркими, очевидными, иногда выдающимися достижениями (или имеет внутренние предпосылки для таких достижений) в том или ином виде деятельности».

Данные определения, несмотря на их большую конкретность, все же не отражают возрастного характера детской одаренности, кроме того, в представленных определениях, отсутствует такой важный аспект одаренности, как ее личная и общественная ценностность.

Многие ученые отмечают связь между духовностью и одаренностью, творческой одаренностью [3, 21, 23, 24, 25]. Выдвинутое положение о том, что «отношение человека к внешнему миру определяется богатством его внутреннего мира» находит свое продолжение у , который обращает внимание на то, что «духовные состояния включают в себя сильный эмоциональный компонент… Эмоции побуждают ум к новым начинаниям, а волю – к упорству» [22, с.368-369]. В подтверждение этого постулата ученый приводит слова А. Бергсона [2] о существовании эмоций, порождающих мысль: «…изобретение, хотя оно и принадлежит к явлениям интеллектуального порядка, может иметь своей составляющей сферу чувств… Эмоции – это потрясение души».

Мы полностью разделяем выводы , и утверждаем, что в условиях научно-технической революции и нынешнего перехода к глобальному информационному человеческому сообществу резко возрастает ценностно-духовный аспект личности. Многочисленным угрозам, перед которыми стоит человечество, должны противостоять люди, ответственные за свои поступки. А это, в свою очередь, диктует необходимость развивать одаренных детей, обладающих не только предельно и сверхпредельно высокими показателями ума, воли, но и отличающихся твердыми духовно-нравственными позициями, моралью, ценностным отношением к человеку, природе, миру и к себе.

Таким образом, детская одаренность - это развиваемое в течение жизни ценностное, интегрированное качество психики, позволяющее на основе более высоких по сравнению с другими детьми данного возраста интеллекта, креативности и повышенной избирательной увлеченности к конкретной предметной деятельности (например, к математике) или к нескольким видам деятельности достигать незаурядных, необычных результатов.

Выделим структурные компоненты детской одаренности.

Детскую одаренность в силу ее сложности нельзя представлять в виде законченной схемы. Тем не менее, сравнительный анализ различных подходов к проблеме одаренности ребенка [3, 8, 15, 17, 20] позволяет рассматривать ее модель как структурно-уровневое образование, состоящее из четырех взаимосвязанных компонентов: мотивационно-целевого, содержательно-операционного, эмоционально-волевого и рефлексивного.

Остановимся более подробно на каждом из вышеуказанных компонентов.

Мотивационно-целевой компонент в структуре детской одаренности характеризует индивидуальные особенности принятия и удержания целей деятельности, уровень осознанности ребенком данного процесса.

Одаренный ребенок с развитым целеполаганием самостоятельно выдвигает цели, осознанно организует свою деятельность, а его цели отличаются реализмом, детализацией и устойчивостью (актуальная одаренность). Одаренный ребенок с низким уровнем целеполагания предпочитает не задумываться о своем будущем, цели выдвигает ситуативно и обычно несамостоятельно. В связи с этим цели далеки от реальности, подвержены частой смене и, как следствие, продуктивные результаты могут быть отдалены во времени (потенциальная одаренность).

Процесс развития одаренности ребенка подразумевает формирование способности к целеполаганию. Именно это в наибольшей степени гармонизирует адаптивную и неадаптивную активность личности, умеющую самостоятельно намечать свои цели и создавать условия для их достижения.

Мотив (побудительная причина деятельности, поведения) играет важнейшую роль в структуре одаренности, поскольку позволяет ответить на вопрос: зачем это нужно ребенку, зачем он это делает?

О возможном и реальном многообразии мотивов свидетельствуют научные труды, в которых представлены разнообразные классификации [9, 10, 14, 16]. Не задаваясь целью подробного их рассмотрения, отметим лишь, что во всех классификациях мотивы сгруппированы в несколько относительно небольших групп. Например, мотивы учения можно сгруппировать следующим образом:

- мотивы, заложенные в самой учебной деятельности (интересует содержание учения, хочется узнавать новые факты, овладевать знаниями, способами действий, проникать в суть явлений, увлекает процесс общения с учителем, другими детьми, нравятся игровые моменты, технические средства и др.);

-мотивы, связанные с косвенным продуктом учения (мотивы долга, ответственности перед родителями, учителями, классом, обществом; мотивы самоутверждения, достижения, самоопределения, самосовершенствования; мотивы страха быть наказанным, страха разочарования родителей и др.).

Конечно же, перечисленные группы мотивов беднее и проще, чем реальная жизнь, однако в целом они отражают суть явления.

Отметим, что каждому ребенку (одаренному и «нормальному») свойственны все перечисленные выше мотивы, но их иерархия может быть различной. То есть одни мотивы могут преобладать, доминировать в мотивационно-потребностной сфере ребенка, а другие находиться в подчиненном положении.

Как отмечает [19, с.23], наиболее желательно с точки зрения одаренности доминирование мотивов, связанных с содержанием учения (ориентация на овладение новыми знаниями, фактами, явлениями, закономерностями; ориентация на усвоение способов приобретения знаний и т. п.). Доминирование именно этой группы мотивов характеризует одаренного ребенка.

Психологами [7, 14, 18] доказано, что деятельность, выполняемая не из чувства долга, не для получения высокой оценки и т. п., а на основе внутренней потребности («потому что хочется») вызывает положительные эмоции, которые в свою очередь содействуют развитию данных способностей. Кроме того, большое значение имеет и то, в какой иерархии за доминантными выстроятся остальные мотивы. Например, мотивы, связанные с процессом общения с учителем уступают по ценности мотивам желания узнавать новые факты, однако первые легче могут быть трансформированы во вторые, чем, например, мотив страха быть наказанным.

С точки зрения психолого-педагогического сопровождения развития одаренных детей очень важна иерархия мотивов, поскольку ученые [1, 5, 6, 12] отмечают, что на практике менее одаренные, но целенаправленно решающие собственную, личностно значимую задачу дети, оказываются в конечном счете более продуктивными, чем более одаренные дети, но менее заинтересованные. То есть максимально реализует свой потенциал чаще не тот, кто более развит, а тот, кто более упорно, настойчиво идет к своей цели.

Содержательно-операционный компонент в структуре детской одаренности представляет собой совокупность внутриличностных и внешних составляющих.

Внутриличностными содержательными элементами детской одаренности мы выделяем следующие, которые для большей наглядности представлены в виде схемы:

Схема 1.

Внутриличностные содержательные элементы детской одаренности.

Генотип (природные задатки)

↓

индивидуальные особенности психики ребенка (состояние конвергентного и дивергентного мышления, память, особая чувствительность к конкретной предметной деятельности, др.)

↓

Высокий уровень умственных способностей (различные виды интеллекта + креативность)

↓

Высокий уровень проявления различных видов адаптивной и неадаптивной активности

К внутриличностнным операционным элементам детской одаренности мы отнесли следующие, которые также представлены в виде схемы:

Схема 2.

Внутриличностные операционные элементы детской одаренности.

Знания

Высокий уровень сформированности умений в одной или нескольких видах деятельности

Навыки

Опыт

К внешним содержательно-операционным элементам, в большей или в меньшей степени влияющим на развитие одаренности ребенка относятся: - макросреда (мировое сообщество, страна, культура);

- мезосреда (особенности региона проживания);

- микросреда (семья, школа, сверстники, совокупность особенностей обучения, воспитания, которые должны стимулировать развитие одаренности, быть развивающими).

Наличие одаренности (особенно потенциальной) еще не гарантирует обязательное достижение ребенком успеха в деятельности (или деятельностях). Для этого необходимы волевые усилия. Обратимся к эмоционально-волевому компоненту одаренности.

Эмоционально-волевой компонент.

В основе данного компонента лежит готовность к совершению волевого усилия по включению в деятельность. Волевая регуляция - «это целенаправленное саморегулирование человеком своего поведения, выраженное в способности сознательно преодолевать препятствия и трудности при совершении действий и поступков» [11, с.20]. Она характеризует индивидуальные особенности регуляции человеком собственных действий, психических процессов и состояний. Личность с высоким уровнем волевой регуляции может целенаправленно регулировать свои психические процессы и реализовывать собственные планы. Человек же с неразвитыми волевыми качествами не способен мобилизовать свои физические и психические возможности для преодоления препятствий, возникающих на пути к поставленной цели. Его поведение отличается импульсивностью, качество и результативность деятельности резко снижаются при увеличении объема работы, ухудшении физического или психологического состояния, возникновении внутренних или внешних трудностей.

Проявления одаренности в любом виде деятельности неизбежно связано с преодолением различных затруднений, что требует сознательной саморегуляции ребенком своей деятельности и поведения. Эту функцию выполняет воля. Каким же образом это происходит? Психологи выделяют этапы волевого действия: осознание цели и стремление ее достичь → осознание ряда возможностей достижения цели → появление мотивов, утверждающих или отрицающих эти возможности → борьба мотивов и выбор → принятие одной из возможностей достижения цели в качестве решения → осуществление принятого решения. Особое внимание уделяется борьбе мотивов, поскольку результат этой борьбы и определяет выбор, появляется волевое решение. Оно может быть различным: или воля проявилась, то есть ребенок заставил себя сделать что-то, несмотря на препятствия (значительные или незначительные), или проявилось безволие, то есть произошло рассогласование цели и мотива, ребенок не увидел смысла что-либо сделать.

Относительно детской одаренности можно выделить такие волевые качества, как:

- четкое осознание цели и интенсивное стремление к ее достижению;

- борьба мотивов и выбор происходят обоснованно и быстро;

- решения всегда обоснованные;

- в осуществлении решения проявляется стойкость и активность;

- настойчивость (способность личности в течение длительного времени вопреки трудностям и препятствиям сохранять усилия по достижению цели);

- решительность (способность к быстрому принятию решения и его осуществлению);

- убежденность (обоснованная уверенность личности в истинности принципов и знаний, которыми она руководствуется);

- уверенность в собственных силах (способность личности к потенциальному осуществлению любой деятельности, к преодолению любых препятствий);

- самостоятельность при принятии решений (относительная независимость от внешних воздействий, способность организовать свою деятельность и добиваться достижения поставленных целей).

Волевая регуляция тесно связана с мотивационно-целевым и содержательно-операционным компонентами одаренности, так как у них общая основа - потребности ребенка. Потребности же, в свою очередь, тесно связаны с эмоциями. «Выступая в качестве проявления потребности… - конкретной психической формы ее существования, эмоция выражает активную сторону потребности» [11, с.123]. Эта общая основа - потребность - определяет связь мотивов и волевых процессов с эмоциями. Эмоции — это «особый психический процесс, выраженный переживанием чувств, который выступает в качестве проявления потребности и отражает значимость объектов и событий во внешнем и внутреннем мире человека для его жизнедеятельности» [11, с.123]. Положительные эмоции (радость, удовлетворение, уверенность, гордость, конструктивное сомнение) сообщают одаренному ребенку дополнительную энергию, придают дополнительные силы, что служит могучим стимулом в дальнейшей деятельности.

Наличие рефлексивного компонента в структуре детской одаренности опосредуется тем, что рефлексия выступает в качестве одного из основных механизмов психической деятельности, в ходе осуществления которой ребенок отдает себе полный и ясный отчет в том, что и как он делает, т. е. осознает те схемы и правила, в согласии с которыми он включается в одну или несколько видов деятельности.

Литература

1. Бабаева, Ю. Д. Психология одаренности детей и подростков. – М., 1996. – 407 с.

2. Бергсон, А. Два источника морали и религии /Пер. с фр. : Канон. – М., 1994. – 382 с.

3. Богоявленская, Д. Б. Исследования творчества и одаренности в традициях

процессуально-деятельностной парадигмы //Основные современные концепции творчества и одаренности. – М.: Молодая гвардия, 1997. – С. 328-348.

4. Богоявленская, Д. Б., Брушлинский, А. В., Холодная, М. А., Шадриков, В. Д. и др.

Рабочая концепция одаренности. – М.: ИЧП «Издательство Магистр», 1998.

5. Бодалев, А. А., Рудкевич, Л. А. Как становятся великими или выдающимися? – М.:

КВАНТ, 1997. – 102 с.

6. Волков, И. П. Много в школе талантов? - М.: Знание, 19с.

7. Выготский, Л. С. Психология. - М.: ЭКСМО-Пресс, 20с.

8. Гильбух, Ю. З., Гарнец, О. Н., Коробко, С. Л. Феномен умственной одаренности //Вопросы психологии№ 4. - С. 147-155.

9. Додонов, Б. И. Структура и динамика мотивов деятельности. //Вопросы психологии. 1984, № 4. С. 1

10. Климов, Е. А. Общая психология. Общеобразовательный курс: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 511 с.

11. Краткий психологический словарь-хрестоматия //Под ред. . М., Высшая школа, 1974. – 134 с.

12. Кэлвин, С. Х., Линдсей, Г. Теории личности /Пер. с англ. . - М.: ЭКСМО-Пресс, 19с. - (Сер. «Мир психологии»).

13. Лейтес, Н. С. Возрастной подход к проблеме детской одаренности //Основные современные концепции детской одаренности. - М., 1997. - С. 57.

14. Леонтьев, А. Н. Потребности, мотивы, эмоции. - М.: Политиздат, 1978. – 248 с.

15. Меде, В., Пиорковский, Г. Детская одаренность /Пер. с нем. И. Левинсон. Под ред. Б. Варшава. - М: Работник просвещения, 19с.

16. Моляко, В. А. Внутренняя и внешняя мотивация учебной деятельности //Вопросы психологии. 1987, № 5. С. 86.

17. Основные современные концепции творчества и одаренности. /Под ред. . - М.: Молодая гвардия, 1997. – 416 с.

18. Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии. - СПб.: Питер, 20с: ил. – (Сер. «Мастера психологии»).

19. Савенков, А. И. Одаренный ребенок дома и в школе. – Екатеринбург: У-Фактория, 2004. – 272 с. (Серия «Психология детства: Практикум»).

20. Ушаков, Д. В. Одаренность, интуиция, творчество //Основные современные концепции творчества и одаренности. - М., 1997. - С. 78.

21. Чудновский, В. Э., Юревич, В. С. Одаренность: дар или испытание. М.: Смысл, 1990, - 250 с.

22. Шадриков, В. Д. Духовность и творчество //Основные современные концепции творчества и одаренности. - М., 1997. - С. 368-369.

23. Шпарева, Г. Т. и др. Проблема одаренности и новая региональная образовательная модель. - Майкопс.

24. Экземплярский, В. М. Проблема одаренности. - М.: Русский книжник, 1923. – 136 с.

25. Юркевич, B.C. Одаренный ребенок: иллюзии и реальность. - М: Просвещение, 19с.

Л. А. ДУБРАКОВА, В. И. ИГОШИН

НАЧАЛО КУРСА «ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ» В ОБУЧЕНИИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Курс «Теория алгоритмов» входит в общеобразовательный стандарт специальности 050201 – «математика с дополнительной специальностью информатика». Он является непосредственным продолжением курса математической логики и в значительной мере опирается на него. Культура алгоритмического мышления становится в последнее время все более значимой в жизни современного человека, чему в немалой степени способствует компьютеризация, проникающая буквально во все сферы жизни. В значительной мере эта культура формируется на уроках математики под руководством учителя математики. Фундаментальной основой для формирования алгоритмической культуры самого будущего учителя математики и информатики и призван стать курс теории алгоритмов.

Курс теории алгоритмов, как и курс математической логики, не является традиционным для студентов, т. е. не имеет ретроспективы в школьном образовании. Если раньше студенты и встречались с какими-либо алгоритмами, то это были вполне конкретные алгоритмы, решающие конкретные (математические) задачи. Курс теории алгоритмов носит принципиально иной характер. Он имеет дело не с конкретными алгоритмами, а с понятием алгоритма как таковым. Излагаемую в нем теорию можно было бы назвать общей или абстрактной теорией алгоритмов. Все это вызывает у студентов определенные трудности при изучении этого курса. И это предъявляет к преподавателю дополнительные требования при изложении начала этого курса, когда студенты только входят в круг идей, проблем и методов, изучаемых данной теорией. В этой заметке намечаются некоторые штрихи к построению начала курса теории алгоритмов, которые, как нам представляется, сделают этот процесс вхождения более мягким и эффективным.

Первым вопросом, который решает общая теория алгоритмов, является вопрос о том, как сделать интуитивное понятие алгоритма объектом изучения строгой математической теории. В 30-е годы прошлого века было намечено несколько путей решения этого вопроса, на каждом из которых было выработано свое формальное понятие алгоритма.

Слово «алгоритм» происходит от имени узбекского математика Мухаммеда бен Муса Хорезми, который в IX в. н. э. разработал правила четырех арифметических действий. Совокупность этих правил в Европе стали называть «алгоризм». Впоследствии это слово переродилось в «алгоритм» и стало собирательным названием отдельных правил определенного вида.

Под алгоритмом обычно понимают точное, общепонятное описание определенной последовательности интеллектуальных операций, необходимых и достаточных для решения любой из задач, принадлежащих к некоторому классу.

Вплоть до 30-х годов XX в. понятие алгоритма оставалось интуитивно понятным, имевшим скорее методологическое, а не математическое значение. Термин «алгоритм» употреблялся в математике лишь в связи с теми или иными конкретными алгоритмами. Утверждение о существовании алгоритма для решения задач данного типа сопровождалось фактическим его описанием. Однако, в начале XX века были сформулированы алгоритмические проблемы, положительное решение которых представлялось маловероятным. Решение таких проблем потребовало привлечения новых логических средств. Ведь одно дело доказать существование разрешающего алгоритма – это можно сделать используя интуитивное понятие алгоритма. Другое дело - доказать несуществование алгоритма – для этого нужно знать точно, что такое алгоритм.

Одним из первых понятие алгоритм формализовал Алан Тьюринг. В 1936 году он построил логическую модель так называемой машины Тьюринга.

Машину Тьюринга удобно представлять в виде автоматически работающего устройства. В каждый дискретный момент времени устройство, находясь в некотором состоянии, обозревает содержимое одной ячейки протягиваемой через устройство ленты и делает шаг, заключающийся в том, что устройство переходит в новое состояние, изменяет (или оставляет без изменений) содержимое обозреваемой ячейки и переходит к обозрению следующей ячейки – справа или слева. Причем шаг осуществляется на основании предписанной команды. Совокупность всех команд представляет собой программу машины Тьюринга.

Машина Тьюринга обладает внешним алфавитом А = {a0, a1, …, an}, символы которого записываются на ленту машины, и алфавитом внутренних состояний Q = {q0, q1, …, qm}, где q1 – начальное состояние, q0 – заключительное. Работа машины определяется программой (функциональной схемой). Программа состоит из команд. Каждая команда T(i, j) (i = 1, 2, …, m; j = 0, 1, …, n) представляет собой выражение одного из следующих видов:

; ; ,

где 0 ≤ k ≤ m; 0 ≤ l ≤ n, С – машина продолжает обозревать ту же ячейку, П – машина сдвигается на клетку вправо, Л – на клетку влево.

Синтез машин Тьюринга является достаточно сложной задачей, требующей определенного уровня развития алгоритмического мышления.

Машина Тьюринга работает со словами своего внешнего алфавита. Пусть А = {0, 1} (здесь 0 – символ пустой ячейки). Полезно ввести следующие обозначения. Для натурального х обозначаем:

, .

Приведем программы следующих машин Тьюринга: «левый сдвиг» и «правый сдвиг» . Первая из начального стандартного положения перерабатывает слово 01x0 в то же самое слово и останавливается, обозревая самую левую ячейку с нулем. Вторая машина из начального состояния, в котором обозревается левая ячейка с нулем, 01x0 перерабатывает в то же самое слово и останавливается, обозревая самую правую ячейку с нулем.

Программа машины : q10 → q20Л, q21 → q21Л, q20 → q00.

Программа машины : q10 → q20П, q21 → q21П, q20 → q00.

Программа машины Тьюринга называемой «транспозицией» и обозначаемой В, осуществляющей переход 01xq101y0 01yq001x0, выглядит так:

q10 → q20П, q21 → q21П, q20 → q30, q30 → q40Л, q41 → q50, q50 → q60Л, q61 → q61Л, q60 → q71, q40 → q70, q71 → q81Л, q81 → q90, q90 → q100П, q101 → q101П, q100 → q111, q111 → q121Л, q121 → q130, q130 → q140Л, q141 → q141Л, q140 → q151, q70 → q161, q161 → q171Л, q171 → q150, q151 → q71, q150 → q70, q80 → q180П, q181 → q181П, q180 → q00, q170 → q190П, q191 → q00.

Здесь целесообразно предложить студентам рассмотреть процедуру работы этой машины Тьюринга при следующих конкретных значениях аргументов: x = 1, y = 2; x = 2, y = 1; x = 2, y =3; x = 3, y = 2; x = 2, y = 4; x = 5, y = 3 и т. д.

Приведем программу машины Тьюринга (называемую «удвоение» и обозначаемую Г), которая осуществляет переход q101x0 q001x01x0.

Программа машины Тьюринга Г:

q10 → q2П, q21 → q2П, q20 → q3Л, q31 → q40, q40 → q5П, q50 → q61, q61 → q6П, q60 → q7П, q71 → q7П, q70 → q81, q81 → q8Л, q80 → q9Л, q91 → q9Л, q90 → q20, q30 → q0П.

Здесь также полезно предложить студентам проанализировать работу машины Тьюринга при некоторых конкретных значениях аргумента x = 2, 3, 4, 5.

Эффективным инструментом для конструирования машин Тьюринга является понятие композиции машин Тьюринга.

Пусть заданы машины Тьюринга , имеющие общий внешний алфавит {a0, a1, …, am} и алфавиты внутренних состояний {q0, q1, …, qn} и {q0, } соответственно. Композицией (или произведением) машины и машины называется новая машина с тем же внешним алфавитом {a0, a1, …, am}, внутренним алфавитом {q0, q1, …, qn, qn+1, …, qn+t} и программой, получающейся следующим образом. Во всех командах из , содержащих символ остановки q0, заменяем последний на qn+1. Все остальные символы в командах из остаются неизменными. В командах из символ q0 оставляем неизменным, а все остальные состояния (i = 1, …, t) заменяем соответственно на qn+i. Совокупность всех так полученных команд образует программу машины-композиции .

Покажем на примере, как это понятие применяется для конструирования машин Тьюринга.

Пример. Построить машину Тьюринга (называемую «циклический сдвиг» и обозначаемую Ц), которая осуществляет переход 01x01yq101z0 01zq001x01y0.

Проверим, что такой перевод произойдет в результате последовательного применения (композиции) ранее построенных машин В, , В, т. е. Ц = ВВ. В самом деле, вычисляем: ВВ(01x01yq101z0) = В(В(01x01yq101z0)) = В(01x01zq01y0) = В(01xq01z01y0) = 01zq001x01y0.

Одна и та же машина Тьюринга может быть построена с помощью разных композиций машин Тьюринга.

Пример. Построим машину Тьюринга (называемую «копирование» и обозначаемую К2), которая осуществляет переход q101x01y 01x01yq001x01y.

В книге [3] приводится следующая композиция машин Тьюринга для осуществления такого перехода: