Разностные схемы для уравнений гиперболического типа

Разностные схемы для уравнений гиперболического типа

2 Схемы для уравнения переноса

Рис. 1

Для простейшего уравнения переноса

, (1)

все множество явных линейных схем на 5-точечном сеточном шаблоне (см. рис. 1; — характеристика уравнения (1)) с узлами:

(m, n+1), (m–2,n), (m–1,n), (m, n), (m+1,n) (2)

имеет вид:

(3)

с 4-мя неопределенными коэффициентами (рис. 1): , , , . Из них, после удовлетворения условий аппроксимации первого порядка

(4)

( — число Куранта) два коэффициента, например, , остаются свободными, а два другие, например, , выражаются через эти свободные коэффициенты. Принимая , за координаты линейного пространства с евклидовой метрикой, в котором каждой точке соответствует некоторая схема 1-го порядка аппроксимации, можно найти все множество устойчивых схем (при 0<<1 — область (голубой цвет) на рис. 2), все монотонные схемы (положительные по Фридрихсу, то есть такие, у которых все коэффициенты неотрицательны, (при 0<<1 — зеленый четырехугольник на рис. 2), однопараметрическое семейство схем 2-го порядка аппроксимации

(5)

(отрезок на рис. 2 — устойчивые при 0<<1 схемы с порядком аппроксимации выше первого), единственную на этом шаблоне схему 3-го порядка аппроксимации:

(6)

(при 0<<1 точка C на рис. 2)

На основе этих множеств можно строить оптимальные в том или ином смысле схемы, например, "наиболее точную из монотонных схем" — точка , "наименее осциллирующую на разрывных решениях схему 2-го порядка аппроксимации" — точка на рис. 2, гибридные схемы (схемы с переменным порядком аппроксимации — первым вблизи разрывов и вторым или третьим в области гладкого повеления решения) и т. д. Красный треугольник A1B2C на рис. 2 есть множество наиболее удачных схем (по соотношению точности и устойчивости).

Рис. 2

Аналогичные рис. 2 построения могут быть выполнены при 1<<2 и при –1<<0. В частности, при <0 аналогичные рис. 2 разностные схемы получаются заменой на – и коэффициентов на . Например, если для т. (при >0) имеем:

, , то для аналогичной точки при <0 , .

Для построения гибридных схем каждый из коэффициентов вектора можно задавать в виде линейной комбинации двух опорных схем – монотонной схемы 1-го порядка – одной из точек многогранника (при 0<<1) – и немонотонной схемы 2-го или 3-го порядка аппроксимации – одной из точек отрезка :

(7)

При этом g(u) выбирается в зависимости от поведения решения так, чтобы вблизи разрывов g=1, а в области гладкого поведения g=0, например, “по Ван-Лиру”:

, , , , k=2÷10. (8)

3 Схемы для линейных систем уравнений гиперболического типа

Система может быть задана в следующей (недивергентной) форме

, , , , i,j=1,…,I, (10)

где – диагональная матрица из собственных значений , i=1,...,I матрицы A, определяемых из характеристического уравнения , E – единичная матрица, – неособенная матрица, строками которой являются линейно-независимые левые собственные векторы матрицы A , для каждого , с точностью до длины определяемые из линейных однородных систем уравнений ).

Тогда аналоги разностных схем (3), сохраняющие все описанные выше свойства (порядок аппроксимации, устойчивость, монотонность и т. д.), имеют вид:

(11)

где – диагональные матрицы, элементы которых , соответствуют рассмотренным выше построениям (т. при >0, =0 на рис.2). Для разных i и значений набор коэффициентов может соответствовать разным точкам.

Для квазилинейной системы гиперболического типа в дивергентной форме

, , , , (12)

которой соответствует недивергентная форма типа (10):

(13)

или

, =, (14)

на том же сеточном шаблоне, что и на рис.1, используя интегро-интерполяционный метод, можно построить семейство консервативных разностных схем с тем же числом свободных параметров, что и в случае линейной системы (10) (трехпараметрическое – 1-го порядка аппроксимации, двухпараметрическое – 2-го и т. д.). Например, можно построить семейство двухшаговых схем с неустойчивым предиктором

=-(-)/(2h), (15)

и корректором

=+()(-)-()(-)+ ()(-) –
– ()(-)+()((+) – (+)) – (16)

– ()((+)- (+)),

где , , - диагональные матрицы.

Если в (12) положить W=V, F=AV и сопоставить (15),(16) с (11), то можно установить взаимно однозначную связь коэффициентов из (16) с из (11), а значит и из (3):

(17)

и, тем самым, получить консервативные аналоги разностных схем, соответствующих точкам (схема Лакса), - (аналог схемы Куранта-Изаксона-Риса), - (аналог схем Лакса-Вендроффа и Маккормака) и т. д., если соответствующим образом выбирать коэффициенты .

Пример системы уравнений гиперболического типа – одномерные уравнения газодинамики:

Переменные ; для дивергентной формы системы ; , где – плотность, – скорость, – удельная внутренняя энергия, - удельная полная энергия, – давление, - показатель адиабаты воздуха. Для этой системы хорошо исследована «задача о распаде разрыва» в области с начальными условиями вида и граничными условиями .

4 Примеры разностных схем

1 Схемы 1-го порядка

1.1 наиболее точная при значениях числа Куранта 0<<1 монотонной схеме (т. А : , )

1.2 схема Лакса, для которой (т.)

1.3 =1–/2, =/2 (т. )

1.4 =0, =(+1)/3 (т.)

2 Схемы 2-го порядка

2.1 наименее осциллирующая на разрывных решениях схема (=3(–1)/10 — т. )

2.2 схема Лакса-Вендроффа, у которой =0 (т. ),

2.3 схема Бима-Уорминга, у которой =(–1)/2 (т. )

2.4 схема Фромма, у которой =(–1)/4 (т. )

2.5 =(–1)/4 (т. B ; граница множества устойчивых схем)

2.6 =(–1)/4 и =/4 (т. B ; граница множества устойчивых схем)

3 Схема 3-го порядка аппроксимации (т. C: a=(–1)/6; коэффициент a=3a+1– вычисляется в соответствии с (5)).