Исследование квадратного уравнения

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЕРТИКОССКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

Каргасокского района Томской области

Утверждаю

Зам. директора по учебно-воспитательной работе

ФИО______________________________________

«_____» _______________ 2006

Программа элективного курса по математике

для учащихся 9 классов

«Исследование квадратного уравнения»

(18 часов)

Автор: – учитель математики Вертикосской СОШ

Программа обсуждена и принята за основу на заседании МО учителей математики

Вертикосской СОШ, протокол №_1_ от 01.01.01 г.

Вертикос

2006-07 уч. год

Пояснительная записка

Квадратные уравнения занимают особое место в курсе изучения математики. Ни один вид уравнений не находит столь широкого применения, как квадратные уравнения. Квадратные уравнения применяются при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств, при исследовании квадратичной функции, при построении графика данной функции, при решении ряда геометрических и физических задач. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решить любое квадратное уравнение. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально их решать. Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы диагностики знаний, а также тем, что очень часто квадратные уравнения являются лишь промежуточным этапом в решении более серьезного задания.

Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах квадратного трёхчлена при решении заданий, связанных с исследованием квадратного уравнения. К таким задачам относятся: задачи на применение теоремы Виета, на соотношения между корнями квадратного уравнения, на взаимное расположение корней квадратного уравнения и решение квадратных уравнений с параметром. При решении таких задач школьники учатся мыслить логически, творчески. Это хороший материал для учебно-исследовательской работы, что является пропедевтикой научно-исследовательской работы.

Курс рассчитан на 18 часов для учащихся 9 классов.

Цель: Освоить новые методы и способы решений квадратных уравнений. Научить применять знания свойств квадратного трёхчлена при выполнении нестандартных заданий.

В процессе реализации данного проекта решаются следующие задачи:

·  Выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратного уравнения;

·  Перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения квадратных уравнений и задач на их составление) к творческому.

·  Формирование теоретических знаний исторического аспекта (история возникновения квадратных уравнений);

Учебно-тематический план

№ п/п	Наименование темы.	Часы.
1.	Эффективные способы решения квадр. уравнений.	2
2.	Теорема Виета.	2
3.	Существование корней квадратного уравнения.	2
4.	Расположение корней квадратного уравнения.	4
5.	Решение квадратных уравнений с параметром.	2
6.	Разные задачи.	4
7.	Зачёт.	2

Содержание программы

1.Эффективные способы решения квадратных уравнений. (2ч.)

Решение уравнений способом «переброски».

Метод коэффициентов квадратного уравнения.

2.Теория Виета (2ч.)

Формулировка теоремы Виета для полного и приведённого квадратного уравнения.

Теорема, обратная теореме Виета. Решение задач на применение теоремы Виета и обратной ей.

3.Существование корней квадратного уравнения(2ч.) 

Зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта. Понятие о решение задачи с параметром.

Решение задач на количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра.

4.Расположение корней квадратного уравнения(4ч.)

Графическая характеристика расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу. Работа с таблицей.

Решение задач.

Практикум по решению задач на расположение корней квадратного уравнения.

5.Решение квадратных уравнений с параметром (2ч.)

Что значит решить уравнение с параметром.

Решение уравнений.

6.Решение задач. Зачёт.(6ч.) 

Дидактические материалы

1.Эффективные способы решения квадратных уравнений.

Решение уравнений способом «переброски».

Теорема Виета находит широкое применение и в уравнениях вида ах2 + вх + с = 0.

Использование некоторых свойств даёт значительные преимущества для быстрого и устного получения ответа при решении квадратных уравнений.

Рассмотрим квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, где а 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + abx + ac = 0. Пусть ах = у, откуда х =; тогда приходим к уравнению y2+by+ac=0, равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдём с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = и х1 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

·  Примеры.

1.  Решим уравнение 2х2 - 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получаем уравнение

у2 - 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета:

Ответ: 2,5; 3.

2.  Решим уравнение х2 – (3 +)х + 1= 0

Решение: Используя метод «переброски», получим уравнение

у2-

По теореме Виета

Метод коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, где а 0.

1. Если a + b + c = 0 (т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = .

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а 0, получим приведенное квадратное уравнение x2 +

Согласно теореме Виета

По условию a + b + c = 0, откуда b = - a - c. Значит,

Получаем х1 = 1, х2 = , что и требовалось доказать.

·  Пример.

1.  Решим уравнение 345х2 - 137х – 208 = 0.

Решение. Так как a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 =

Ответ: 1; -

2. Если a – b + c = 0, или b = a + c, то х1 = - 1, х2 = -.

Доказательство. По теореме Виета

По условию a – b + c = 0, откуда b = a + c. Таким образом,

т. е. х1 = - 1 и х2 = - , что и требовалось доказать.

·  Пример.

1.  Решим уравнение 4х2 +11х + 7 = 0.

Решение. Так как b = а + c (11 =4 + 7), то х1 = -1, х2= - .

Ответ: -1; - .

3. а) Если квадратное уравнение имеет вид ах2 + (а2 +1)х +а = 0, то

·  Пример.

Решим уравнение 6х2 +37х + 6 = 0.

Ответ:

б) Если квадратное уравнение имеет вид ах2 - (а2 +1)х +а = 0, то

·  Пример.

Решим уравнение 3х2 - 10х + 3 = 0.

Ответ:

в) Если квадратное уравнение имеет вид ах2 + (а2 - 1)х - а = 0, то

·  Пример.

Решим уравнение 4х2 + 15х - 4 = 0.

Ответ:

г) Если квадратное уравнение имеет вид ах2 - (а2 - 1)х - а = 0, то

·  Пример.

Решим уравнение 3х2 - 8х - 3 = 0.

Ответ:

2.  Теорема Виета

·  Примеры.

1.  Не вычисляя корней х1 и х2 уравнения 2х2 +5х – 3 =0, найти х12 + х22.

Решение: Преобразуем уравнение в приведенное, получим: х2 +2,5х – 1,5 =0.

По теореме Виета имеем

Так как х12 + х22 = (х1 + х2)2 – 2х1х2, то х12 + х22 = (-2,∙ (-1,5) = 9,25.

Ответ: 9,25

2.  При каком значении а сумма кубов корней уравнения х2 – х – а = 0 будет равна 19?

Решение: По теореме Виета имеем Тогда (х1 + х2)3 =1,

х13 + 3х12х2 +3х1х22 + х23 =1,

х13 + х23 = – 3х1х2(х1 + х2) +1,

19= 3а + 1,

а = 6.

Ответ: а=6.

3.  При каком значении параметра а уравнение х2+(а2+а-2)х+а=0 имеет корни, сумма которых равна 0?

Решение: По теореме Виета имеем

Тогда а2+а -2 = 0, решая которое, получаем

Но при а =1, полученное квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ: а = -2.

Не решая квадратное уравнение, с помощью теоремы Виета можно определить знаки корней уравнения.

а) Если свободный член q приведенного уравнения x2 + px + q = 0 положителен (q>0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0, то оба корня отрицательны, если p<0, то оба корня положительны.

б) Если свободный член q приведенного уравнения x2 + px + q = 0 отрицателен (q<0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

·  Примеры.

1.  При каком значении параметра р корни уравнения (р-2)х2+2рх+р+4=0 разных знаков и их сумма отрицательна.

Решение: р ≠2, иначе уравнение обращается в линейное, имеющее один корень, что противоречит условию.

Корни существуют, если D 0. D = -8р + 32 0, р≤ 4.

По теореме Виета и согласно условию задания получаем,

Решая, методом интервалов получаем р(-4; 0).

Ответ:(-4; 0).

2.  При каких значениях параметра c уравнение (c–1)x2+(c+4)x+c+7=0 имеет только отрицательные корни?

Решение. В силу условия задачи необходимо рассмотреть два случая (линейный и квадратичный):

1) если c–1=0, c=1, то уравнение примет вид 5x+8=0, x = –5/8 – отрицательный корень;

2) если c–1≠ 0, c≠ 1, то, получим систему

Объединяя результаты обоих случаев, получим с [–22/3; -7) [1; 2].

Ответ: с [–22/3; -7) [1; 2].

3.  Существование корней квадратного уравнения.

Для того чтобы квадратное уравнение ах2+ bх+с=0 имело корни необходимо и достаточно чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю. Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем доказать его неотрицательность.

·  Примеры.

1.  При каких значениях k уравнение х2 + kх + 9 = 0 имеет корни? Имеет ли корни при

k = - 10,5? При k = 0,7?

Решение: D0, D =k2- 360, (k -6)(k +6) 0. Получаем, что уравнение имеет корни при k(-∞; -6][6; ∞).

- 10,5 (-∞; -6], следовательно, при k = - 10,5 уравнение имеет корни.

0,7 (-∞; -6][6; ∞), следовательно, при k = 0,7 уравнение не имеет корней.

Ответ: (-∞; -6][6; ∞).

2.  При каких значениях а квадратное уравнение ах2 + х + 2 =0 имеет два корня?

Решение: Если а=0, то уравнение превращается в линейное, следовательно, а ≠0 .

D> 0, D=1- 8a>0, a<, но с учетом того, что а ≠ 0 получаем а(-∞; 0)(0; ).

Ответ: а(-∞; 0)(0; ).

3. При каком значении параметра а уравнение (а-2)х2+(4-2а)х+3=0 имеет единственный корень?

Решение: Если а = 2, то уравнение превращается в линейное, которое не имеет корней. Если а≠2, то уравнение квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте. D=0, D=4а2-28а+40=0, при а=2 или а=5. Значение а=2 исключается, т. к. противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.

Ответ: а=5.

4.Определить все значения параметра а, при которых уравнение

2ах2 – 4 (а + 1) х + 4а + 1 = 0 имеет один корень.

Решение: Здесь, главное, не забыть про случай а = 0, поскольку в уравнении не сказано, что рассматривается квадратное уравнение. При а=0 имеем линейное уравнение - 4х + 1 = 0 с единственным корнем. Остальные значения параметра а мы получим из уравнения D = 0. Таким образом,

4(а2 + 2а + 1) = 0, 2а2 – 3а – 2 = 0; а1 = - ½, а2=2.

Ответ: 0; - ½; 2.

5. При каких значениях параметра а уравнение

имеет решение?

Определите знаки корней в зависимости от значений параметра а.

Решение: Прежде всего, если а2 – 3а + 2 < 0, 1 < a < 2, то уравнение имеет корни разных знаков. (Дискриминант при этом автоматически положителен.) В остальных случаях или корней нет или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициенту при х – второму коэффициенту уравнения. Значит, для того чтобы было х1>0, x2 > 0, необходимо и достаточно выполнения неравенств

откуда a > 5. Точно так же рассматриваются другие случаи.

Ответ:

·  Если а < 1 или 2 < a < 5/2, то х1 < 0, x2 < 0.

·  Если а = 1 или а = 2, то х1 < 0, x2 = 0.

·  Если 1 < a < 2, то х1 < 0, x2 > 0.

·  Если а = 5/2, то х1 = х2 < 0

·  Если 5/2 < a < 5, то корней нет

·  Если а > 5, то х1 > 0, x2 > 0

Но существуют способы, которые основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение ах2+bx+с=0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х0, в которой f(x0)=ах02+bx0+c<0. Чаще всего в качестве х0 берут 0 (даёт достаточное условие с<0), 1(условие а +b+с<0) или –1 (условие а-b+c<0).

·  Примеры.

1.  Доказать, что при любом а уравнение (а3-2а2)х2- (а3-а+2)х+а2+1=0 имеет решение.

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0)=a2+1>0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано, если мы найдём х1, для которого f(x1)<0. Очевидно, что f(1)=-a2+a-1<0 при любом а. Легко сделать вывод, что  данное уравнение всегда имеет решение

4. Расположение корней квадратного уравнения.

Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Введем функцию y(x)= ax2+bx+c. Тогда расположение корней этого уравнения на числовой оси отразим в блок–схеме.

·  Примеры.

1.При каких значениях параметра a корни уравнения x2–2(a+3)x+a2+6,25a+8=0 больше 2?

Решение. Введем функцию y(x)=x2–2(a+3)x+a2+6,25a+8; x0 – абсцисса вершины этой параболы. Так как корни уравнения находятся справа от числа 2, то в соответствии со схемой имеем:

 

Ответ: а(0; 4].

2.  Существуют ли такие а, при которых корни уравнения х2 – 2(а -3)х + а + 2 = 0 заключены между 0 и 1?

Решение: Так как второй коэффициент - четное число, то решим данное уравнение по формуле корней со вторым четным коэффициентом. Корни существуют, если D 0. D =а2-7а + 7 0.

Решая неравенство, получаем а(-∞;] [;∞). Если корни существуют, то х1 = а -3 - , х2 = = а -3 +.

По условию 0 < а -3 - <1 и 0 < а -3 + <1. Сложим почленно эти два неравенства: 0< 2a – 6 < 2, 3< a <4.

Получили, что условия существования корней и условия, что они заключены между 0 и 1 не совместны.

Ответ: не существует.

5. Решение квадратных уравнений с параметром.

Решить уравнение с параметром, значит, при каждом фиксированном значении параметра найти решения (или указать, что их нет).

·  Примеры.

1.  Решить уравнение х2- b х+4=0.

Решение: Дискриминант уравнения D = b2-16. Найдя промежутки знакопостоянства дискриминанта, получим ответ:

если b < -4 или b >4, то х = ;

если b = ±4, то х= ;

если –4<b <4, то корней нет.

2.  Решить уравнение (а-2)х2-2ах+2а-3=0.

 Решение: Рассмотрим два случая:

1)  а = 2, тогда исходное уравнение принимает вид – 4х+1=0. Это линейное уравнение с одним корнем х=0,25.

2)  а ≠ 2, получим квадратное уравнение с дискриминантом D=-4(a-1)(a-6). Найдём промежутки знакопостоянства дискриминанта и его нулевые точки.

 В результате решения получаем ответ:

если а<1, то корней нет;

  если а=1, то х=-1;

 если 1<a<2, то х1,2 =

 если а=2, то х=0,25;

 если 2<a<6, то х1,2 =  

если а=6, то х=1,5;

 если а>6, то корней нет.

Список литературы:

1.  Евсеева с параметрами. Математика в школе. №7 2003 год

2.  «Задание с параметром» ТОИПКРО

3.  М., Математика (приложение в газете «Первое сентября»). №40 2000 год

4.  Крамор и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, - М., Просвещение, 1990 год

5.  и др., Квадратные уравнения, - М., Издательство Томского университета, 1997 год