Указания к выполнению контрольной работы № 3 (стр. 1 )

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3

Тема 10. Дифференциальные уравнения

[2] гл. ХХII § 1-13; [3] № 000, 2067, 2094, 2102, 2165, 2186, 2213, 2215.

Разберите решение задач 12, 13 данного пособия.

Задача 12. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию представим в виде произведения двух других функций: и , то есть введем подстановку . Тогда и данное уравнение примет вид:

или

(1)

Выберем функцию так чтобы

(2)

При подобном выборе функции уравнение (1) примет вид

или (3)

Решая (2) как уравнение с разделяющимися переменными, имеем :

, , , .

Здесь произвольная постоянная С=0. Подставляя найденное значение в уравнение (3), имеем:

Тогда - общее решение данного уравнения.

Задача 13. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Общее решение данного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть

Для нахождения составим характеристическое уравнение ,имеющее комплексные корни и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

(4)

Где - комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4)

, имеем:

.

Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функции и числа не является корнями характеристического

Уравнения, то существует частное решение . Если же числа

Являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение

Применяя эту теорему при имеем:

.

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :

Подставив в данное уравнение и , получим:

,

Откуда .

Следовательно, и

Найдем

Используя начальные условия, получим систему

,откуда

Следовательно, есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Вопросы для самопроверки

1.  Что называется дифференциальным уравнением?

2.  Что называется общим решением дифференциального уравнения? Частным решением?

3.  Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка?

4.  Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

5.  Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? Уравнение Бернулли? Укажите способ их решения.

6.  Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка?

7.  Какое уравнение называется характеристическим для однородного дифференциального уравнения второго порядка?

8.  Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

9.  Как найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

10.  Какой вид имеет частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? Показательная функция? Тригонометрическая функция?

Тема 11. РЯДЫ

[2] гл. ΧΧΙ § 1-14; [3] № 000, 2426, 2474, 2475, 2503, 2519, 2533.

Разберите решение задач 14, 15 данного пособия.

Задача 14. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно 1, 2, 3, …. , запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству

<1, или <, или <x<.

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит, принадлежит области сходимости данного ряда.

При данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при

Исходный ряд сходится.

Таким образом, - область сходимости данного ряда.

Задача 15. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции sin x на , имеем

Тогда

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

Вопросы для самопроверки

1.  Что называется числовым рядом?

2.  Что называется n-й частичной суммой числового ряда?

3.  Какой числовой ряд называется сходящимся?

4.  Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

5.  Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

6.  Назовите признак Даламбера сходимости рядов.

7.  В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

8.  Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

9.  Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

10.  Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? Условно сходящимися?

11.  Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

12.  Как найти область сходимости степенного ряда?

13.  Запишите разложение в степенной ряд функций

14.  Как обеспечивается требуемая точность при применении степенных рядов в приближенных вычислениях?

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4

Тема 12. Повторные независимые испытания

[6] гл. 5; [7] № 000, 115, 119, 120, 131.

Разберите решения задач 16-19 методических указаний.

Задача 16. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Решение. Пусть событие A – из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В - из 4 семян взойдут 3 семени; событие С - из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей

Р(А)=Р(В)+Р(С).

Вероятности Р(В) и Р(С) определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть проводится серия n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р, а вероятность ненаступления этого события равна q=1-p. Тогда вероятность того, что событие A в n испытаниях появится ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли

Где - число сочетаний из n элементов по

Тогда

Искомая вероятность

Задача 17. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.

Решение. Вычислить искомую вероятность по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа.

где и

Из условия задачи

Тогда

Из таблицы 1 приложений находим Искомая вероятность равна

Задача 18. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков?

Решение. Применение Локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности р=0,0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения . Поэтому при малых значениях р для вычисления применяют асимптотическую формулу Пуассона

, где

Эта формула используется при , причем чем меньше р и больше п, тем результат точнее.

По условию задачи Тогда и

Задача 19. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение. Если вероятность наступления события A в каждом из п испытаний постоянна и равна р, то вероятность того, что событие A в таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:

, где

Функция называется функцией Лапласа. В приложениях (табл. 2) даны значения этой функции для . При x>5 функция . При отрицательных значениях x в силу нечетности функции Лапласа . Используя функцию Лапласа, имеем:

По условию задачи По приведенным выше формулам находим и :

Тогда

Вопросы для самопроверки

1.  Что называется событием? Приведите примеры событий; достоверных событий; невозможных событий.

2.  Какие события называются несовместимыми? Совместимыми? Противоположными?

3.  Что называется относительной частотой события?

4.  Сформулируйте статистическое определение вероятности события.

5.  Сформулируйте классическое определение вероятности события.

6.  Что называется условной вероятностью события?

7.  Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

8.  Напишите формулу полной вероятности.

9.  Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытаниях?

10.  Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется?

11.  Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.

12.  Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется?

Тема 13. Случайные величины и их числовые характеристики

[6] гл. 6 § 1-3, гл. 7, 8, 10, 11.

[7] № 000, 176, 188, 210, 254, 263, 276, 328, 341.

Примеры решения задач

Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х,

Р 0,1 0,3 0,2 0,4.

Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

….

….

где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй - вероятности этих значений, то математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле

Тогда М(Х) = 40·0,1+42·0,3+41·0,2+44·0,4=42,4.

2)  Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее ожидания, т. е.

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от М(Х). Из последней формулы имеем

Дисперсию D(X) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания М(Х), то есть

Для вычисления составим следующий закон распределения величины :

Тогда

и

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, равное квадратному корню из дисперсии , то есть

Из этой формулы имеем:

Задача 21. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения ; 2)математическое ожидание ; дисперсию .

Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины называется производная от интегральной функции распределения , то есть

.

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

2) Если непрерывная случайная величина задана функцией , то ее математическое ожидание определяется формулой

Так как функция при х<0 и при х>1 равна нулю, то из последней формулы имеем

3)  Дисперсию определим по формуле

Тогда

Задача 22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм.

Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1,5 мм.

Решение: 1) Пусть Х-длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функций , то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку , определяется по формуле

Вероятность выполнения строгих неравенств определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то

(1)

Где - функция Лапласа,

В задаче Тогда

2)  По условию задачи , где

Подставив в (1) , имеем

(2)

Из формулы (2) имеем:

.

Вопросы для самопроверки

1.  Какие случайные величины называются дискретными? Непрерывными? Приведите примеры.

2.  Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?

3.  Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? ее дисперсией? средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.

4.  Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций.

5.  Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?

6.  Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.

7.  Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

8.  Сформулируйте правило <<трех сигм>>.

9.  Назовите сущность закона больших чисел.

10.  Напишите неравенство Чебышева.

11.  Сформулируйте теорему Чебышева; теорему Бернулли.

Тема 14. Элементы линейного программирования

[2] гл. XXVI § 3.

Задача 23. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4000 руб., пятитонного - 5000 руб., Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 тысяч рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами.

Решение. Пусть приобретено трехтонных и пятитонных автомашин. Из условия задачи имеем

(1)

Суммарная грузоподъемность приобретенных грузовиков равна

(2)

Задача состоит в нахождении такого решения системы (1), при котором линейная форма (целевая функция) (2) принимает наибольшее значение

Графический метод решения

В прямоугольной системе координат построим многоугольник , образованный прямыми , , , , и прямую ( рис. 9).

Системе ( 1 ) удовлетворяют координаты точек, лежащих на пятиугольнике OABCD и внутри него . Так как прямые и BC не параллельны, то для нахождения оптимального решения системы ( 1), для которого линейная форма (2) принимает наибольшее значение, достаточно найти значения этой формы в точках A, B, C, D и из полученных чисел выбрать наибольшее. В нашей задаче эти точки имеет следующие координаты: A( 20; 0 ), B(20; 14 ), C( 15; 18 ), D( 0;Подставляя координаты этих точек в (2), получим:

L (A) =L (20; 0) =60; L (B) =L (20; 14) =130;

L (C) =L (15; 18) =135; L (D) =L (0; 18) =90.

рис. 9

Следовательно, то есть предприятию следует приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин.

Аналитический метод решения.

В систему (1) введем дополнительные неизвестные и чтобы она приняла следующий вид:

(3)

Система (3) имеет 3 уравнения и 4 неизвестных. Примем, например, за базисные неизвестные, а - за свободное неизвестное и выразим из системы (3) неизвестные через . Тогда

и

Из последнего выражения следует, что L принимает наибольшее значение при

(так как ). При имеем: и

Следовательно, предприятие должно приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин при их общей грузоподъемности 135 тонн.

Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте основную задачу линейного программирования. Приведите примеры.

2. Дайте геометрическую интерпретацию основной задачи линейного программирования.

3. В чем суть симплекс-метода решения задач линейного программирования?

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 1

В задачах 1-20 даны вершины треугольника ABC.

Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты;