МОУ «Арская средняя общеобразовательная школа №2»
Элективные курсы по теме
Линейные и квадратные уравнения с параметрами
(9 класс)
Разработал учитель первой квалификационной категории
2005г.
Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами.
Пояснительная записка.
В последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются не только на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, но и в контрольных и экзаменационных работах (ЕГЭ).
Уравнения с параметрами - один из наиболее труднейших разделов математики. Это объясняется тем, что при решении таких задач приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, при каждом из которых методы решения задачи часто существенно отличаются друг от друга. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений, неравенств с учетом области определения выражений, которые входят в уравнения и неравенства, а также учитывать выполнимость производимых операций.
Решить уравнение с параметрами значит:
1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.
Планирование курса (17ч)
1.Решение линейных уравнений с параметрами. 9часов.
· повторение изученных в 7,8 классах решения линейных и квадратных уравнений; | 1 ч |
· решение простейших линейных уравнений с параметрами; | 3 ч |
· решение уравнений с параметрами вида | 2 ч |
· решение систем линейных уравнений с параметрами; | 2 ч |
· подведение итогов по теме | 1 ч |
2.Решение квадратных уравнений с параметрами. 8 часов.
· решение квадратных уравнений с параметрами, нахождение значений которых связаны с дискриминантом | 4 ч |
· решение квадратных уравнений вида | 2 ч |
· повторение решения квадратных уравнений с параметрами | 1 ч |
· подведение итогов курса, обобщение знаний. | 1 ч |
Занятие 1
Тема: Повторение.
Цель: повторить решения линейных и квадратных уравнений за 7-8
классы.
I. Повторение.
а) Линейные уравнение.
Уравнение вида ах = b, где х – переменная, а и b –некоторые числа, называются линейным.
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней и может не иметь корней.
1. если а≠0, х =
– единственный корень,
2. если а = 0, b≠0, получим 0∙х = b – это уравнение не имеет корней,
3. если а = 0, b = 0, получим 0∙х = 0 – это уравнение имеет множество корней.
II. Рассмотрим примеры, используя учебник 7-го класса под редакцией Алимова.
№ 88(1;3), №89(1;3), №95(1;2), №96(1;2).
№88.
1) 25х – 1=9
25х =10
х = 
3) 3х -5=10- х
3х+х =10+5
4х =15
х = 3
.
№89.
1) 5х+3·(3х+7)=35
5х+9х+21=35
14х =14
х =1
3) 8у-9-(4у-5)=12у-(4+5у)
8у-9-4у+5=12у-4-5у
4у-4=7у-4
-3у=0
у=0.
№95.
1) 28-20х = 2х+25-16х-12-6х
28-20х = -20х+13
0х = -15
нет корней.
2) 25х-17=4х-5-13х+14+34х
25х-17=25х+9
0х=26
нет корней.
№96.
1) 10-4х+3=9х-2-6х+9-7х+6
13-4х=13-4х
0х=0
х- любое число.
2) 9х+4-5х=8+7х-9-3х+5
4х+4=4х+4
0х=0
х – любое число.
б) Уравнение вида ах²+bх+c=0, где а, b,c - числа, а≠0, х - переменная, называется квадратным.
При решении квадратных уравнений мы всегда связываем их решения с дискриминантом. В курсе 8 класса мы много решали уравнений на нахождение корней, используя условия Д>0, Д=0, Д<0.
Рассмотрим упражнения на закрепление из сборника.
№95, №96.
Д/з: № 97, 98 из сборника.
Занятие 2.
Тема: Линейные уравнения.
Цель: ввести понятие линейных уравнений с параметрами,
рассмотреть примеры решения уравнений.
I. Вводная беседа.
Уравнения с параметрами – один из наиболее труднейших разделов математики. Это объясняется тем, что при решении таких задач приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, при каждом из которых методы решения задачи часто существенно отличаются друг от друга.
Решить уравнение с параметрами значит:
1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение
имеет корни и сколько их при различных значениях
параметров.
2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражения действительно определяет корень уравнения.
3.
II. Изучения нового материала.
Уравнение вида ах = b называется линейным, где х - переменная, а и b параметры.
а) если, а≠0,b – любое число, то х =– единственный корень.
б) если, а = 0, 0∙х = b.
1)если b≠0, то уравнение 0∙х = b не имеет корней.
2)если b = 0, то х - любое.
III. Выполнение упражнений на закрепление.
Решить уравнения:
1) ах=10
а) а=0, то 0∙х=10 – нет корней
б) а≠0, то х = 
Ответ: при а≠0 единственное решение х =,
при а=0 корней нет.
2) |х| =а
а) при а<0 корней нет
б) при а=0 х=0
в) при а>0 х1= а, х2= - а.
3) (а-2)·х =5
Если уравнение имеет вид:
а) а=2, то 0∙х = 5 – нет корней
б) а≠2, то х =
.
Ответ: при а≠2 единственное решение х = ,
при а=2 нет корней.
4) 2а·(а-4)·х = а-4
а) а=0, то 0х= -4 нет корней
б) а=4, то 0х=0 – множество корней
в) а≠ 0,а≠4, то х= а-4/2а(а-4)=1/2а
Ответ: при а=0 нет корней,
при а=4 х – любое,
при а≠ 0,а≠4, то х= 1/2а.
5) (а² - 4)·х = а²+а-6.
а) а²-4=0, то а1, 2 = ±2
если а=2, то 0х=0, х – любое
если а= -2, то 0х= -4 – нет корней
б) а≠ ±2, то х=а²+а-6/а²-4=а+3/а+2
Ответ: при а≠ ±2 х=а+3/а+2,
при а= -2 нет корней,
при а=2 х- любое.
IV. Итог урока.
V. Домашнее задание. Решите уравнения:
1) ах = - 3
2) (а+2)·х = а²- 4
3) b(b-1)· х= b²+b-2
4) При каких значениях параметра а уравнение (а²- 9)·х =а+3 имеет
а) 1 корень.
б) ни одного корня.
в) бесконечно много корней.
Занятие 3.
Тема: Линейные уравнения.
Цель: совершенствовать умения и навыки в решении линейных уравнений с
параметрами и рассмотреть уравнения с условиями.
План.
I. Повторение.
· Ответы на вопросы:
1) Каков общий вид линейного уравнения?
2) Когда уравнение а∙х=b имеет единственный корень, множество корней, ни одного корня?
· Разбор домашней работы.
1. а∙х= -3
Ответ: при а=0 – нет корней, а≠0, х=
.
2.(а+2)·х=а² - 4
а) а= -2, то 0∙х=0 – множество корней,
б) а≠ -2, то х=
Ответ: при а≠ -2, х=а -2; а= -2, х - любое.
3.b·(b-1)·х=b²+b-2
а) b=0, то 0∙х = -2 нет корней
b=1, то 0∙х =0- х-любое
б) b≠0, b≠1, то х=
Ответ: при b=0 нет корней;
при b=1 х - любое
при b≠0, b≠1, х =
4. (а²-9)·х = а+3
а) а²-9≠0, то х = а+3/а²-9 = 1/а-3
б) а= -3, 0х= 0, х-любое
в) а=3, 0х= 6, нет корней.
Ответ: а) при а≠ ±3 б) при а=-3 в) а=3
II. Выполнение упражнений на закрепление.
1) 3х+9=а· (а-х)
3х+9= а² - ах
3х+ах=а²-9
(а+3)· х=а²-9
а) а= -3, то 0∙х=0, х-любое
б) а≠ -3, х = а-3
Ответ: при а = -3, х – любое; при а≠ -3, х = а-3.
2)40х+13а=
+15х
40х -15х= – 13а
25х= – 13а
Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел, т. е. а≥0.
а) если а=0,то 25·х=0, х=0.
б) а>0, х = 
в) а<0, то не имеет смысла, уравнение не имеет корней.
Ответ: при а=0 х=0, при а>0, х = 
при а<0 нет корней.
3) Имеет ли уравнение целые корни, если имеет, то при каких n?
n·(х-1)=n²+n+1,
nх - n = n²+n+1,
nx = n²+2n+1
а)n=0, то 0∙х=1 нет корней.
б)n≠0, то х=
Чтобы х= 
было целым, надо, чтобы n Є Z, 
Є Z, а это возможно при n=1, то х=4, при n = -1,х =0.
Ответ: целые корни х=4 при n=1 и х=0 при n=-1.
4) При каких значениях b уравнения 3х-7=2 и bх²+3х – 1=0 имеют общий корень?
Т. к. необходимо найти значения b при которых корни будут общими, решим уравнение 3х-7=2, х=3. Тогда х=3- корень уравнения bх²+3х – 1=0, то 9b+9-1=0, 9b= -8, b = 
.
Следовательно, при b = данные уравнения будут иметь общий корень.
Ответ: при b = .
III. Домашнее задание:
1) Решить уравнения:
а) ах=7,
б) (5а – 1)· х=2а+3,
в) (3а+7)· х=15а+35,
г) (b²-9)· х=b+3.
2) При каких значениях b уравнения имеют общий корень:
а) 2х+3=3 и х²- (2b-1)=2
б) 3х+7=0 и 2х-b=0.
Занятие 4.
Тема: Линейные уравнения.
Цель: совершенствовать умения и навыки в решении линейных
уравнений с параметрами.
I. Проверка домашнего задания.
№1 Решить уравнения:
а) ах=7
Ответ: а=0 –нет корней; а≠0 х =
.
б)(5а-1)·х = 2а+3
а) 5а-1 =0, а =
, 0·х = 
нет корней,
б) а≠, х=
.
Ответ: при а= нет корней, при а≠ х= .
в) (3а+7)·х= 15а+35,
а) 3а+7= 0, а=
, 0∙х=0 –много корней.
б) а≠ х=
Ответ: при а = много корней; при а ≠ х=5.
г) (b²-9)·х=b+3.
(b²-9)=(b-3)(b+3), b+3=0 или b-3=0
b=-3 или b=3
а) если b=3, то 0·х=6 нет корней,
б) если b=-3, то 0·х=0 множество корней,
в) если b≠3, b≠-3, то х=
.
Ответ: при b=3 нет корней; при b=-3 множество корней;
при b≠ ±3 х= .
№2
а) 2х+3=3 и х² - ( 2b-1)=2
х=0 0²-2b+1=2, -2b=1, b=
Ответ: при b=
б) 3х+7=0,
х= 
х= является корнем уравнения 
Ответ: при 
II. Выполнение упражнений на закрепление.
1) При каких значениях а уравнение (3х-а)²+(4х+1)²=(5х-1)² не имеет решений?
9х²-6ах+а²+16х²+ 8х +1= 25х²- 10х+1,
-6ах+18х+а²=0, 6ах-18х=а²,
6(а-3)х=а².
Это уравнение не имеет решений при а=3, 6·0·х=9, 0∙х=9.
Ответ: при а=3 уравнение не имеет решений.
2) При каких а и b уравнение (2х+b)·(8х-2)= (4х+1)²+ а имеет не менее трех
различных корней?
16х²+8хb-4х-2b= 16х²+8х+1+а,
8хb-12х=2b+1+а,
4(2b-3)·х=2b+1+а,
а) при 2b-3=0, b=1,5, то 0х=1+3+а
0∙х=4+а
если а=-4, то 0∙х=0 уравнение имеет множество корней, следовательно
можно указать и три различных корня.
если а≠-4, то 0∙х=4+а – не имеет корней
б) при b≠1,5, то х=
– единственный корень.
Ответ: при а=-4 и b=1,5 уравнение имеет не менее трех различных корней.
3) При каких а уравнение ах=а² равносильно неравенству |х-3|≥а?
а)при а≠0, то ах=а² имеет единственный корень, а неравенство |х-3|≥а
множество корней.
б)если а=0, 0х=0 – множество корней,
|х-3|≥0, тогда х любое.
Значит, уравнение и неравенство равносильны при а=0.
Ответ: а=0.
III. Домашнее задание:
1) При каких значениях а и b уравнение имеет не менее трех различных корней (2х-а)(18х+1)=(6х-1)²+b.
2) Решите уравнения:
а) (а-1)·х+2=а+1.
б) (а²-1)·х =2а²-а+3.
Занятие 5.
Тема: Линейные уравнения.
Цель: научить решать уравнения вида 
с параметрами.
I. Проверка домашнего задания.
1) (2х-а)· (18х+1)=(6х-1)²+b
36х²+2х-18ах-а=36х²-12х+1+b
14х-18ах=а+b+1, 2(7-9а)·х=а+b+1
а) при 7-9а=0, а=
, 0·х=+b+1
0∙х= b+
,
б) при b= 
, 0∙х=0- множество корней, следовательно три корня есть,
в) при b≠ , 0∙х=b+ – нет корней,
г) при а≠ х=
Ответ: при а= и b= - .
2)(а-1)·х+2=а+1, (а-1)·х=а-1
а) а-1=0, а=1 0∙х=0 – множество корней.
б) а≠1, х=
=1
Ответ: при а=1 множество корней, при а≠1 х=1.
3) (а²-1)·х=2а²-а+3.
а) а=1, 0∙х=4 нет корней,
б) а=-1, 0∙х=6 нет корней,
в) а≠1, а≠-1 х=
.
Ответ: при а=1 и а=-1нет корней,
при а≠1, а≠-1 х=.
II. Изучение нового материала.
Следующий шаг при решении уравнений с параметрами связан с ограничениями их области определения.
Рассмотрим уравнения вида ,
1) 
=1 , -1=0 , 
При каких значениях а х=2 ?
а+2=2, а=0
Итак, при а=0 х=2, но 2 не входит в область определения исходного уравнения
Ответ: при а=0 нет корней, при а≠0 х=а+2.
2) 
Очевидно, х≠-1, х = а·(х+1), х-ах=а, (1-а)·х=а.
а) если а=1, то 0∙х=1 нет решений,
б) если а≠1, то х= 
в) при каких а х = -1?
= -1, т. к. а≠1, то а=-1+а, 0= -1 – ложно. Тогда при любых а≠1 х≠-1.
Ответ: при а=1 нет корней, при а≠1 х= .
3) Решите уравнение:
Очевидно:х ≠ 2, х ≠ - 3, а ≠ - 1.
(2ах+х+1)·(х-2)=(х²-4)·(а+1)-а· (х+3)(х-2)
(2ах+х+1)·(х-2)=(х-2)(х+2)(а+1)- а· (х+3)(х-2)
Т. к. х-2≠0, то 2ах+х+1=(х+2)(а+1)- а· (х+3)
2ах+х+1=ах+2а+х+2-ах-3а, 2ах=1-а.
При а=0 0∙х=1 – нет корней.
При а≠0, х=
При каких а х= -3, х=2?
х= -3, 
= -3, т. к. а≠0, то 1-а= -6а, а= - 
х=2, = 2, т. к. а≠0, то 1-а= 4а, а=
Т. е. при а= ± соответствующие значения х не входят в область определения уравнения.
Ответ: при а=0, а= -1, а= ± нет корней, при а≠ -1; 0; ± х=
IΙΙ. Домашнее задание:
1)
2)
3) 
Занятие 6.
Тема: Линейные уравнения с параметрами.
Цель: совершенствовать умения и навыки в решении линейных уравнений
вида .
План.
Ι. Проверка домашнего задания.
1) ,
а) если а=1, 0∙х=1 нет корней
б) если а ≠1, х= 
При каких значениях а х=1? 
=1, 2-а=а-1, а=
.
Ответ: при а=1, а= нет корней,
при а ≠1, а ≠ х =
2)
а) если а=0,то 0∙х=0 – множество корней
б) если а=2, 0∙х= -10 – нет корней
в) если а≠0, а≠2, х=
.
При каких значениях а х=1?
=1, а+3=а-2, 0∙а= -5 нет корней
Значит при любом а≠0 и а≠2 х≠1.
Ответ: при а=0 множество корней, при а=2 нет корней,
при а≠0, а≠2, х=.
3) ,
-6ах+12а²=0
6ах=12а².
а) если а=0, то 0∙х=0 множество корней,
б) если а≠0,то х=
=2а, но по условию х≠2а.
Значит уравнение не имеет корней.
Ответ: при а=0 множество корней,
при а≠0 нет корней.
ΙΙ. Выполнение упражнений на закрепление.
1) Решить уравнение 
=0
а) если а=1, то х=1, что не удовлетворяет условию х≠1, значит уравнение не имеет корней при а=1.
б) если а≠1,то х=а.
Ответ: при а≠1 х=а, при а=1 нет корней.
2)При каких значениях а уравнение 
=0 имеет единственное решение?
Уравнение равносильно системе:
х²-ах+1=0.
Д= а²-4.
а) квадратное уравнение имеет единственный корень, если Д=0, а²-4=0, а=±2, но х≠ -3. Тогда:
1. если а=2, х²-2х+1=0, (х-1)²=0, х=1 – один корень и он удовлетворяет
условию 1 ≠ -3.
2. если а= -2, , х²+2х+1=0, (х+1)²=0, х= -1 – один корень и -1≠ -3.
б) если Д>0, то квадратное уравнение имеет два корня и если один из них х= = -3, то 9+3а+1=0, 3а= -10, а= -3
.
Значит, при а=-3 уравнение имеет два корня, но один из них равен -3, а другой отличен от -3, тогда данное уравнение также имеет единственное решение.
Ответ: а=±2, а= -3 .
3) При каких значениях а все решения уравнения 
неположительные?
, 
.
а) если а=3, то 0∙х=13 – нет корней
б) если а≠3, то х=
. Но по условию х≠ - 6, х≠3 и корни неположительные, значит
а≠
Ответ: при
ΙΙI. Итог урока.
IV. Домашнее задание.
1) При каком а уравнение х= 1+
не имеет корней?
2)Решить уравнения:
а) 
б) 
.
Занятие 7.
Тема: Система линейных уравнений.
Цель: Научить решать системы линейных уравнений с параметрами.
I. Проверка домашнего задания.
1) х=
а≠0, то а·х=а+х+2,
х(а-1)=а+2
Если а=1, 0·х=3 нет корней.
Если а≠1, х=
Ответ: при а=0, а = 1 нет решений
2)
Равносильно 
Определим при каких а х= - а
Если - а=2, х=2.
а= -2
Ответ: при а = -2, нет корней
при а≠ - 2, х=2.
3)
Очевидно х≠ - а, то х=2 или х= -3
При каких а х ≠ - а
Если а= -2, х ≠2, то х = -3
Если а= +3, х≠ -3, то х=2
Ответ: если а= -2, то х= -3,
если а=+3, то х=2,
если а= -2, а≠3, то х1=2; х2=-3
II. Изучение нового материала.
1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение, если 
(графики пересекаются)
2. Система не имеет решение, если 
(графики параллельны)
3. Система имеет множество решений, если 
(графики
совпадают)
III. Выполнение упражнений на закрепление.
1) (а+4)х+3у=а+1
ах+(а-1)у=а-1
а+4∕а=3∕а-1=а+1∕а-1
а+4∕а=3∕а-1 а²+3а-4=3а
3∕а-1=а+1∕а-1 а²=4, а=±2
а+1=3,а=2
Ответ: а=2.
2) При каких а система уравнений 3х-у=1-а
х+у=2а+1 имеет решение х≥1,у≤4?
Решение: 3х-у=1-а
х+у=2а+1
4х=2+а
х=2+а∕4
2+а∕4+у=2а+1
у=(2а+1)·4-2-а ∕4=7а+2∕4
Т. к. х≥1,у≤4, то решим систему неравенств
2+а∕4≥1 а+2≥4 а ≥2, а=2
7а+2∕4≤4 7а+2≤16 а≤2
Ответ: а=2.
3) При каких а система уравнений х²+у²=1
х+у=а имеет единственное решение?
Решение: х²+у²=1 х²+(а-х)²=1
у=а-х , у=а-х
Эта система имеет единственное решение, если уравнение х²+(а-х)²=1
будет иметь единственное решение.
х²+а²-2ах+х²=1,
2х²+а²-2ах-1=0
Д= 4а²-4·2(а²-1)=4а²-8а²+8=8-4а².
Д=0, 8-4а²=0, а²=2, а=±√2.
Ответ: а=±√2.
IV. Домашнее задание:
1) При каких а система уравнений имеет бесчисленное решение?
(а-2)х+27у=4,5
2х+(а+1)у= -1
2) Найти все а, при которых система не имеет решений?
2х+(9а²-2)у=3а
х+у=1
Занятие 8.
Тема: Система линейных уравнений.
Цель: закрепить пройденный материал, подготовиться к зачетной работе.
Ι. Проверка домашнего задания.
1) При каких а система имеет множество решений?
(а-2)х+27у=4,5
2х+(а+1)у= -1
если а-2∕2=27∕а+1=4,5∕-1, то а-2∕2=-9∕2, а-2=-9, а=-7
27∕а+1= -9∕2, 9а+9= -54, 9а= -63, а= -7
Ответ: а= -7.
2) При каких а система не имеет решений?
2х+(9а²-2)у=3а
х+у=1
если 9а²-2=0, то система имеет единственное решение, тогда
9а²-2≠0, то у=(-2 ∕9а²-2)х+3а ∕9а²-2
у= -х+1
Чтобы система не имела решений нужно, чтобы:
-2 ∕9а²-2=1 9а²-2=2
3а ∕9а²-2≠1 а= ± ⅔
Если а=2∕3, то 3·2∕3 ∕ 9· (2∕3)²-2=2∕4-2≠1- ложно
Если а= -2∕3,то 3·(-2∕3) ∕9·(-2∕3)²-2=-2∕2≠1- верно.
Ответ: а = -2∕3.
ΙΙ.Выполнение упражнений на закрепление:
Решите уравнение:
1) ах=5
а) если а=0, то 0х=5- нет решений.
б) если а≠0, то х=5∕а.
Ответ: при а=0 нет корней; при а≠0 х=5∕а.
2)(5а-1)·х = 2а+3
а) если а =1/5, то 0·х = 17∕5 нет корней,
б) если а≠1/5, то х=2а+3/5а-1.
Ответ: при а=1∕5 нет корней; при а≠ 1/5, х= 2а+3 ∕ 5а-1.
3)(а-1)·(а+1)·х=а+1
а) если а=1, то 0х=2- нет корней
б) если а= -1, то 0х=0 множество корней
в) если а≠1, а≠-1, то х=а+1∕(а-1)·(а+1)=1∕а-1
Ответ: при а=1 нет корней, при а= -1 множество корней,
при а≠1, а≠-1 х=1∕а-1
4) При каких значениях а уравнение (а²-9)·х=а-3 имеет один корень?
а) если а=3, то 0х=0- множество корней
б) если а= -3, то 0х= -6 нет корней
в) если а≠3, а≠-3 х=1∕а+3
Ответ: если а≠3, а≠-3.
III. Самостоятельная работа.
1) Решить уравнения:
а) ах+3=0
б) (3а-2)·х=а+7
в) (а+7)·(а-7)·х=а-7
2) При каких значениях а уравнение (а²-16)·х=4-а не имеет корней?
IV. Домашние задание.
1) Решить уравнение:
а) ах-1∕2=0
б) (b²-9)·х=b+3
в) ах²-7х-а+7=0
2) При каких значениях а уравнение (а²-25)·х=а+5 не имеет корней?
Занятие 9.
Тема: Зачёт.
Цель: проверить знания и умения учащихся решать линейные уравнения с
параметрами.
План.
1) Решить уравнения:
а) ах-4=8
б) (4а-1)·х=а+6
в(b-7)·(b+7)·х=7+b
2) При каких значениях а уравнение а²х+4+а=16х имеет множество
корней?
3) При каких значениях а уравнение х-а∕х+1=2а имеет единственный
корень?
Занятие10.
Тема: Квадратные уравнения.
Цель: ввести понятие квадратных уравнений с параметрами, рассмотреть
примеры решения простейших уравнений.
План.
Ι. Новая тема.
Уравнение вида ах²+вх+с=0, где а, в,с - числа, причем а≠0 называется квадратным уравнением.
а - первый коэффициент, в- второй коэффициент, с - свободный член.
Например: а) 2х²-3х+0,7=0 б) -0,9х²+8-2 1∕6х=0
Найти а, b,с?
Решим уравнение ах²+bх+с=0
а) если а=0, то уравнение имеет вид bх+с=0. Тогда х= - с∕b.
б) если а≠0, то уравнение имеет:
1) 2 различных корней х1≠х2 , если Д>0,
2) 2 равных корня х1=х2 , если Д=0,
3) не имеет корней, если Д<0.
II. Закрепление темы.
В классе № 000 (а, г), 211 (а, в), 212 (а, в), (по учебнику «Алгебра – 9» под редакцией ) и №98 (1),по экзаменационному сборнику стр. )
№ 000. При каких значениях уравнение имеет 2 корня?
а) 2х²+6х+b=0
Уравнение квадратное.
Найдем Д=36-4·2·b=36-8b. По условию задачи уравнение имеет 2 корня, значит Д>0.
Решим неравенство 36-8b>0,
-8b>-36,
b<4,5.
Ответ: при b<4,5.
г) х²+bх+5=0.
Уравнение квадратное.
Д=b²-4·1·5= b²-20. По условию Д>0, то b²-20>0
Решим уравнение b²-20=0
b1=2√5, b2= -2√5.
b
Ответ: при b<-2√5 или t>2√5.
№ 000. При каких значениях имеет один корень?
а) 3х²-6х+2V=0
Уравнение квадратное. Д=36-4·3·2V=36-24V.
Так как уравнение имеет один корень, то Д=0.
36-24V=0,
24V=36,
V=1,5.
Ответ: при V=1,5.
в) х²-3Vх+18=0.
Уравнение квадратное. Д=9V²-4·1·18=9V²-72.
По условию Д=0, то
9V²=72,
V²=8,
V1=2√2 или V2= -2√2.
Ответ: при V1=2√2 или V2= -2√2.
№ 000. При каких, значениях t уравнение не имеет корней?
а) 6х²+tх+6=0.
Уравнение квадратное. Д=t²-4·6·6= t²-144.
Так как уравнение не имеет корней, то Д<0.
t²-144<0.
Решим уравнение t²-144=0.
(t-12)·(t+12)=0.
t1=12, t2= -12.
t
Ответ: при -12<t<12.
в) 2х²-15х+t=0.
Уравнение квадратное. Д=225-4·2t=225-8t.
По условию Д<0, то
225-8t<0,
-8t<-225,
t>281∕8.
Ответ: при t>281∕8.
№98(1). При каких значениях а квадратное уравнение ах²+х+2=0 имеет два корня? Из чисел -1∕3; 1∕3; -1∕10; 1∕10; выберите те, которые удовлетворяют этому условию.
Решение.
ах²+х+2=0.
При а=0 получим линейное уравнение х+2=0, х=-2 – единственный корень данного уравнения.
Поэтому а≠0. Найдём Д=1-4·а·2=1-8а. По условию задачи уравнение имеет два корня, значит Д>0. 1-8а>0 при а<1∕8.
Условиям а<1∕8 и а≠0; -1∕3; -1∕10; 1∕10.
№99(2) При каких значениях к квадратное уравнение кх²-5х+1∕4к=0.
а) Если к=0, то 0х²-5х+1∕4·0=0,
-5х=0,
х=0 – единственный корень.
б) Если к≠0, то уравнение кх²-5х+1∕4к=0 – является квадратным.
Д=(-5)²-4·к·1∕4к 25-к².
По условию задачи Д>0.
25-к²>0. Решим уравнение 25-к²=0,
к1=5, к2=-5.
к
-5<к<5.
Итак, к≠0, Тогда -5<к<0, 0<к<5. Например, к=2, то квадратное
-5<к<5. уравнение имеет вид 2х²-5х+1∕2=0.
Ответ: при -5<к<0, 0<к<5; например, к=2, то 2х²-5х+1∕2=0.
III. На дом: № 000(б, в), 211(б, г),212(б, г) – по учебнику за 9класс.
№98(2), 99(1) – по экзаменационному сборнику.
IV. Итог урока.
Занятие 11.
Тема: Квадратные уравнения.
Цель: Совершенствовать умения и навыки в решении квадратных
уравнений с параметрами; рассмотреть уравнения с условиями.
План.
I. Проверка домашнего задания.
№ 000 б) при b<4∕15, в) при b< -6 или b> 6.
№ 000 б) при V= -5 или V= 5, г) при V= 6.
№ 000 б) при t> 1∕3, г) при -12<t<12.
№98 (2) при а> -1∕12, а≠0; -1 ∕20; 1∕6;1∕20.
№99 (1) при -3<к<0, 0<к<3 например: к=1, х²-6х+1=0.
II. Устно.
1) Является ли уравнение квадратным?
Если да, то назовите первый, второй коэффициент и свободный член.
а) 4х²-7+8х=0 б) -19х+0,3=7х²
в) 3х(2х-5)=11+6х².
2) Решите квадратное уравнение:
а) х²-100х+99=0
б) 197х²+264х-461=0
в) -0,15х²-0,61х+0,71=0
III. Выполнение упражнений на закрепление (Все примеры решает учитель).
1) Решите уравнение ах²+2х+1=0.
Решение:
а) Если, а=0, то получим линейное уравнение 2х+1=0, х= -1∕2 – единственный корень.
б) Если а≠0, то уравнение является квадратным.
Д=4-4·а=4(1-а).
1) Если Д>0, т. е. 1-а>0, а<1, уравнение имеет 2 различных корня.
-2+√4(1-а) -1+√1-а -1-√1-а
х1= 2а = а, х2= а.
2) Если Д=0, то 1-а=0, а=1, уравнение имеет два равных корня х1=х2=-1∕1
=- 1.
3) Если Д<0, т. е. 1-а<0, а>1 уравнение не имеет корней.
Ответ: при а=0 х= -1∕2, при а=1 х1=х2= -1,
при а>1 нет корней,
при а<1, а≠0 х1= (-1+√1-а)∕а, х2= (-1-√1-а) ∕а
2) Найти все значения а, при которых квадратное уравнение (а+1)х²+2·(а+1)·х+а-2=0 имеет:
а) 2 различных корня,
б) 2 равных корня,
в) не имеет корней.
Решение.
Так как по условию задачи уравнение квадратичное, то а+1≠0, а≠ -1.
Д∕4=(а+1)²-(+1)·(а-2)=(а+1)(а+1-а+2)=3·(а+1)
а) Если Д∕4>0, то х1 ≠ х2. Тогда 3·(а+1)>0, а>-1.
б) х1 = х2 если Д=0, т. е. 3·(а+1)=0, а= -1, но по условию уравнение квадратное и а≠-1.
в) уравнение не имеет корней, если Д<0, 3·(а+1)<0, а<-1.
Ответ: при а>-1 уравнение имеет два различных корня; при а<-1 нет корней; квадратное уравнение равных корней не имеет.
3) При каких значениях а уравнение х²=2х+а=0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х²+7х+6=0?
Решение:
Найдем корни уравнения 2х²+7х+6=0.
Д=1, х1 =-2, х2 =-1,5.
Если х=-2 общий корень уравнений, то (-2)²+2· (-2)+а=0, а=0.
Если х=-1,5 общий корень уравнений, то (-1,5)²+2· (-1,5)+а=0, а= ¾.
Ответ: при а=0 или а = ¾.
IV. На дом: 1) При каких значениях параметра а уравнения имеют одно решение? а)ах²-6х+9=0. б) (а+4)х²+6х-1=0.
2) Решите квадратное уравнение: (а-1)·х²+2(а-1)·х+а+5=0.
V. Итог урока.
Занятие 12.
Тема: Квадратные уравнения.
Цель: Совершенствовать умения и навыки в решении квадратных
уравнений с параметрами.
План.
I. Проверка домашнего задания (Если ученики не справились с ним, то обязательно вместе прорешать).
1). а) ах²-6х+9=0.
Если, а=0, то -6х+9=0, х=1,5 – корень уравнения
Если, а≠0, то уравнение квадратное.
Д=36-4·а·9=36-36а. По условию задачи уравнение имеет одно решение,
значит Д=0. 36-36а=0, а=1.
Ответ: при а=0 или а=1.
б) (а+4)х²+6х-1=0.
Если, а+4=0, а= -4, то 6х-1=0, х=1∕6 корень уравнения.
Если, а≠4, то уравнение является квадратным.
Д=9+а+4= 13+а. Из условия задачи следует, что Д=0. Значит 13+а=0,
4 4
а= -13.
Ответ: при а= -4 или а= -13 уравнение имеет одно решение.
2). (а-1)х²+2(а-1)х+а+5=0
Так как уравнение квадратное, то а-1≠0, а≠1.
Д= (а-1)²-(а-1)(а+5)=(а-1)(а-1-а-5)= -6(а-1).
4
а) Если, Д>0, т. е. -6(а-1)>0,
4 а-1<0, а<1 уравнение имеет 2 различных корня.
б) Если, Д=0, т. е. -6(а-1)
4 а=1, х1=х2
в) Если, Д<0, то уравнение не имеет корней.
4
-6(а-1)<0,
а-1>0,
а>1.
Ответ: при а<1 уравнение имеет 2 различных корня, при а>1 нет корней,
Квадратное уравнение равных корней не имеет.
II. Выполнение упражнений на закрепление.
1) Решите уравнение (а+1)х²- (а-1)х-2а=0.
1. Если, а+1=0, а= -1, то уравнение имеет вид 0х²+2х+2=0, х -1 – единственный корень уравнения.
2. Если, а≠ -1, то уравнение квадратное.
Д= (а-1)²-4(а+1)(-2а)= а²-2а+1+8а²+8а=9а²+6а+1=(3а+1)²
а) Если, Д>0, то х1≠х2, уравнение имеет 2 корня. (3а+1)²>0 при любых значениях а, кроме -1∕3.
х= а-1-√(3а+1)² = а-1-(3а+1) = -2а-2 = -1.
2(а+1) 2(а+1) 2(а+1)
х= а-1+3а+1 = 4а = 2а
2(а+1) 2(а+1) а+1.
б) Если, Д=0, то х1=х2.
(3а+1)²=0 при а= -1∕3, тогда х=х= а-1
2(а+1).
в) Если, Д<0, то уравнение не имеет корней, но
(3а+1)²≥0 при любых значениях а.
Ответ: при а≠ -1∕3 х1= -1, х2= 2а при а= -1, х= -1, при а= -1∕3 х1=х2= а-1
а+1, 2(а+1).
2) При каких значениях а уравнение (а-1)х²+(а+4)х+а+7 имеет один корень?
(Вызвать ученика к доске).
Решение.
1. Если, а-1=0, а=1, то уравнение имеет вид 0х²+5х+8=0, 5х-8, х= -13∕5 – один корень.
2. Если, а≠1, то уравнение квадратное.
Д= (а+4)²-4(а-1)(а+7) = а²+8а+16-4(а²+6а-7) = -3а²-16а+44.
Уравнение имеет один корень (т. е. х1=х2), если
Д=0. -3а²-16а+44 =0
3а²+16а-44 =0
Д = 64+3·44=196, а1 = 8-14 = 2, а2 = 8+14 = -7 1∕3.
4 -3 -3
Ответ: при а=1, или а=2 или а= -7 1∕3 уравнение имеет один корень.
III. На дом: 1) Решить уравнение х²-(4а+1)х+4а=0.
2) При каких а уравнение (2а-5)х²-2(а-1)х+3=0 имеет 1 корень?
3) Решить уравнение (По желанию). (а-1)х²+2(2а+1)х+(4а+3)=0.
IV. Итог урока.
Занятие 13.
Тема: Квадратные уравнения.
Цель: Совершенствовать умения и навыки учащихся в решении квадратных
уравнений; рассмотреть решения уравнений с дополнительными
условиями.
I. Проверка домашнего задания.
1) х²-(4а+1)х+4а=0
Д= 16а²-8а+1=(4а-1)²
а) Если, Д>0, то уравнение имеет 2 корня. (4а-1)²>0 при любых значениях
а, кроме 1∕4.
х1= 4а+1-√(4а-1)² = 4а+1-(4а-1) = 1, х2= 4а+1-4а-1 = 4а.
2 2 2
б) Если, Д=0, т. е. а=1∕4, то х1=х2= 4а+1
2
в) Если, Д<0, то уравнение не имеет корней, но (4а-1)²≥0 при любых
значениях а.
Ответ: при а≠1∕4, х1=1, х2=4а.
при а=1∕4, х1=х2= 4а+1
2
2) (2а-5)х²-2(а-1)х+3=0.
1. Если, 3а-5=0, а=2,5, то уравнение имеет вид 0х²-2·1,5·х+3=0,
-3х= -3, х=1 – корень уравнение.
2. Если, а≠2,5, то Д = (а-1)²-(2а-5)·3=а²-8а+16=(а-4)²
4
Уравнение имеет один корень, если Д=0, т. е. а=4, то х1=х2= а - 1
2а-5. Ответ: при а=2,5 х=1; при а=4 х1=х2= а-1∕2а-5.
3. Дома решали по желанию.
(а-1)х²+2·(2а+1)х+(4а+3)=0.
1) Если, а-1=0, а=1, то уравнение имеет вид 0х+6х+7=0, х=1 1∕6.
2) Если, а≠1, то Д = (2а+1)²-(а-1)(4а+3)=5а+4.
4
а) Если, Д>0, т. е. 5а+4>0, а>4∕5.
4
х1= -(2а+1)+√5а+4 = 2а+1-√5а+4, х2= (2а+1)+√5а+4
а-1 1-а 1-а.
б) Если, Д=0, т. е. а= -4∕5, то х1=х2 2а+1
4 1-а.
в) Если, Д<0, т. е. а <-4∕5, то нет корней.
4
Ответ: при а=1, х=1 1∕6, при а= -4∕5, х1=х2= 2а+1
1-а,
при а>4∕5, х1= 2а+1-√5а+4, х2= (2а+1)+√5а+4 при а <-4∕5, нет корней. 1-а 1-а,
III. Выполнение упражнений.
1) В квадратном уравнений (2х+3)х²-кх+5=0 найти значение к, при
котором:
а) корень уравнения равен 5;
б) сумма корней уравнения равна 2;
в) произведение корней уравнения равно 1∕3.
Решение.
Так как уравнение квадратное, то к≠ -1,5.
а) Если, х=5 является корнем уравнения, то
(2к+3)5²-5к+5=0,
25(2к+3)-5к+5=0,
45к= -80,
к= -1 7∕9.
б) Если, Х1 и Х2 корни уравнения, то по условию задачи х+х=2. По
теореме Виета х1+х2= к Значит к =2. Так как к≠ -1,5, то
2к+3. 2к+3
к=2(2к+3), 3к= -6, к= -2. Проверим, будет ли наше уравнение при
к= -2 иметь действительные корни, т. е. Д>0? Д=к²-20(2к+3)=
к²-40к-60. при к= -2 Д=4+80-60>0.
в) Если, Х1 и Х2 корни уравнения, то по условию х·х=1∕3 Но по теореме
Виета х1·х2= 5 . Тогда 5 = 1 Так как к≠ -1,5, то 2к+3=15, к=6.
2к+3 2к
Проверим, будет ли Д= к²-40к-60>0 при к=6. Д=36-40·6-60<0. Это
говорит о том, что при к=6 данное уравнение вообще не имеет
корней. Значит их произведение не может быть равно 1∕3.
2) При каких значениях параметра а корни уравнения х²-3ах+а²=0
удовлетворяют условию х²1+х²2=1,75?
Решение.
Уравнение квадратное.
Д=9а²-4а²=5а², т. е. при любых значениях а есть корни, кроме а=0.
х²+х²=1,75. Но (х+х)²-2х·х=1,75.
По теореме Виете х+х=3а, х·х=а².
Тогда (3а)²-2а²=1,75, 7а²=7∕4, а²=1∕4, а1=1/2, а2= -1/2.
Ответ: при а1=1/2, или а2= -1/2.
3) При каком значении к корни уравнений будут противоположными
числами?
а) 2х²+3(к-5)х+8=0
б) 2х²+3(к-5)х-8=0
Решение.
а) Это уравнение решает учитель.
Если корни уравнение Х1и Х2 противоположные числа, то х1+х2=0. По
Теореме Виета х1+х2= -3(к-5) . Тогда -3(к-5) =0 при к=5.
2 2
Проверим, будет ли наше уравнение при к=5 иметь два различных
корня, т. е. Д>0?
Д=9(к-5)²-4·2·8=9(к-5)²-64. При к=5 Д= -64, -64<0. Это говорит о том,
Что при к=5 данное уравнение вообще не имеет корней.
б) Это уравнение предположить решить самим ученикам.
Аналогично уравнению а) х1 и х2 будут противоположными при
к=5.
Убедимся, что при к=5 данное уравнение имеет два различных
корня. Д=9(к-5)-4·2·(-8)=9(к-5)²+64. При к=5 Д=64, 64>0.
Ответ: к=5.
II. Повторение.
Вопросы: 1. Дайте определение квадратного уравнения? Приведите
примеры?
2. По каким формулам можно вычислить дискриминанты
квадратного уравнения и его корни?
3. При каких условиях квадратное уравнение имеет 2 различных
корня, 1корень и не имеет корней?
4. Запишите теорему Виета?
IV. На дом: 1. Сумма корней квадратного уравнения ах²-(а²+2)х-7=0 равна 3.
Найти значение а?
2. При каком значении b произведение корней квадратного
уравнения b²х²+8х+b+4=0 равно 3?
3. По желанию учеников. Найти значения параметра а, при
которых разность корней уравнения 2х²-(а+1)х+а+3=0 равна 1.
V. Итог урока.
Занятие 14.
Тема: Квадратные уравнения.
Цель: Научить решать квадратные уравнения вида Р(х) = 0.
Q(х)
План.
I. Проверка домашнего задания.
1) ах²-(а²+2)х-7=0.
а≠0, х1+х2=3. (по условию). А по теореме Виета х1+х2= (а²+2). Тогда а²+2 =3, а а
а²-3а+2=0. Проверим, будет ли Д=(а²+2)²-4·а·(-7)= (а²+2)²+28а>0, при а1=1, а2=2.
Ответ: при а1=1, или а2=2.
2) b²х²+8х+b+4=0, b≠0, х1·х2=3 (по условию). По теореме Виета х1·х2= b+4 .
b²
Тогда b+4 = 3, 3b²-b-4=0, b1= -1, b2=4/3.
b²
Проверим, будет ли Д=64-4·b²(b+4)>0 при этих значениях b1 и b2.
При b= -1, Д=64-4·1²(1+4)>0.
При b=4/3, Д=64-4·(4/3)²(4/3+4)>0.
Ответ: при b= -1, или b=4/3.
3) По желанию учеников.
2х²-(а+1)х+а+3=0, х1-х2=1 (по условию), по теореме Виета имеем
х1+х2=а+1, х1·х2=а+3.
2 2
(х1-х2)²=х²1-2х1·х2+х²2=(х1+х2)²-4х1·х2.(х1+х2)²-4х1·х2.=1, а+1² - 4· а+3 -1=0,
2 2
а²+2а+1-8а-24 =0, а²-6а-27 =0, а²-6а-27=0, Д =36, а= -3, а=9.
4 4 4
Проверка при а= -3 и а=9 Д>0.
Ответ при а= -3 или а=9.
II. Устно.
1) Найти область определения выражений.
а) 4х-8 б) 2х в) х²-5х+1 г) х-5 д) х²-8х+7
5-х х+4 х(х-1)
2) Решите уравнение.
а) х-6 =0 б) х²-8х+7 =0 в) х²-8х+7 =0
х+4 х-9 х-1
III. Выполнение упражнений.
1) При каких значениях а уравнение имеет корень?
а) х-6 =0 б) х²-х-6 =0 в) х²-ах+1 =0
х+а х-а х+3
Решение.
а) Уравнение равносильно системе х-6=0, х=6,
х-а≠0. х≠ - а.
При а= -6 уравнение не имеет корней, при а≠ -6 х=6–корень уравнения.
Ответ: при а≠ -6.
б) Уравнение равносильно системе х²-х-6=0, х²-х-6=0, х= -2, х=3.
х-а≠0.
Тогда данное уравнение имеет вид:
х²-х-6 =0, (х+2)(х-3) =0. При а=3 х= -2, при а= -2 х=3.
х-а х-а При а=3, а≠ -2 х1= -2, х2=3.
Ответ: при а=3 или а=2.
в) Уравнение равносильно системе х²-ах+1 =0,
х+3.
Уравнение х²-ах+1 =0 квадратное и так как по условию задача имеет
один корень, то Д=0. Д=а²-4, а²-4=0, а1=2, а2= -2.
Теперь ответим на вопрос. При каких значениях а х= -3? (Т. е. если
х= -3 является корнем уравнения х²-ах+1=0, то второй корень должен
быть отличен от -3).
При х=²+3а+1=0, а= -10∕3, а= -3 1∕3.
Ответ: при а=2 или а= -2 или а= -10∕3.
IV. На дом: При каких значениях m уравнение имеет один корень?
а) х²-3х-4 =0 б) х²-4х+3 =0 в) х²-2mх+1 =0
х-m х-m х+5
V. Итог урока.
Занятие 15.
Тема: Квадратные уравнения.
Цель: Совершенствовать умения и навыки решении квадратных уравнений
вида Р(х) = 0.
Q(х)
План.
I. Проверка домашнего задания.
1) а) х²-3х-4 =0, (х+1)(х-4) =0.
х-m х-m
Ответ: при m= -1 х=4; при m=4 х= -1;
при m≠ -1 m≠4 х1=4, х2= -1.
б) х²-4х+3 =0, , (х-1)(х-3) =0.
х-m х-m
Ответ: при m=1 х=3; при m=3 х=1;
при m≠1 m≠3 х1=3, х2=1.
в) х²-2mх+1 =0, х²-2mх+1 =0,
х-m х ≠ -5.
Уравнение х²-2mх+1 =0 квадратное, то Д= 4m²-4. Д=0 если 4m²-4=0.
m²=1, m1=1, m2= -1.
При каких значениях m х= -5?
(-5)²-2m(-5)+1=0, 25+10m=0, m= -2,6.
Ответ: при m=1 или m= -1, или m= -2,6.
II. Закрепление пройденного материала.
1) Решите уравнение х²-(2m-1)х+m²-m =0 (Учитель сам решает у доски).
х+4
Уравнение равносильно системе х²-(2m-1)х+m²-m =0,
х≠4.
х²-(2m-1)х+m²-m =0 – квадратное уравнение, то
Д=(2m-1)²-4·1(m²-m)= 4m²- 4m+1-4m²+4m=1.
Так как Д=1, 1>0, то уравнение имеет корни х1=2m-1+1 =m, х2=2m-1+1=m-1
2·1 2
При каких значениях m х= -4?
(-4)²-(2m-1)(-4)+m²-m =0,
16+4(2m-1)+m²-m =0,
m²+7m +12=0,
m1= -3, m2= -4.
Ответ: при m≠ -3, m≠-4 х1=m, х2=m-1.
2) Решите уравнение: х²-(2а+1)х-а²-а =0. Вызвать ученика к доске.
х-1
Решение.
Данное уравнение равносильно системе х²-(2а+1)х-а²-а =0,
х-1,
Уравнение х²-(2а+1)х-а²-а =0 квадратное, то Д= (2а+1)²-4·1(-а²-а)=
4а²+4а+1+4а²+4а=8а²+8а+1.
а) Если, Д>0, т. е. 8а²+8а+1>0, то уравнение имеет два корня.
8а²+8а+1>0. Решим уравнение. 8а²+8а+1=0.
Д =16-8=8, а1= -4+√8 =2(-2+√2) = -2+√2
а ,
а2= -2-√2
4.
При а< -2-√2, а> -2-√2 х1= 2а+1+√8а²+8а+1, х2= 2а+1-√8а²+8а+1,
б) Если, Д=0, т. е. а1= -2+√2, а2= -2-√2, то х1=х2= 2а+1
4 4 2.
в) Если, Д<0, т. е. -2-√2< а <-2+√2 нет корней.
4 4
При каких значениях а х=1?
1²-(2а+1)1-а²-а =0,
- а²-3а=0,
- а(а+3)=0,
а3=0, а4= -3.
Ответ: при а< -2-√2, а> -2-√2 , а≠0, а≠3 уравнение имеет корни
4 4
х1= 2а+1+√8а²+8а+1, х2= 2а+1-√8а²+8а+1;
2 2
при а= -2+√2, или а= -2-√2, х1=х2= 2а+1
4 4 2.
при -2-√2< а <-2+√2 нет корней.
4 4
3) Найти все целые значения а, при которых уравнение 3-2а = 2х имеет
х-2 а
решение.
Решение.
З. данного уравнения. х-2≠0, х≠2,
а≠0. а≠0.
Тогда (3-2а)а=2х(х-2), 2х²-4х+2а²-3а=0.
Уравнение является квадратным, и так как оно имеет решение, то Д≥0
Д= 16-4·2(2а²-3а)=16-16а²+24а,
-16а ²+24а+16≥0, 2а²-3а-2≤0.
Решим уравнение 2а²-3а-2=0, Д=9-4·2·(-2)=25,а1=3+5 =2, а2=3-5 = -1∕2.
4 4
а -1∕2 ≤ а ≤ 2. Но у нас а≠0 и по условию
а=1 или а=2.
Ответ: при а=1 или а=2.
III. На дом:
Решите уравнение:
1) х-(4+а)х+4а =0 , 2) х - 2 = 3-а² .
х-1 а(х+1) х+2 а(х+1)(х+2)
Занятие 16
Тема: Квадратные уравнения.
Цель: обобщение знаний учащихся о квадратных уравнениях с параметрами,
закрепление навыков их решения.
Ι.Проверка домашнего задания.
1) 1) х-(4+а)х+4а =0.
х-1
Уравнение равносильно системе х²- (4+а)·х+4а=0
х≠1
х²- (4+а)·х+4а=0- квадратное уравнение.
Д=(4+а)²-4·4а=16+8а+а²-16а=а²-8а+16=(а-4)²
а) Д>0,т. е. (а-4)²>0 при любых значениях а, кроме 4.
х1=4+а+√(а-4)² = 4+а+а-4 = а, х2= 4+а-а+4 =4
2 2 2
б) Д=0 при а=4, тогда х1=х2= 4+а =2+а ∕2.
2
в) Д<0, но (а-4)²≥0 при любых значениях а.
При каких значениях а х=1.
1²- (4+а)+4а=0, 3а-3=0, а=1.
Ответ: при а≠4, а≠1 х1=а, х2=4,
при а=4 х1=х2 =2+а ∕2.
2) х - 2 = 3-а² .
а(х+1) х+2 а(х+1)(х+2)
Решение: О. Д.З. а≠0
х≠-1
х≠-2
Тогда х·(х+2)-2а·(х+1)=3+а²,
х²+2х-2ах-2а-3+а²=0
х²+2·(1-а)·х+а²-2а-3=0- это квадратное уравнение.
Д∕4=(1-а)²-(а²-2а-3)=1-2а+а²-а²+2а+3=4
Д∕4>0, то уравнение имеет два корня.
Х1= -(1-а)+2 =а+1 , х2= -1+а-2=а-3.
1
При каких значениях а х= -1, х= -2?
а+1= -1, а+1= -2, а-3= -1, а-3= -2
а= -2 а= -3 а=2 а=1.
Ответ: при а= -2 х= -5; при а= -3 х= -6; при а=2 х=3; при а=1 х=2;
при а=0 нет корней; при а≠ -2, а≠ -3, а≠2, а≠1, а≠0, х=а+1, х=а-3.
II. Обобщение знаний проводится в устной форме по вопросам.
1) Какое уравнение называется квадратным? Приведите пример?
2) Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
3) Являются ли уравнения ах²-6х+9=0 и 2х²-ах+8=0 квадратными?
4) Как найти корни уравнения ах²-6х+9=0?
5) Решите уравнение х-5х+4 =0
х-а
III. Закрепление навыков.
1) При каких значениях а уравнение а(а+3)х²+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более
одного корня?
Решение.
1. Если, а= 0, то уравнение имеет вид 0х²+6х-9=0, х= -1,5 -
единственный корень уравнения, но он не удовлетворяет условию
задачи.
2. Если, а= -3, то уравнение имеет вид 0х²+6х+9-9=0, 0х=0. Это
уравнение имеет множество решений.
3. Если а≠0, а≠ -3, то уравнение квадратное и имеет более одного корня
если Д>0.
Д =(а+3)²-а(а+3)(-3а-9) = (а+3)²+3а(а+3)² = (а+3)²(1+3а). Д >0, то
4 4
(а+3)²(1+3а) >0. Но (а+3)² >0 при любых значениях а, кроме -3, то
(1+3а) 0, а> -1∕3.
Итак: а≠0
а≠ -3 а -1∕3<а<0, а>0.
а> -1∕3.
Ответ: при а= -3 или -1∕3<а<0 или а>0.
2) Найдите значения параметра а, при которых корни уравнения
х²+(а+1)х+а+4=0 отрицательны.
Решение.
Уравнение квадратное, из условия задачи следует, что оно имеет два
корня. Значит, Д>0. Найдём его.
Д=(а+1)²-4(а+4)=а²+2а+1-4а-16=а²-2а-15.
а²-2а-15>0.
Решим уравнение. а²-2а-15=0
а1= -3, а2=5.
а
а< -3 или а>5.
По теореме Виета условием отрицательности корней будет а+1>0,
а > -1, а > -1, а+4>0,
а > -4.
Итак, а< -3 или а>5
а >-1 а> -1
нет решений а>5.
Ответ: при а>5.
IV. На дом: 1) Решите уравнение: а) 2х²+(3а-1)х-3=0; б) х²-8х+7 =0
х+а.
2) При каких значениях а уравнение (а+6)х²-8х+а=0 имеет
единственное решение?
V. Итог урока.
Занятие 17.
Тема: Квадратные уравнения с параметрами. Зачёт №2.
Цель: Проверить знания учащихся по данной теме «Квадратное уравнение».
План.
Зачётная работа.
Вариант – 1. Вариант – 2.
1) При каких значениях к квадратное 1) При каких значениях к квадратное
уравнение не имеет корней. уравнение имеет 2 различных
корня.
кх²+2х-7=0? 2х²+5х=к=0?
2) При каких значениях а уравнение имеет один корень?
х+9х-10 =0. х-11х+10 =0.
х-а х-а
3) Решите уравнение.
(а-2)х²-2ах+а+3=0. (а+1)х²-(а-1)х-2а=0.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Решить уравнение.
а) а =3. Ответ: при а=0 нет решений
2а-х при а≠0; х=5∕3а.
б) а =2. Ответ: при а=0 нет решений
2а-х при а≠0; х=3∕2а.
в) а =3. Ответ: при а=0 нет решений
а-2х при а≠0; х=а∕3.
г) а =2. Ответ: при а=0 нет решений
а-2х при а≠0; х=а∕4.
2. При каком значении а уравнение а(х-3)+8=13(х+2) имеет корень, равный 0?
Ответ: при а= -6.
3. При каком значении b уравнение 1-b(х+4)=2(х-8) имеет корень, равный 1?
Ответ: при b=3.
4. Решите уравнение.
(а²-9)х=а²+2а-3. Ответ: при а= -3 множество корней; при а=3 нет корней;
при а≠ -3, а≠3 х= а-1
а-3.
5. При каких значениях параметра а системы не имеют решений?
а) х+ау=1, б) -4х+ау=1+а, в) х+ау=1,
х-3ау=2а+3. (6+а)х+2у=3+а. ах+у=2а.
Ответ: а) 0, б) -4, в) -1;1.
6. При каких значениях параметра а системы имеют бесконечно много
решений?
а) (а+1)х+8у=4а, б) 3х+ау=3, в) ах-(а+1)у=6,
ах+(а+3)у=3а-1. ах+3у=3. 7ах-28у=6(а+4).
Ответ: а) 1, б) 3, в) 3.
7. Определите, при каком значении а системе уравнений х-ау=1,
4ах-у=2.
а) не имеет решений; б) имеют бесконечное множество решений;
в) имеет одно решение;
Ответ: а) -0,5 б) 0,5 в) (-∞; -0,5) V (-0,5; 0,5) V (0,5; ∞).
8. При каких значениях параметра а уравнения имеют одно решение?
а) 4х2-ах+а-3=0 Ответ: при а=4, а=12.
б) х2+ах+1∕4=0 Ответ: при а= -1, а=1.
в) ах2-8х+16=0 Ответ: при а=0, а=1.
9. При каком значении а имеют общий корень уравнения х2-ах+8=0 и
х2+х+а=0? Ответ: при а= -6.
10. При каких а уравнение ах2-4х+а+3=0 имеет более одного корня?
Ответ: -4<а<0, 0<а<1.
11. Найдите значение р, при которых уравнение 3х2-2рх-р+6=0 имеет 2 корня.
Ответ: р< -6 или р>3.
12. Найдите а, при котором один из корней уравнения 2х2+ах+3а=0 равен 3.
(Московский гос. институт электронной техники). Ответ: при а= -3.
13. При каких значениях а уравнение имеет два корня одного знака
2х2-4а2х-а2+1=0?
(Московский технич. университет связи и информации).
Ответ: при -1<а< -√2 или √2<а<1.
2 2
14. Найдите все значения а, при которых уравнение х2-ах+1=0 не имеет
корней? Ответ: -2<а<2.
15. Найдите все значения а, при которых уравнение х2-2(а-2)х+а2-2а-3=0
имеет два различных положительных корня? Ответ: 3<а<3,5.
16. При каких значениях а уравнение имеет более одного решения?
а) (а+6)х2-8х+а=0 Ответ: -8<а< -6, -6<а<2.
б) а(2а+4)х2-(а+2)х-5а-10=0 Ответ: при а= -2, -1∕40<а<0, а<0.
17. При каких а разность корней уравнения х2-(а+2)х+2а=0 равно 13?
Ответ: при а=15 или а= -11.
18. Найдите значения к, при которых имеет один корень уравнение:
а) 3кх2-6х+к-2=0. Ответ: 0 V-1V3.
б) (2к-5)х2-2(к-1)х+3=0. Ответ: 2,5V3.
19. Найдите значение параметра к, при котором уравнение 3х2-2кх-к+6=0
не имеет корней? (Росс. госуд. пед. университет). Ответ: -6<к<3.
20. При каком целом уравнение (а-3)х2+2х+3а-11=0 имеет равные корни?
(Москов. госуд. университет леса). Ответ: при а=4.
21. При каких значениях к имеет хотя бы один положительный корень
уравнения? х2+2(к-1)х+к+5=0. Ответ: при а≤ -1.
22. При каких значениях а уравнение (а2-3а+2)х2-(а2-5а+4)х+а-а2=0 имеет
более двух корней? Ответ: а=1.
23. Известно, что х21+х22=13, где х1, х2 – корни уравнения х2+ах+6=0.
Найдите х1+х2. Ответ: -5;5.
24.В уравнении (к-2)х2+(к-5)х-5=0. Определите к так, чтобы:
а) х1+х2=3, б) х1·х2= -3.
Ответ: а) 2,75. б) 3 2∕3.
25. Найдите наибольшее значение к, при котором корни уравнения
положительны (к-3)х2-2кх+6к=0. (Москов. экономико-статический инс.)
Ответ: к=3 3∕5.
Литература.
1. «Задачи с параметрами» (Гуськова , 1997г).
2. Сборник для подготовки и проведении письменного экзамена за курс
3. Учебник «Алгебры и начала анализа, 11 класс». (под редакцией Ю. М.
Колягина и др., Москва, «Просвещение», 2005г)
4. Учебник «Алгебры и начала анализа, 11 класс». (под редакцией А. Н.
Колмогорова, Москва, «Просвещение», 2001г).
5. газета «Математика» №2 – 2003г.
6. Система тренировочных задач и упражнений по математике. (Москва,
«Просвещение», 1991г).
7. «Готовимся к экзаменам по математике» (под редакцией
Москва, 1998г).
8. «Математика в экзаменационных вопросах и ответах» ( и др.
Минск 1997г).
9. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗЫ (Москва,
«Просвещение», 1983г).
10. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под
редакцией Сканави, Москва, 1995г).
конкурсных задач по математике. ( и другие, Москва,
Айрис, 2003г).
