Управление образования администрации Беловского района
Информационно-методический центр
МОУ «Старопестеревская средняя общеобразовательная школа»
«Теорема Пифагора и её
практическое применение»
Выполнила
,
учитель математики.
2011
Содержание
Введение…………………………………………………………………….3
I. Историческая справка о Пифагоре…………………………………5
II. Доказательства теоремы Пифагора…………………………………6
III. Использование теоремы Пифагора в решении задач…………..13
IV. Практическое применение теоремы Пифагора
1) архитектура и строительство………………………………..…21
2) астрономия………………………………………………………24
3) мобильная связь…………………………………………………27
V. Заключение…………………………………………………….… .30
VI. Приложение ……………………………………………………..…31
VII. Литература …………………………………………………... .….33
(ок. 580 – ок. 500 г. до н. э.)
Введение
Пребудет вечной истина, как скоро
Её познает славный человек!
И ныне теорема Пифагора верна,
Как и в его далёкий век.
Инструментами нашего исследования являются следующие аспекты:
а) объект исследования – т. Пифагора;
б) субъект исследования – геометрическое пространство;
в) предмет исследования – применение т. Пифагора.
Как много лет, и даже столетий, прошло с тех пор, как Пифагор сделал своё открытие. Оно не кануло в Лету - теорему Пифагора люди использовали и в древности, и в средневековье, и продолжают использовать и в наше время.
В данном исследовании мы попытались объединить и систематизировать самые разные стороны применения теоремы Пифагора. Кроме того, мы рассмотрели личность Пифагора, обратили внимание на различные доказательства этой теоремы и решения множества задач по её практическому применению в различных сферах жизни.
Цель: доказать, что «простота, красота и универсальность» теоремы Пифагора позволяет использовать её в различных сферах науки и жизни.
Задачи:
· рассмотреть гипотезы об авторстве доказательства теоремы Пифагора;
· продемонстрировать способы доказательства теоремы Пифагора (например, одно из доказательств «Пифагоровы штаны во все стороны равны»);
· показать применение теоремы Пифагора при решении задач;
· рассмотреть её практическое применение в архитектуре, строительстве, мобильной связи, астрономии.
В своей исследовательской работе использовали монографии по математике, исследовательские разработки, материалы периодической печати, Интернет-ресурсы, мультимедийные компьютерные технологии. В работе представлен объёмный иллюстративный материал в виде таблиц, чертежей, иллюстраций, фотоснимков, рисунков, математических расчётов. Во всех расчетах оперировали приближёнными числовыми значениями величины, так как первоначальные исходные данные получали путём измерений.
Мы представляем результат работы над проектом в виде электронной презентации. Практическое применение нашей работы – использование нашего проекта для элективных курсов, предпрофильной и профильной подготовках и на факультативных занятиях.
Историческая справка о Пифагоре
Пифагор Самосский родился около 580 г. до н. э. на острове Самос в Ионическом море. Пифагор – едва ли не самый популярный учёный за всю историю человечества.
Он принимал в свою школу только тех юношей, которые промолчали в течение пяти лет. Значит, при занятиях математикой нужна абсолютная тишина для того, чтобы можно было сосредоточить все внимание на решении того или другого утверждения.
Пифагор был не только учёным, но и основателем первой научной школы. Он был и воспитателем душ, проповедником собственной «пифагорейской» этики, философом, которого по силе духа и силе воздействия можно сравнить разве с его великими современниками: Конфуцием, Буддой. Но в отличие от них Пифагор создал самую яркую «религию». Он воспитывал в человеке веру в могущество разума, убеждённость в познаваемости природы, уверенность в том, что ключом к тайнам мироздания является математика.
2500 лет тому назад Пифагор направил людей по пути торжества разума. Легенды наперебой объявляют Пифагора чудотворцем. Сообщают, что у него было золотое ребро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что, однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким голосом воскликнула: «ДА здравствует Пифагор!» Сообщали, что в Тиррении он умертвил своим уксусом ядовитую змею, унёсшую многие жизни. Что он предсказывал землетрясения, отвращал ураганы, укрощал морские волны, останавливал повальные болезни. Порфирий рассказывал о Пифагоре такую историю, что в Торренте он увидел быка, жевавшего новые бобы, подошёл к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух засмеялся и сказал, что он не умеет говорить по-бычьи. Тогда Пифагор сам подошёл к быку и прошептал ему что-то на ухо; после чего бык не только пошёл прочь из бобовника, но и никогда не касался бобов. В 1808 году в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжка «Пифагоровы законы и нравственные правила». Вот некоторые извлечения из этой книги, содержащей 325 заповедей.
Доказательство теоремы Пифагора.
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путём
К результату мы придём.
Сегодня известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора геометрических, алгебраических, механических и прочих.
Трудно найти человека, который не знал бы её шуточную формулировку: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».
А 
В
|
Это тоже
квадрат
Его площадь равна
С2
А В
|
|
А В
В А
 |
|
Площадь большого квадрата равна сумме площадей маленького квадрата и площадей 4-х треугольников
А В
(a+b)2=c2+4*1/2ab
С А
В c
Отсюда
a2+2ab+b2=c2+2ab
|
|
|
|
|
Рассмотрим один из примеров доказательства теоремы Пифагора.
Дано: Прямоугольный треугольник а, в – катеты с- гипотенуза Доказать: с2=а2+в2 Доказательство: 1) Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в. 2) Sкв= (а+в)2 Sкв=4∙1/2ав+с2=2ав2+с2 Тогда, 2ав2+с2=(а+в)2 2ав2+с2=а2+2ав+в2 Вычтем из обеих частей 2ав, тогда: с2=а2+в2,что и требовалось доказать. |
Замечания: 1) Прямоугольные треугольники равны по двум катетам. 2) Внутри получается квадрат, т. к. этот четырёхугольник ромб с прямым углом.
Тогда, |
1+Решение практических задач на применение теоремы Пифагора. | ||
Дано: ∆АВС – прямоугольный, АВ=200 см, АС=150 см.
Решение: ВС2=АВ2+АС2 ВС2=1502+2002 ВС2=62500 ВС=250 см, 2,5 м Дано: ОВ=12 м, ОЕ=5 м, l=50 м Найти: ВС+ВК+ВЕ+ВД Решение: 1) Найдём длину одной растяжки. ∆ВОЕ – прямоугольный. ВЕ2=ВО2+ОЕ2 ВЕ2=144 + 25 ВЕ2=169 ВЕ=13 м 2) Найдём длину 4 растяжек. 13∙4=52 м Ответ: не хватит. | ||
Дано:АД=10 м, АВ=7 м, СД=4 м Найти: ВС Решение: 1) Провели СК║АД. Тогда АКСД – прямоугольник (объяснить). Значит, КА=СД=4 м, КС=АД=10 м 2) ∆ВКС – прямоугольный (объяснить) ВК=7 – 4 = 3 м. ВС2=ВК2+КС2 ВС2=9+100 ВС=√109 10<√109<11 Ответ: подойдёт |
Найти: ВССуществует одно интересное приложение обобщения теоремы Пифагора, которое встречается во многих учебниках геометрии под названием теоремы о «гиппократовых луночках».
Теперь попытаемся доказать, что теорема Пифагора, имеет широкий круг применения.
В первую очередь рассмотрим применение теоремы Пифагора в школьном курсе геометрии и курсах смежных дисциплин. Воспользуемся, прежде всего, возможностями, которые даёт теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых известных нам фигур: 
1) Диагональ d квадрата со стороной a можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом a. Таким образом,
d2=2*a2
d=√ 2*a.
2) Диагональ d прямоугольника со сторонами a и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Таким образом, мы имеем
d2=a2+b2
Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией; мы сейчас перейдём к пространственным телам и рассмотрим некоторые простейшие из них.
На рисунке изображён куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, закрашенного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина этой диагонали равна (√ 2*a). Отсюда имеем
d2=a2+ (√ 2*a)2
d2=a2+2*a2=3*a2
d=√ 3*a
Исследуем пирамиду, например, такую в основании которой лежит квадрат, и высота которой проходит через центр квадрата. Пусть сторона квадрата a, а высота пирамиды h. Чему равна длина S боковых рёбер пирамиды?
Эти рёбра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата, т. е. 1/2*√ 2*a. Вследствие этого имеем:
S2=h2+1/2*a2.
Затем мы можем вычислить высоту h1 боковых граней. В прямоугольном треугольнике, один из катетов которого равен h, а другой - a/2, высота h1 будет гипотенузой. Поэтому
h12=h2+1/4*a2.
Возможно, кто-то сочтёт наши приложения теоремы Пифагора сугубо теоретическими. Но это не так. Если, например, рассматривать нашу четырёхугольную пирамиду как крышу башни (или палатки), то в первом нашем вопросе речь идёт о том, какой длины нужно сделать боковые рёбра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши. А вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчёте стоимости кровельных работ. Заметим, что расчёт площади кровли можно сильно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-либо стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь.
Теорема Пифагора также применяется при геометрических вычислениях:
Задача 1:
С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого.
Решение:
По теореме Пифагора:
4x2+(0,75x*2)2=20002
6,25x2=20002
2,5x=2000
x=800
0,75x=0,75*800=600.
Ответ: 800 км/ч.; 600 км/ч.
Задача 2:
Как следовало бы поступить юному математику, чтобы надёжным образом получить прямой угол?
Решение:
Можно воспользоваться теоремой Пифагора и построить треугольник, придав его сторонам такую длину, чтобы треугольник получился прямоугольный. Проще всего взять для этого планки длиной в 3, 4 и 5 каких-либо произвольно выбранных равных отрезков.
Теорема Пифагора имеет широкое применение при изучении смежных дисциплин:
Задача 3:
Найдите равнодействующую трёх сил по 200 Н каждая, если угол между первой и второй силами и между второй и третьей силами равен 60°.
Решение:
Модуль суммы первой пары сил равен:
F1+22=F12+F22+2*F1*F2cosα
где α-угол между векторами F1 и F2, т. е. F1+2=200√ 3 Н. Как ясно из соображений симметрии вектор F1+2 направлен по биссектрисе угла α, поэтому угол между ним и третьей силой равен:
β=60°+60°/2=90°.
Теперь найдём равнодействующую трёх сил:
R2=(F3+F1+2 )
R=400 Н.
Ответ: R=400 Н.
Решение старинных задач
Теорема Пифагора всегда имела широкое применение при решении самых разнообразных геометрических задач.
1.Способ построения прямоугольного треугольника у древних египтян
По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.
2. Задача индийского ученого Бхаскара Акариа, 1114 г.
На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте в 3 фута от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен перпендикулярно течению). Определить высоту тополя.
Решение.
1) AB2 = AC2 + BC2, AB = 5,
2) 5 + 3 = 8 (футов) – высота тополя.
3. Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого:
«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».
Практическое применение теоремы Пифагора
В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.
Строительство
 |
Окно
В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными 
ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p.
По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)
или
b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p,
откуда
b*p/2=b/4-b*p.
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
(3/2)*p=b/4, p=b/6.
Крыша
В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.
Решение:
Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м, BF=4 м Если предположить, что FD=1,5 м, тогда:
А) Из треугольника DBC: DB=2,5м
Б) Из треугольника ABF:
Молниеотвод
Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h2 ≥ a2+b2, значит h ≥ (a2+b2)½.
Ответ: h ≥ (a2+b2)½
Астрономия
На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.
Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид
c * t = l
Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!
Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.
Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:
v * t' = d
Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не правда ли?
Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света?(Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)
Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение:
c * t' = s
Здесь c - это скорость света, а t' - это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Да-да, тому самому l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять не нее.
Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковы прямоугольных треуголников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов - это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет - это s, который проходит свет, и который мы тоже рассчитали.
Получаем уравнение: s2 = l2 + d2
Это ведь просто теорема Пифагора, верно?
В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
Мобильная связь
В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.)
Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим ответ. Ответ: 2,3 км.
Пифагор – философ
Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе.
Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме. Ниже приводятся примеры каждого вида, перечисленного здесь…
Легенды и мифы
Сонную тишину ночного Метапонта прорезал ужасный крик. Послышалось падение на землю тяжелого тела, топот убегающих ног, и все смолкло. Когда ночной караул прибыл на место происшествия, в колеблющемся свете факелов все увидели распростертого на земле старца, и неподалеку от него - мальчик 12 с лицом, перекошенным от ужаса.
- Кто это? - спросил начальник караула у мальчика
- Это Пифагор, - ответил тот.
- Кто такой Пифагор? Среди жителей города нет гражданина с таким именем.
- Мы недавно прибыли из Кротона. Мой господин должен был скрываться от врагов, и выходил только ночью. Они выследили его и убили.
- Сколько их было?
- Я этого не успел заметить в темноте. Они отбросили меня в сторону и накинулись на него. Начальник караула стал на колени и приложил руки к груди старца.
- Конец, - сказал начальник.
Заповеди, откровения Пифагора
· 1. Мысль — превыше всего между людьми на земле.
· 2. Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).
· 3. Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь).
· 4. По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих).
· 5. Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык).
· 6. Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду).
· 7. В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).
Применение теоремы Пифагора в будущем
Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2 = a2 + b2.
Кроме этого, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях. Например в Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: первые три даже перечислять не стоит, а также время, запах и вкус. Это наглядно говорит о том, насколько быстро увеличивается количество измерений, используемых человечеством. Ведь еще три года назад никто и не заикался о более чем трех измерениях в кино. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень "просто": ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять и т. д. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды... Захватывает? Конечно да, и это говорит о том, насколько много направлений деятельности еще будет у теоремы Пифагора и связанных с ней.
Заключение
Но не надо думать, что теорема Пифагора больше не имеет других значений. Из того, что мы продемонстрировали, надо сделать вывод, что все эти технологии используются также и в других отраслях. Например, при строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т. д. В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.
Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне терема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Приложение
Литература
1. Евклид. Начала. Т.1-3. М.–Л.: Гостехиздат, .
2. Теорема Пифагора. – М.: Просвещение, 1960.
3. По следам теоремы Пифагора. М: Самообразование, 2000.
4. Прасолов по планиметрии. Т. 1, 2. М.: Наука, 1995.
5. Перельман геометрия. М.: Просвещение, 1955.
6. , Бродский задач по математике для техникумов. М.: Наука, 1992.
7. Шарыгин курс по математике: решение задач. М.: Просвещение, 1989.
8. Математика в школе. №1. 2001.
9. Математика (Приложение к «Первое сентября»). №4. 2005.
