Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов

«Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов» (2 часа)

«Уважение к минувшему - вот черта, отличающая образованность от дикости».

Цели урока:

Образовательная – систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся, применять различные способы разложения многочлена на множители. Сформировать умение применять разложение многочлена на множители путём комбинации различных приёмов. Реализовать знания и умения по теме: «Разложение многочлена на множители» для выполнения заданий и базового уровня и заданий повышенной сложности.

Развивающая – способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы, применять исторический материал. Умение работать с бланком ответов при решении тестов.

Воспитательная – побуждать учеников к само-, взаимоконтролю, работе в команде, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний, формировать умение рефлексировать.

Оборудование. Мультимедийные средства обучения, наличие учебной презентации, задание для тестов, «Математической эстафеты», самостоятельной работы, индивидуальные оценочные листы.

План урока

1 .Постановка цели урока – 2 мин.;

2. Повторение теоретических сведений – 6 мин.;

-теоретический опрос;

-тест № 1;

3. Практикум на способы разложения многочленов на множимин.

4. 3акрепление материала «Математическая эстафета» 7 мин.

5. Отработка практических умений выполнения разложения многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов 10 мин.

6. Исторический материал. За страницами ученика алгебры 10 мин.

7. Срез знаний по теме: «Разложение многочлена на множители» 20 мин.

8. Изучение материала по теме: «Метод выделения полного квадрата»
5 мин.

9. 3акрепление изученного материала 12 мин.

10. Применение разложения многочлена на множители при решении задач на делимость 5 мин.

11. Подведение итогов урока и задание на дом 3 мин.

Ход урока

1. Формулировка темы урока. Постановка целей урока, этапы урока, работа учащихся с раздаточным материалом.

2. а) Актуализация знаний учащихся

Проверить решение домашних задач, заменить знаки * такими однозначными, чтобы выполнялось равенство:

№ 000	из № 000 и № 000 составить упражнения со *
,	,
,	,
,	,
.	.

б) Повторение теории

Вопросы: Что значит разложить многочлен на множители? Назовите известные методы разложения на множители. Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Повторение формул сокращенного умножения.

В парах выполняется задание теста 1 Учащиеся обмениваются листочками. В учебной презентации демонстрируются ответы к заданиям теста. Происходит быстрая взаимопроверка и комментарий заданий. Ученики распределяют между собой заработанное количество баллов. Практикум на способы разложения многочлена на множители учащийся выполняет задание за доской. Проведение классификации данных на листочке многочленов по способу разложения на множители. В результате ученик собирает таблицу. Затем совместно со всеми учащимися разбирают классификацию многочленов по способом разложения на множители. Проверка правильности выполнения заданий с помощью учебной презентации в виде самопроверки. В результате ученики собирают таблицу. Задание 2

Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители.

Для закрепления классификации многочленов по способу разложения многочлена на множители учащиеся выполняют тест 2 на 2 варианта.

После выполнения теста. Учитель включает учебную презентацию, демонстрируя ответы к каждому варианту задания теста. Происходит быстрая самопроверка и комментарий заданий. Принципы соединений линиями многочленов и способы разложения (аналогично у 2-х вариантов)

1 и 8 вынесение общего множителя (одночлена и многочлена)

2. многочлен, который нельзя разложить на множители

3 и 7 способ группировки

4 и 6 формулы сокращенного умножения 1 вар. (разность квадратов, сумма кубов, 2 вар. (квадрат суммы, разность квадратов). Не формула разности квадратов (знак «+»), не формула квадрата разности (не верно составлено, удвоенное произведение).

4. «Математическая эстафета»

Работа по командам. На последней парте каждого ряда находится листок с 8 заданиями (по 2 задания на каждую парту). Эти же задания прописаны в учебной презентации. Ученики, получившие листок выполняют первые два задания (разрешается совместная работа) и передают листок впереди сидящим ребятам, после чего подключаются к работе всего класса.

Работа считается оконченной, когда учитель получает 3 листка с выполненными заданиями. Проверка итогов работы, в виде сетки ответов (по аналогии с бланком ответов уровня А, ЕГЭ) осуществляется с помощью учебной презентации. В этой работе оценивается коэффициент участия в решении. В оценочный лист выставляется либо 1 балл за верно выполненный пример, либо 0 баллов. Ответы:

1 ряд	2 ряд	3 ряд
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.	1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.	1. 2. 3. 4. 5. 6.

А) Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов. Слова учителя: в математике не так часто бывает чтобы при решении примера применялся только один приём, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один приём, затем другой и т. д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приёмы, надо ещё уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассматриваем.

Пример 1 (подробная запись)

1. НОД (36,96,64)=4. Во все многочлены входит переменная а (соответственно а6, а4, а2) и переменная в (соответственно b3, b4, b5) – за скобки можно вынести а2 и b3. Общий множитель 4a2b3. .

2. Рассмотрим трёхчлен в скобках . Выясним, что в этом многочлене является полным квадратом. Все условия полного квадрата соблюдены . Следовательно, .

3. Комбинируем два приёма (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращённого умножения), получаем окончательный результат: .

Решение

Комбинируем два приёма:

-  вынесение общего множителя за скобки;

-  использование формул сокращенного умножения.

Б)3акрепление материала.

У доски выполняются примеры разложения многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов.

Пример 2. решается на доске с последующим определением приёмов разложения многочлена на множители.

Пример 3. учащиеся пробуют решить самостоятельно. Причем вместе с заданием проговариваются виды участвующих в разложении приёмов. Затем идет проверка с помощью учебной презентации.

Пример 2: Разложите на множители многочлен

Решение

Комбинируем два приема:

-  группировку;

-  использование формул сокращенного умножения.

Пример 3: Разложите на множители многочлен

Попробуйте его решить комбинируя три приёма:

-  группировку;

-  формулу сокращенного умножения;

- вынесение общего множителя за скобки

Решение

Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок (запись в теоретической тетради +учебная презентация). Порядок применения различных методов при разложении многочлена на множители:

1 .вынести общий множитель за скобку (если он есть)

2. попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.

Исторический материал. За страницами учебника алгебры.

Одно из замечательных качеств математика профессионала – любознательность. Вот он сделал что-нибудь, и неплохо сделал! Можно успокоиться, но нет! А что если сделать по-другому? А нельзя ли этот способ, этот метод решения задач применить в других обстоятельствах? Одним из таких ученых был великий французский математик Франсуа Виет (). Он первым догадался обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них. Это очень маленькое новшество было огромным шагом вперед. Ведь если не использовать букв для обозначения коэффициентов, допустим квадратного уравнения, то записать даже самую простую формулу будет очень сложно. Недаром Виета называют «Отцом алгебры».

А какие уравнения называют квадратными? Это уравнения вида
ах2+bх+с=0 (где ). Мы видим, что в левой части это уравнение записан многочлен ах2+bх+с – это квадратный трёхчлен. Виет обратил внимание на то, что при разложении квадратного трёхчлена на множители мы должны обратить внимание на делители свободного члена. Свободный член – это такой член многочлена, который не несет с собой переменную.

Существует много способов разложения многочлена на множители, но нам известен пока только один. Это способ группировки с использованием предварительного преобразования например, при разложении квадратного трехчлена на множители х2+5х+6 надо обращать внимание на делители свободного члена.

Делители -6: ; ; ; .

Мы должны предоставить одночлен +5х в виде суммы двух слагаемых, где коэффициент хотя бы одного из них должен делится на -6

+5x= - 6х+1х

Получаем /

А для многочлена третьей степени? Играет ли главную роль свободный член при разложении многочлена на множители?

Преобразуем уже знакомый нам квадратный трёхчлен в многочлен третьей степени: .

Делители свободного члена: ; ;

Представим два члена многочлена в виде суммы 2-х одночленов, где хотя бы один одночлен обязательно делился на -6: , .

Получим:

При решении примера № 4 учащийся работает у доски, предварительно совместно со всем классом вырабатываются те приёмы, которые необходимо применить при разложении многочлена на множители.

Пример 4. разложите на множители многочлен

Попробуйте его решить комбинируя три приёма:

-  вынесение общего множителя за скобки;

-  предварительное преобразование;

-группировка.

Решение

Срез знании по теме: «Разложение многочлена на множители».

Разложите на множители, используя различные способы.

1 вариант	2 вариант
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.

Ответы к срезу знаний.

1 вариант	2 вариант
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.

Совокупность различных приёмов разложения на множители позволяет легко и изящно преобразовать многочлен вида: ах2+вх+с () – квадратный трёхчлен. Существует много способов разложения на множители квадратного трёхчлена. Самый простой и универсальный через D, но этим мы займёмся в 8 классе.

А сейчас выполним метод группировки с элементом предварительного преобразования и попытаемся решить один и тот же пример методом выделения полного квадрата.

Пример: разложите на множители квадратный трехчлен

1 способ	2 способ
используем предварительное преобразование. Представим -6х= - х(-5х), а затем применим способ группировки:	применим метод выделения полного квадрата, обратив внимание на удвоенное образование 6х=2 х 3. Это определяет второе выражение полного квадрата 3

9. Закрепление изученного материала

Решение № 000

А)

Б)

В)

Г)

10. Применение разложения многочлена на множители. См. приложение 1.

11. Д/3 1 уровень: № 000, 641, 642, 643

2 уровень: № 000, 645, 654, 648

Дополнительное задание. Составить 8 примеров для математической эстафеты по теме урока.

Основные результаты урока.

ПРИЛОЖЕНИЯ:

Раздаточный материал

для учащихся

Тема: Разложение многочлена на множители (теория)

Разложить многочлен на множители – это значит представить многочлен в виде произведения двух или нескольких более простых многочленов.

 

Вынесение общего Способ группировки, Применение формул Выделе-

множителя за скобки в том числе с сокращенного ние

использованием умножения полного

предварительного квадрата

преобразования

Комбинирование различных приемов

 

Вынесение общего множителя за скобки

Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов

1. Найти НОД (наибольший общий делитель) коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен.

2. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

3. Произведение коэффициента и степеней как общий множитель выносится за скобки.

 

Способ группировки

1) Алгоритм разложение многочлена на множители способом группировки

1. Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель.

2. Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки.

3. Вынести в каждой новой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки

2) Предварительное преобразование

Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем при­бавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

Применение формул сокращенного умножения

Группа из двух, трех или более слагаемых с помощью формул сокращенного умножения заменяется произведением многочленов.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Выделение полного квадрата

При разложении многочлена на множители необходимо «увидеть» полный квадрат, обращая внимание на удвоенное произведение двух выражений. Применяются формулы сокращенного умножения (4), (5).

Комбинирование различных приемов

Порядок применения различных методов при разложении многочлена на множители

1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).

2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.

3. «Увидеть» и попробовать выделить полный квадрат.

4. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

 

ФИО ________________

ТЕСТ 1

Задание 1

А. Соединить линиями соответствующие части определения. (Оценка - 2 балла)

Б. Восстановить порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители способом группировки. (Оценка – 2 балла)

 

В. Отметьте знаком плюс «+» верные выражения. (оценка – 4 балла)

* ; * ;

* ; * ;

* ; * ;

* ; * .

Г. Восстановите порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки. (Оценка – 2 балла)

1	Произведение коэффициента и степеней, как общий множитель, выноситься за скобки
Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, нужно
2	Найти переменные, входящие в каждый член многочлена с наименьшим показателем степени (из имеющихся)

3	Найти НОД коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен

Задание 2

Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители. (Оценка – 4 балла)

ТЕСТ 2

Вариант I.

Задание. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители. (Оценка 8 баллов – по 1 баллу за каждое верное соединение)

Вариант II.

Задание. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители. (Оценка 8 баллов – по 1 баллу за каждое верное соединение)

Вынесение общего множителя за скобки

 

Формула сокращенного умножения

 

Не раскладывается на множители

 

Способ группировки

 

«Математическая эстафета»

1-й ряд

Разложить на множители

Оценка 8 баллов – по 1 баллу за каждый верно выполненный пример

A1. a2b3-a3b4

1) a2b3(1-ab)

2) ab3(1-a2b)

3) a3(b3-b4)

4) b3(x2-x3)

A2. 2a+2b+a2+ab

1) (b+a)a

2) (b-a)(2+a)

3) (2+a)(a-b)

4) (a+b)(2+a)

A3. 6a-3

1) 3(2a-1)

2) (2a+1)

3) 6(a-1)

4) 3(a-1)

A4. ab-ac+7c-7b

1) (b+c)(a-7)

2) (b-c)(a+7)

3) (b+c)(a+7)

4) (a-7)(b-c)

A5. 12x2y-6xy-24xy2

1) 6xy(2x-1-4y)

2) 6xy(6x-1-4x)

3) 6xy(2x-4y)

4) 6xy(2x+4y+1)

A6. 25x2+10x+1

1) (5x+1)2

2) (5x+1)(5x-1)

3) (5x-1)2

4) не разлагается на множители

A7. 9c2-a2b2

1) (3c-ab)2

2) (9c-ab)(9c+ab)

3) (3c-ab)(3c+ab)

4) (9c-ab)2

A8. 16-24y+9y2

1) (4-3y)2

2) (8-3y)2

3) не разлагается на множители

4) (4-3y)(4+3y)

2-й ряд

Разложить на множители

Оценка 8 баллов – по 1 баллу за каждый верно выполненный пример

A1. 4x2-4x+1

1) (2x-1)2

2) (1-2x)(1+2x)

3) (1-x)2

4) не разлагается на множители

A2. x(y+4)+4+y

1) (x-4)(y+4)

2) (x+1)(y+4)

3) (y+4)x

4) (x-1)(4-y)

A3. m2+mn-m-mq-nq+q

1) (m+n)(m-q)

2) (m+n-1)(m-1)

3) (m-q)(m-n+1)

4) (m+n-1)(m-q)

A4. ab-ac+7c-7b

1) (b+c)(a-7)

2) (b-c)(a+7)

3) (b+c)(a+7)

4) (a-7)(b-c)

A5. a2-3ab+a-aq+3bq-q

1) 2(3x+1)

2) 2(9x2+6x)

3) (6x+1)2

4) 2(3x-1)2

A6. x4-9a2

1) (x2+3a)2

2) (x2-3a)2

3) (x2-a)(x2+a)

4) (x2-3a)(x2+3a)

A7. 1-8a2

1) (1-2a)(4a2+2+1)

2) (2a+1)(4a2-4a+1)

3) (1-2a)(4a2-2a+1)

4) (1-2a)3

A8. 2(3a2+bc)+a(4b+3c)

1) (2a+c)(3a-2b)

2) (4b+3c)(2+a)

3) (2a+c)(3a+2b)

4) (3a2+bc)(2+a)

3-й ряд

Разложить на множители

Оценка 8 баллов – по 1 баллу за каждый верно выполненный пример

A1. 2a-4

1) 2(a+2)

2) 2(a-2)

3) 4(a-1)

4) 4(a+1)

A2. 16a2+8a+1

1) (4a-1)2

2) (4a+1)2

3) не разлагается на множители

4) (4a-1)(4a+1)

A3. 4x2y-8xy-16xy2

1) 4xy(xy-2-4y)

2) 4xy(x-2-4x)

3) 4x(xy-2y-4y)

4) 4xy(x-16y-2)

A4. 2(a3+3bc)+a(3b+4c)

1) (2a+3b)(a+2c)

2) (2a+3b)(a-2c)

3) (a3+3bc)(2+c)

4) (2+a)(3b+4c)

A5. b-c-a(c-b)

1) (a-1)(b+c)

2) (a+1)(c-b)

3) (a-1)(b-c)

4) (a+1)(b-c)

A6. x2-3x-5x+15

1) (x-3)(x-5)

2) (x-3)(x+5)

3) (x+3)(x-5)

4) (x+3)(x+5)

Ответы к математической эстафете

Ряд 1

	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
1	X		X		X	X		X
2
3							X
4		X		X

Ряд 2

	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
1	X				X		X
2		X
3				X				X
4			X			X

Ряд 3

	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
1				X		X
2	X	X	X
3
4					X