Лекция 14
Комплексный передаточный коэффициент частотной характеристики объектов и систем управления.
Итак имеем на руках W(p) U(p),X(p),Y(p)
Для x(t) можно подобрать 
что 
Если сама x(t) интегрируема, то ее не обязательно умножать на e; тогда ее 
Положим с=0
Обратное преобразование Фурье
Если мы имеем диффуравнение 
Если х и u абсолютно интегрируемы, то можно применить преобразование Фурье:
-матричная частотная функция
Оказывается, что частотные функции можно снимать экспериментально. Если u-сигнал гармонический, то в устойчивом объекте установятся гармонический сигнал и модули элементов будут равны отношению амплитуд координат векторов x и u к амплитудам U. Комплексные составляющие – это сдвиги по фазе между инициализированными сигналами.
Известна передаточная функция:
при нулевых начальных условиях
Воспользуемся школьным законом «крестика» J:
Применим обратное преобразование Лапласа и получим производные до m и n порядков:
Повторяю, что это преобразование при начальных нулевых условиях.
Таким образом, вновь убедились, что по передаточной функции восстановим диффур.
Имеем: 
Исходя из этого, запишем:
Преобразования, преобразования, ничего не понятно? Согласен, по голому тексту без мелочей трудно осознать суть. Итак мы имели передаточную функцию через р. Разложили ее через отношение матрицы управления к матрице выхода. Теперь на основании двух фактов можно заменить p на jω. Таким образом получаем для четных степеней (jω) «действительность произведения», а нечетные части олицетворяют мнимую часть.
Если возводить jω в степень то будут получаться положительные и отрицательные коэффициенты при ω.
В таком случае, что произойдет, если сменить знак у аргумента передаточной функции?
Как будут связаны 
?
Из курса комплексных функций известно, что такие передаточные будут комплексно сопряженными:
Если меняем 
, то модули не меняются, а фаза меняет знак.
Давайте подадим на вход гармонический сигнал 
. Пока предположим, что на выходе будет 
. Предполагаем, что если на входе будет гармонический сигнал, то после всех преобразований выйдет гармонический сигнал измененной амплитуды, с некоторым сдвигом по фазе. Удобно будет представить 
и 
.
Величину 
- символическое обозначение гармонического колебания 
.
Рассмотрим для начала прохождение 
.
Подставим вместо Y,
.
- левая часть уравнения
- правая часть уравнения
Вопрос: а откуда взялось гармоническое колебание управления? Положим, что для управления сдвиг 
:
Сократим и отбросим все ненужное J:
Вынесем за скобки символические гармонические колебания:
Используем обратный закон «крестика»:
В соответствии с этим:
Отношение амплитуд
Сдвиг фаз
Наше предположение оказалось верным!
Теперь подойдем с практической точки зрения: если у нас есть графические гармонические колебания входа и выхода, то как необходимо измерять сдвиг фаз? Руководствуясь значениями только положительных или только отрицательных экстремумов обоих функций. То есть делать замеры от «вершины к вершине».
