Применение генераторов взаимно-корреллированных случайных процессов для имитационного моделирования систем

ПРИМЕНЕНИЕ ГЕНЕРАТОРОВ ВЗАИМНО-КОРРЕЛЛИРОВАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

Бучнев (Иркутский государственный технический университет)

В работе приводится пример применения генераторов взаимно-коррелированных случайных процессов для имитационного моделирования производственной системы. Результат применения дает упрощение процесса и уменьшение сроков моделирования.

Открытию нового производства или модернизации существующего обязательно предшествует подготовительный этап, связанный с проектированием. На этом этапе строится модели системы, дается её формальное описание, и определяются оптимальные в некотором смысле параметры ее функционирования. Реальные производственные системы обязательно являются стохастическими, поэтому для эффективного проектирования желательно проведение имитационных экспериментов. Данная работа описывает порядок проведения и некоторые результаты имитационного эксперимента.

Имитационное моделирование сложных объектов, имеющих под собой реальную физическую или экономическую основу, является самым доступным методом изучения их свойств и прогнозирования их поведения. Ключевую роль при таком моделировании играет имитация случайных процессов, представляющих, как правило, входные воздействия или помехи. В большинстве случаев такие воздействия, пользуясь терминами теории случайных процессов, представляют собой стационарные одно-, или многомерные случайные процессы, обладающие определенными статическими и динамическими свойствами. Под статическими свойствами в данном случае подразумевается закон распределения вероятностей, которому подчинены элементы реализации случайных процессов, под динамическими свойствами – их автокорреляционные и, в том случае, если закон распределения многомерный, взаимные корреляционные функции каждой из ординат случайного процесса, а также спектральные плотности.

Рассмотрим задачу применения имитационного эксперимента для моделирования производственной системы, изображенной на рисунке 1.

Рисунок 1 - Структура производственной системы.

Дадим ей краткое описание. Система состоит из двух складов – склад А и склад Б, и склада цеха. Не вдаваясь в подробности функционирования системы, условимся, что цех производит некоторую деталь. Состояние склада цеха определяется шестью параметрами: , , , , , . Таким образом, цех есть сложная динамическая система, рассматриваемая во времени: , где

- множество моментов времени, в которые рассматривается функционирование склада,

- множество моментов времени появления поставок,

- спрос деталей со склада цеха для обеспечения нужд производства,

- есть поставка детали на склад цеха;

и - сигнальный уровень и вероятность дефицита (рассчитываются в процессе эксперимента).

Очевидно, что поведение запасов должно описываться в вероятностных категориях, определение которых возможно только при наличии статистических данных о движении материальных ресурсов. На­копленная статистика позволяет выявить закономерности про­цессов поступления, спроса и потребления материальных ресурсов, что позволит впоследствии определить сигнальный уровень склада – такое состояние склада, когда необходимо подать заявку на новую поставку не допуская, в то же время, избыточного количества хранимых на складе материальных ресурсов. Под спросом в таких системах следует понимать сумму таких составляющих, как фактический расход на производство, брак, неудовлетворенный спрос. Найденные закономерности имеют как практическую, так и теоретическую ценность, в частности, для построения адек­ватной имитационной или математической модели системы уп­равления запасами, которую можно использовать при прогнози­ровании и оперативном управлении запасами.

Пусть, в результате анализа накопленных статистических данных, было установлено, что параметры и есть эргодические, стационарные в широком смысле случайные процессы, с распределением Гаусса и функцией автокорреляции вида (1):

(1)

Параметр представляет собой некоторую величину, значение которой в каждый момент времени соответствует суммарному спросу в этот же момент времени со складов А и Б.

Аналогичным образом описываются состояния складов А и Б с той лишь разницей, что поставки и никак не связаны между собой, в отличие от параметров и , значения которых коррелированны между собой, так как образуют поставку . Имитационная модель должна определять значение сигнальных уровней , для каждого из трех складов.

При поступлении спроса в момент времени состояние склада уменьшается на величину этого спроса. При достижении состоянием склада некоторого уровня - сигнального уровня - вырабатывается запрос на поставку. Через случайное время партия размером поступит на склад и увеличит его состояние. Сигнальный уровень предназначен для управления процессом пополнения содержимого склада. В процессе функционирования склада возможна ситуация дефицита, когда состояние склада может стать отрицательным (в математическом смысле). Это возможно в том случае, если в процессе потребления содержимое склада будет исчерпано, а поставка партии деталей не произошла. Для управления состоянием склада будет использован параметр - вероятность дефицита. Система должна быть построена и должна работать так, чтобы избежать дефицита.

С точки зрения экономической сущности задачи сигнальный уровень должен быть ограничен некоторым интервалом

где и - соответственно, минимально допустимое и максимально допустимое состояние -го склада. Интервал должен быть как можно меньше. Это объясняется тем, что уровень должен быть устремлен к нулю, так как он определяет объемы материальных ценностей, не задействованные в процессе производства, то есть характеризуют уровень пролеживающих оборотных средств. В то же время, для того, чтобы обеспечить бездефицитное функционирование склада, уровень должен быть устремлен к бесконечности. Таким образом, требуется определить сигнальный уровень склада цеха, такой, чтобы не допускать дефицита на складе и, в тоже время, не допускать избытка хранимого на складе цеха сырья. В литературе [3, 4, 5, 7] описаны различные подходы к определению оптимальных в некотором смысле параметров функционирования склада. В [3] описывается используемый ниже способ определения сигнального уровня и вероятности дефицита .

Сигнальный уровень как параметр, зависящий от случайных явлений , носит так же случайный характер. Поэтому для него справедливо понятие доверительного интервала с границами

,

где коэффициент определяет размер доверительного интервала. Исходя из того, что для интервала известно одно значение =0, можно заключить, что

(2)

Для определения среднеквадратического отклонения состояния склада воспользуемся формулой

,

где - количество поставок за время от до , - количество спросов за время от до .

В этом выражении все входящие в него величины являются случайными, и каждое слагаемое есть сумма случайного числа случайных величин. Для суммы случайного числа случайных величин [6]:

математическое ожидание определяется выражением

а среднеквадратическое отклонение

Поставив последнее выражение в (2) получим:

(3)

Для генерирования случайных процессов в имитационном эксперименте применялся метод перестановки интервалов [1,2]. Этот метод позволяет генерировать случайные процессы, обладающие широким по виду спектром автокорреляционных функций, а так же позволяет генерировать взаимнокоррелированные случайные процессы. В результате моделирования были определены оптимальные для заданных условий параметры работы склада цеха. Главный из них – сигнальный уровень - позволяет улучшить качество функционирования системы. Поскольку формула для вычисления не рекуррентная, то и длительность установки сигнального уровня не зависит от начального значения. В результате моделирования было доказано, что система функционирует эффективно: на складе не наблюдается дефицит, как нет и избытка хранящегося на складе сырья.

Следует обратить внимание на взаимные корреляционные характеристики двух процессов – спроса и . Понятно, что эти два процесса протекают в связке друг с другом, и между ними должна быть корреляционная зависимость. Корреляционная зависимость тем сильней, чем более эффективно выбраны параметры функционирования склада. Применяя метод генерирования взаимнокоррелированных процессов [2], можно значительно упростить модель и снизить время, затрачиваемое на ее реализацию и проведение эксперимента. В результате модель преобразуется к виду (рисунок 2):

Рисунок 2 - Упрощенная модель производственной системы.

При моделировании такой системы нет необходимости высчитывать параметры складов А и Б и учитывать оказывающие на них влияние случайные процессы. Обладая данными о характере взаимной корреляционной зависимости и , можно легко ее воспроизвести и получить те же самые параметры функционирования склада цеха, как и при полном эксперименте. Эксперимент с упрощенной структурой модели, проведенный при тех же исходных данных, дал точно такие же результаты, что и эксперимент со структурой модели, наиболее полно отражающей структуру реальной системы. Рисунок 3 отражает взаимную корреляционную зависимость двух случайных процессов и .

Рисунок 3 - Взаимная корреляционная функция процессов и

В результате проведенных экспериментов при одних и тех же исходных данных, но с разными структурами модели, были получены графики, при сравнении которых обнаруживается, что время на установку сигнального уровня после замены моделей двух складов генератором взаимнокоррелированных случайных процессов, осуществляющих генерирование методом перестановки интервалов, не изменилось. На установку в том и в другом случае затрачивается приблизительно 40 тактов работы системы. Не изменилось и установившееся значение. В первом случае , после замены двух складов генератором установившееся значение сигнального уровня для склада цеха . Визуальная оценка гистограммы состояния склада цеха так же свидетельствует о том, что упрощение структуры модели системы не повлияла значительно на функционирование склада цеха. Это позволяет говорить о том, что замена моделей двух складов генератором взаимнокоррелированных случайных процессов позволила сократить время, затрачиваемое на реализацию модели и упростить моделирование.

Таким образом, в результате имитационного эксперимента с применением метода перестановки интервалов были получены параметры системы, обеспечивающие максимальную эффективность ее функционирования при заданных условиях. Кроме того, применение метода генерирования взаимнокоррелированных случайных процессов, основанного на методе перестановки интервалов, позволило значительно упростить модель и получить те же самые результаты, что и при эксперименте с более полной и соответствующей производственной системе моделью. Проведение экспериментов позволит снизить затраты, связанные с проектированием производства или его оптимизацией, а так же позволит повысить качество результатов и принимаемых впоследствии решений. Всё это, в конечном итоге, положительно скажется на эффективности производства.

ЛИТЕРАТУРА

1.  , Петров взаимно-коррелированных случайных процессов методом перестановки интервалов. Информационные и телекоммуникационные системы и технологии/Под ред. канд. техн. наук, д-ра экон. наук, проф. , д-ра техн. наук, проф. : Труды междунар. конф. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 20с.

2.  , О методе генерирования случайных процессов с заданными динамическими свойствами. Информационные и математические технологии в науке и управлении// Труды XII Байкальской Всероссийской конференции «информационные и математические технологии в науке и управлении» Часть I. – Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 20с. стр. 86-90.

3.  Петров систем. Учебное пособие. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ. – 20с., ил.

4.  , Управление запасами. – М.: Наука,1969.-344с.

5.  Сакович управления запасами. – Минск: Наука и техника,1986.-318с.,ил.

6.  Феллеp В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1.- М.: ИИЛ, 19с.

7.  Хедли Дж., Анализ систем управления запасами. – М.: Наука, 19с.