МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
Функциональный анализ
Направление подготовки
010500 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем
Профиль подготовки
Параллельное программирование
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов,
2011 год
1. Цели освоения дисциплины.
Целями освоения дисциплины «Функциональный анализ» являются:
а) знакомство с основными понятиями и фактами, встречающимися в функциональном анализе;
б) освоение классических способов исследования свойств операторов, множеств и пространств;
в) знакомство с примерами применения методов функционального анализа в различных математических моделях;
г) выработка навыков использования полученных знаний в исследовательской и прикладной деятельности;
д) подготовка студентов к освоению дисциплин, изучаемых на старших курсах;
е) выработка способности приобретать новые и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Профессиональный цикл. Базовая часть» ФГОС-3.
Для изучения дисциплины «Функциональный анализ» необходимы компетенции, сформированные у обучающихся в результате изучения дисциплин «Математический анализ», «Алгебра и теория чисел», «Геометрия и топология», «Дифференциальные уравнения». Важное значение для успешного освоения дисциплины «Функциональный анализ» имеет владение студентами основными фактами теории дифференциального и интегрального исчислений, алгебры и аналитической геометрии.
Полученные в курсе «Функциональный анализ» знания необходимы при практическом использовании математического аппарата функционального анализа.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Функциональный анализ».
В результате освоения данной дисциплины у обучающихся формируются следующие общекультурные компетенции:
ОК-6 – исследовательские навыки;
ОК-7 – способность учиться;
ОК-10 – фундаментальная подготовка по основам профессиональных знаний;
ОК-13 – базовые знания в различных областях;
ОК-14 – способность к анализу и синтезу.
А так же в результате освоения данной дисциплины у обучающихся формируются следующие профессиональные компетенции:
ПК-1 – определение общих форм, закономерностей, инструментальных средств для данной дисциплины;
ПК-2 – умение понять поставленную задачу;
ПК-3 – умение формулировать результат;
ПК-4 – умение строго доказывать математическое утверждение;
ПК-5 – умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать математически точный результат;
ПК-6 – умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата;
ПК-7 – умение грамотно пользоваться языком предметной области;
ПК-8 – умение ориентироваться в постановках задач;
ПК-9 – знание корректных постановок классических задач;
ПК-10 – понимание корректности постановок задач;
ПК-14 – контекстная обработка информации;
ПК-15 – способность передавать результат проведенных физико-математических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной области изучавшегося явления;
ПК-16 – выделение главных смысловых аспектов в доказательствах.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
•Знать: базовые знания в различных областях функционального анализа, в том числе, основные понятия и факты, содержащиеся в курсе «Функциональный анализ».
•Уметь: понять поставленную задачу; строго доказывать математические утверждения; грамотно пользоваться языком данной предметной области; применять на практике методы решения задач, возникающих в прикладных вопросах, связанных с математическими модулями, которые описываются методами функционального анализа.
•Владеть современными методами исследования различных проблем, связанных с приложениями, навыками решения задач функционального анализа.
4. Структура и содержание дисциплины «Функциональный анализ».
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, т. е. 144 часа.
№ п/п | Раздел дисциплины | Семестр | Неделя семестра | Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) | Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Формы промежуточной аттестации (по семестрам) | |||
лекции | лабораторные | практические | сам. работа | |||||
1 | Теория метрических пространств. | 5 | 1-3 | 12 | 6 | Контрольная работа (8 неделя) | ||
2 | Теория нормированных пространств. Линейные ограниченные операторы. | 5 | 4-7 | 16 | 8 | Контрольная работа (8 неделя) | ||
3 | Линейные функционалы. | 5 | 8-9 | 8 | 4 | Контрольная работа (8 неделя) | ||
4 | Компактность метрических пространств. | 5 | 10-12 | 12 | 6 | Контрольная работа (14 неделя) | ||
5 | Теория гильбертовых пространств. | 5 | 13-15 | 12 | 6 | Контрольная работа (14 неделя) | ||
6 | Вполне непрерывные операторы. | 5 | 16-18 | 12 | 6 | |||
Промежуточная аттестация | 5 | Экзамен | ||||||
ИТОГО | 72 | 36 | 36 |
Раздел 1.1. Теория метрических пространств.
Метрические пространства; сходящаяся последовательность; свойства сходящихся последовательностей; открытые и замкнутые множества, их свойства; полнота метрических пространств; теорема Хаусдорфа о пополнении (без доказательства); лемма о вложенных шарах; множества первой и второй категории; теорема Бэра о категориях; принцип сжимающих отображений.
Раздел 2.1. Теория нормированных пространств. Линейные ограниченные операторы.
Линейные нормированные пространства; линейные ограниченные операторы; свойства линейных ограниченных операторов; норма оператора, теорема о вычислении нормы оператора; пространство линейных ограниченных операторов, его полнота; теорема Банаха-Штейнгауза; обратный оператор; его свойства; теорема Банаха об обратном операторе.
Раздел 2.2. Линейные функционалы.
Линейный функционал; теорема о непрерывном функционале; теорема Хана-Банаха; 3 следствия из теоремы Хана-Банаха; понятие сопряженного оператора, его свойства; слабая сходимость; её свойства.
Раздел 2.3. Компактность метрических пространств.
Предкомпактные и компактные множества; компактность метрических пространств; эпсилон-сеть множества; критерий предкомпактности (теорема Хаусдорфа); эквивалентные нормы; теорема о связи компактности и конечномерности; критерий предкомпактности в C[a, b] (теорема Арцела).
Раздел 3.1. Теория гильбертовых пространств.
Гильбертово пространство; свойства скалярного произведения; неравенство Коши-Буняковского; теорема о проекции; операторы проектирования; ортонормированные системы; экстремальное свойство частных сумм ряда Фурье; полные и замкнутые системы; существование ортонормированного базиса в Н; ортогонализация по Шмидту; теорема Рисса-Фишера; теорема об общем виде функционала в Н.
Раздел 3.2. Вполне непрерывные операторы.
Вполне непрерывные операторы; свойства вполне непрерывных операторов; спектральная теория вполне непрерывных операторов.
5. Образовательные технологии.
Лекции.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Функциональный анализ».
а) основная литература:
1. , Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009;
, Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976.
2. , И Краткий курс функционального анализа. – СПб. ; М.: Краснодар : Лань, 2009;
, И Краткий курс функционального анализа. – М.: Высшая школа, 1982.
3. , , Сборник задач по функциональному анализу. – Саратов: Изд-во СГУ, 2009;
, , Функциональный анализ в примерах и задачах (с решениями). – Саратов: Изд-во СГУ, 2000;
Функциональный анализ в примерах и задачах. / Под ред. . – Саратов: Изд-во СГУ, 1998.
б) дополнительная литература:
1. Теория операторов. – М.: Дрофа, 2004. – 384 с.
2. Функциональный анализ. – М. :Физматлит, 2002. – 488 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
1. Книги по математике. – 2010 http://eqworld. *****/ru/library/mathematics
2. Электронная библиотека механико-математического факультета Московского государственного университета – 2010 http://lib. *****/
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Функциональный анализ».
Дополнительное материально-техническое обеспечение данной дисциплины не требуется.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению «010500 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и профилю подготовки «Параллельное программирование».
Автор | _______________ |
Программа одобрена на заседании кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики от 18 января 2011 года, протокол
Зав. кафедрой дифференциальных | ___________ |
|
Декан механико-математического | ___________ |
|
Декан факультета КНИТ к. ф.-м. н. | ___________ |
|
