Рациональные уравнения

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

На вступительных экзаменах при решении уравнений часть абитуриентов, неплохо справляясь с математическими преобразованиями уравнений, зачастую не понимает конечной цели этих преобразований. В связи с этим напомним основные понятия, касающиеся уравнений.

Два математических выражения, соединенные знаком равенства (=), образуют равенство. Если это числовое равенство, оно может быть истинным или ложным.

Например, 9+16=25 - истинное равенство, а 7=8 - ложное.

Если равенство содержит величины, обозначенные буквами, то оно может быть истинным при одних допустимых значениях, входящих в него букв, и ложным - при других.

Если равенство является истинным при всех допустимых значениях, входящих в него букв, оно называется тождеством.

Например, равенство есть тождество при всех .

Если же равенство, содержащее переменную величину, (которую обычно обозначают одной из последних букв латинского алфавита, например x) является истинным не при всех допустимых значениях этой переменной, оно называется уравнением (с одним неизвестным).

Например, равенство 2х+1=3 является уравнением. Оно истинно лишь при одном значении х=1.

Решением, или корнем уравнения, называется всякое значение неизвестного х, при подстановке которого в обе части уравнения получается истинное числовое равенство.

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Областью допустимых значений (для краткости ОДЗ) уравнения называется множество всех значений неизвестного х, при которых математические выражения, входящие в обе части уравнения, имеют смысл, (т. е. все те значения х, при которых можно выполнить действия, указанные в этих выражениях).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Решая уравнение, мы применяем к нему некоторые преобразования: упрощаем выражения, входящие в уравнение, переносим слагаемые из одной части равенства в другую, умножаем или делим обе части уравнения на выражение, содержащее х, возводим обе части уравнения в степень, логарифмируем и т. п., т. е. так или иначе заменяем исходное уравнение другим.

Если исходное и преобразованное уравнения имеют одни и те же корни, то они называются равносильными. В частности, уравнения, которые не имеют корней, также считаются равносильными.

Два основных свойства уравнений:

1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части равенства в другую, сменив его знак на противоположный, то получится уравнение равносильное исходному.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число (или даже выражение, содержащее х, которое в ОДЗ не обращается в ноль), то новое уравнение будет равносильно исходному.

Конечно, при решении уравнений лучше всего каждый раз переходить к равносильному. Однако это удается далеко не всегда. Если все корни первого уравнения являются корнями второго, то второе уравнение называется следствием первого.

Если в результате преобразований мы заменим исходное уравнение следствием, то при решении нового уравнения мы можем получить корни, не являющиеся корнями исходного уравнения, т. е. посторонние корни. Однако, это не страшно, так как от посторонних корней, как правило, можно легко избавиться с помощью проверки.

Таким образом, при решении уравнений мы должны, в первую очередь, следить за тем, чтобы в результате преобразований исходного уравнения не происходила потеря корней, т. е. чтобы новое уравнение было следствием исходного или равносильно ему.

В заключение остановимся на классификации уравнений. Если выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, составлены лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень, то уравнение называется рациональным. Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее х. К целым уравнением относятся, например, линейные и квадратные уравнения. Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее х, то уравнение называется дробно-рациональным.

Линейные уравнения

Уравнением первой степени с одним неизвестным, или линейным уравнением, называется уравнение вида ax+b=0. При оно имеет единственное решение

Пример 1.

Решить уравнение: .

Решение. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в это уравнение. Мы получим:

Раскроем скобки и приведем подобные в обеих частях равенства: .

Принесем все члены, содержащие х в левую часть равенства, а все члены, не содержащие х - в правую, и приведем подобные:

Последнее уравнение равносильно исходному. Его корень х=3.

Ответ: 3

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называется система двух уравнений вида

где - произвольные действительные числа.

Решением системы называется пара действительных чисел удовлетворяющих каждому из уравнений данной системы. Другими словами, одно решение системы - это совокупность двух чисел таких, что, если в исходную систему вместо неизвестного х подставить число , а вместо неизвестного у - число у0, то мы получим два истинных числовых равенства.

Решить систему уравнений - это значит найти все ее решения.

Две системы уравнений называются равносильными , если все решения каждой из них являются решениями и другой.

Укажем некоторые преобразования, после выполнения которых новая система равносильна исходной.

1. Если любое уравнение системы заменить равносильным, то получится равносильная система.

2. Если одно из уравнений системы заменить суммой или разностью исходных уравнений, оставив другое уравнение без изменения, то получится равносильная система.

3. Если из одного уравнения системы выразить какое-либо неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение, то новое уравнение вместе с первым образуют систему равносильную данной.

Пример 2.

Решить систему:

В ответе указать значение х, удовлетворяющее системе.

Решение. Коэффициент при х во втором уравнении втрое больше, чем в первом. Умножим обе части первого уравнения на 3. Получим систему равносильную данной:

Коэффициенты при х стали одинаковыми. Вычтем из 2-го уравнения первое. Мы получим:

10y =20 или y =2.

Подставив 2 вместо y в одно из уравнений исходной системы, найдем, что x=8. Решение системы: (8;2).

Ответ: 8

Пример 3.

Решить систему:

(1)

В ответе указать сумму значений x и y, удовлетворяющих системе.

Решение. Выразив из второго уравнения одно из неизвестных, например x через y, мы получим:

(2)

Подставим это выражение для x в первое уравнение:

(3)

Система уравнений (2) и (3) равносильна системе (1). Из уравнения (3) найдем, что y=1 Подставив y=1 в (2), найдем x =4. Решение системы: (4;1).

Ответ: 5

Квадратные уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида

(1)

где а, b и с - произвольные действительные числа, причем

Если в квадратном уравнении, хотя бы один из коэффициентов bили с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Следовательно, неполные квадратные уравнения могут быть таких видов:

1) ax2+c=0

2)ax2 +bx=0

(2)

Если в уравнении (1) a=1, то уравнение называется приведенным. Его обычно записывают в виде:

Рассмотрим решение квадратных уравнений.

1. Чтобы решить неполное квадратное уравнение вида

перенесем его свободный член с в правую часть и разделим обе части уравнения на а. Мы получим уравнение вида

(3)

которое равносильно исходному.

а) Если с=0, то уравнение (3) имеет единственный корень x =0.

б) Если то уравнение (3) имеет два корня:

и .

в) Если , то уравнение (3) действительных корней не имеет.

2. Для решения неполного квадратного уравнения вида

при разложим его левую часть на множители. Мы получим, что

(4)

Произведение может быть равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю:

или .

Следовательно корнями уравнения (4) являются значения

и .

Неполное квадратное уравнение при всегда имеет два корня.

3. Корни квадратного уравнения общего вида (1) вычисляются по формуле:

(5)

Выражение D = b2 - 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения.

Из (5) следует, что:

а) еслиD>0, то уравнение (1) имеет два различных действительных корня;

б) если D=0, то уравнение (1) имеет один корень

в) если D < 0, то уравнение (1) действительных корней не имеет.

Заметим здесь, что если в квадратном уравнении (1) коэффициент b - число четное, т. е. уравнение имеет вид

(6)

то корни квадратного уравнения можно вычислить по формуле:

4. Корни приведенного квадратного уравнения можно вычислять по формуле:

Их также можно находить с помощью теоремы Виета.

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Пример 4.

Решите уравнение: . В ответе укажите больший корень уравнения.

Решение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:

откуда .

Ответ: 1,5

Пример 5.

Решите уравнение: . В ответе укажите меньший корень уравнения.

Решение. Вынесемxза скобку: Следовательно, ,

Ответ: 0

Пример 6.

Решите уравнение: . В ответе укажите наименьший корень уравнения.

Решение. Введем новую переменную

(7)

Тогда исходное уравнение примет вид:

Найдем его корни:

Подставляя найденные значения y в формулу замены (6), получим два уравнения:

x2-2x-8=0 и x2-2x-3=0.

Корни этих уравнений легко угадать, используя теорему Виета. Корни первого уравнения: x1= 4, x2= -2. Корни второго уравнения: x1= 3, x2= -1. Решение исходного уравнения: x1= 4, x2= -2, x3= 3, x4= -1.

Ответ: -2

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

Абсолютная величина, или модуль, числа a по определению равна:

а) самому этому числу, если оно положительно;

б) нулю, если оно равно нулю;

в) противоположному числу (-а), если само число а отрицательно.

Абсолютная величина числа а обозначается символом . С помощью этого обозначения определение абсолютной величины можно записать в виде:

С точки зрения геометрии, есть длина отрезка числовой оси от точки, изображающей число а, до точки О, изображающей число ноль.

Пример 7.

Решите уравнение: В ответе укажите наибольший корень уравнения.

Решение. Отметим на числовой оси те значения х, при которых каждое из выражений, стоящих под знаком модуля, обращается в нуль: это точки x1 =1 и x2 =3/2. Таким образом, вся числовая ось разбивается на три интервала:

Рассмотрим по очереди каждую из этих областей.

а) Если х< 1, то (х-1)< 0, 2х-3< 0 и уравнение примет вид: .

Решение последнего уравнения есть .

б) Если то исходное уравнение запишется в виде: (x-1)-(2x-3)=2.

Решение этого уравнения: х=0. Однако точка х=0 не принадлежит рассматриваемому промежутку. Поэтому при исходное уравнение корней не имеет.

в) Наконец, если то исходное уравнение запишется так:

откуда х = 2.

Таким образом, решения исходного уравнения суть

Ответ: 2

Пример 8.

Решите уравнение:

(8)

В ответе укажите наибольший корень уравнения.

Решение. Найдем точки, в которых квадратный трехчлен x2-4x+2 обращается в ноль:

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:

а) В первом и третьем промежутке выражение , и исходное уравнение примет вид:

откуда .

Найдем корни этого уравнения:

Первый корень, х1=5, несомненно принадлежит промежутку Чтобы убедиться, что значение не является корнем исходного уравнения, подставим его вместе х в обе части этого уравнения. Левая часть уравнения примет значение:

а правая часть будет равна . Следовательно, значение не удовлетворяет уравнению (8).

Таким образом, при уравнение (8) имеет единственный корень x = 5.

б) При уравнение (8) можно переписать так:

откуда

Найдем корни этого уравнения: Корень х=2 удовлетворяет неравенству а значение нет. Следовательно, при уравнение (8) также имеет один корень х=2.

Таким образом, решения уравнения (8) имеют вид: х1=2, х2=5.

Ответ: 5

Дробно-рациональные уравнения

Решение дробно-рационального уравнения сводится в конечном итоге к замене исходного уравнения целым уравнением, которое равносильно исходному уравнению или является его следствием.

При решении дробного уравнения целесообразно поступать следующим образом:

1) определить область допустимых значений переменной х (ОДЗ);

2) найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель и привести подобные;

4) решить получившееся целое уравнение.

Описанные преобразования не сужают ОДЗ переменной х, но могут ее расширить. Следовательно, в результате указанных преобразований возможно появление посторонних корней, (но не их потеря). Получив решение преобразованного уравнения, следует отбросить те его корни, которые обращают в нуль общий знаменатель исходного уравнения.

Пример 9.

Решите уравнение:

(9)

Решение. Найдем ОДЗ уравнения. Поскольку знаменатели дробей не могут обращаться в ноль, то и Умножим теперь обе части уравнения на общий знаменатель, который равен (х+1)(х+3). Мы получим уравнение: