Нахождение безусловного экстремума функции нескольких переменных градиентными методами (стр. 3 )

Вычисляем матрицу Гессе.

H =

Находим a0:

Находим X1 по формуле:

Результаты вычисления пунктов 1 и 2 совпадают, т. к. минимизируемая функция - квадратичная.

3.   Находим экстремум функции , используя метод золотого сечения для одномерного поиска экстремума.

3.1. Ищется начальный отрезок

Чтобы сразу же “не проскочить” экстремум, будем выбирать a1 малым. Пусть

увеличиваем шаг, полагая

функция начинает возрастать.

Полагая получаем искомый отрезок для поиска a:

Вычисляем (При этом имеем в виду, что это значение a в интервале поиска ее оптимума!).

Находим значение функции при двух значениях a:

т. к. полагаем

Отрезок, на котором ищется оптимальное значение a, сузился с [0, 0,03] до [0,0114, 0,03]

Продолжая процедуру, получим величину , и найдем новое значение вектора X.

4.   Проведем вычисления, определяя градиенты в точках и т. д. численным способом.

4.1. Вычисляем при d = 0,001

Таким образом получаем

Затем проводим поиск экстремума с помощью метода золотого сечения для одномерной оптимизации.

Результаты вычислений сводим в таблицу 2.1. а)

Таблица 2.1.

N итерации						a
1	2	2	4	100	100	0,02
2	1,92	0	3,84	0	3,84	0,5
3	0	0	0	0	0	0

Аналогичные таблицы строятся для способов б) и в).

Пример выполнения работы в MATHCADе

.

Задание.

Найти безусловный экстремум функции двух переменных методом наискорейшего спуска тремя способами:

а) используя аналитическое выражение для определения шага a;

б) применяя векторное уравнение для той же цели;

Начальные значения: X1=10; X2= - 10.

Результаты вычислений свести в таблицу вида:

N итерации						a

При вычислении применять следующие значения:

Нахождение экстремума с помощью аналитического выражения для определения шага a.

Листинг фрагмента программы

Результаты работы программы

N ите-рации
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13	10 -0.792 1.036 -0.082 0.107 -8.504e-3 0.011 -8.809e-4 1.152e-3 -9.126e-5 1.193e-4 -9.453e-6 1.236e-5 -9.793e-7	10 6.115 1.036 0.633 0.107 0.066 0.011 6.797e-3 1.152e-3 7.041e-4 1.193e-4 7.294e-5 1.236e-5 7.556e-6	500 -39.623 51.795 -4.105 5.365 -0.425 0.556 -0.044 0.058 -4.563e-3 5.964e-3 -4.727e-4 6.179e-4	180 110.065 18.646 11.402 1.932 1.181 0.2 0.122 0.021 0.013 2.147e-3 1.313e-3 2.224e-4	531.413 116.98 55.049 12.118 5.703 1.255 0.591 0.13 0.061 0.013 6.339e-3 1.395e-3 6.567e-4 6.567e-4	0.022 0.046 0.022 0.046 0.022 0.046 0.022 0.046 0.022 0.046 0.022 0.046 0.022

График функции

Нахождение экстремума с помощью векторного уравнения

Листинг фрагмента программы

Результаты работы программы

N ите-рации
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13	10 -0.792 1.036 -0.082 0.107 -8.504e-3 0.011 -8.809e-4 1.152e-3 -9.126e-5 1.193e-4 -9.453e-6 1.236e-5 -9.793e-7	10 6.115 1.036 0.633 0.107 0.066 0.011 6.797e-3 1.152e-3 7.041e-4 1.193e-4 7.294e-5 1.236e-5 7.556e-6	500 -39.623 51.795 -4.105 5.365 -0.425 0.556 -0.044 0.058 -4.563e-3 5.964e-3 -4.727e-4 6.179e-4	180 110.065 18.646 11.402 1.932 1.181 0.2 0.122 0.021 0.013 2.147e-3 1.313e-3 2.224e-4	531.413 116.98 55.049 12.118 5.703 1.255 0.591 0.13 0.061 0.013 6.339e-3 1.395e-3 6.567e-4 6.567e-4	11.471 5.398 1.188 0.559 0.123 0.058 0.013 6e-3 1.321e-3 6.216e-4 1.368e-4 6.439e-5 1.417e-5

График функции

Заключение:

Используя различные методы наискорейшего спуска, можно убедиться, что количество итераций значительно меньше, чем при использовании градиентных методов.

Требования к оформлению отчета:

Отчет должен содержать:

  Название работы.

  Цель работы.

  Задание на работу.

  Листинг программы (исходный текст).

  Результаты работы, представляемые в виде таблиц 2.1.

  Выводы об эффективности метода наискорейшего спуска по сравнению с методами, рассмотренными в работе №1.

Вопросы для самопроверки:

  Почему рассмотренный в данной лабораторной работе метод носит название “метод наискорейшего спуска”?

  В чем заключается аналитический метод определения оптимальной величины шага a* ?

  Какой параметр оптимизируется при одномерном поиске экстремума?

  Почему должны совпадать результаты, полученные при использовании аналитического метода определения оптимальной величины шага a* с вычисленным ?

  Какой критерий должен применяться для окончания итеративной процедуры поиска безусловного экстремума методом наискорейшего спуска?

Литература:

1.  , , Методы оптимизации.- М.: Наука, 1978 г, - 351 с.

2.   Прикладное нелинейное программирование. - М.: Мир, 1975 г. 534 с.

3.   Нелинейное программирование. - М.: Мир, 1982 гс.