ОЛИМПИАДА 2013
Задача 1
Пусть В – некоторая заданная матрица размера n n. Найдите матрицу X из
уравнения AX + XA = B, если известно, что A2 = 2A + 3E.
Решение. Умножив уравнение для матрицы X слева и справа на матрицу A, получим уравнения 
. Вычитая из первого второе и подставляя 
, найдем 
. Сложив полученное уравнение с исходным, придем к уравнению 
. Переписав равенство в виде 
заметим, что 
. Поэтому 
, откуда 
. Заметим, что избавится в этом выражении от матрицы A невозможно, поскольку уравнение имеет бесконечное множество решений.
Ответ: .
Задача 2
Пусть 
Найдите fn(x), если f1(x) = f(x), f2(x) = f(f(x)), … ,
fn(x) = f(f(…(f(x))…)).
Решение. Заметим, что 
поэтому 
. Другими словами, функции 
образуют арифметическую прогрессию с разностью 
. Поэтому 
. Окончательно: 
Ответ:
Задача 3
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: 
.
Решение. 
Ответ: 
Задача 4
Пусть |q|<1. Докажите, что предел последовательности 
существует и найдите его.
Решение. Домножим 
на 
: 
Значит 
при 
Задача 5
Плоскости 
и 
пересекаются по прямой l.
Плоскости 
и 
пересекаются по прямой m. А
прямые l и m пересекаются?
Решение. Если прямые l и m пересекаются, то их точка пересечения удовлетворяет уравнениям всех четырех плоскостей. Следовательно, прямые пересекаются тогда и только тогда, когда система уравнений, составленная из уравнений плоскостей, совместна. Имеем следующую систему уравнений:
Преобразуем ее методом Гаусса:
~ (I+IV®I) 
~
~ (I+II®II) 
~ (I-III®III) 
~
~ 
~
~ (II+III®III) 
~ (11×II+IV®IV) 
~
~ 
~ (III-IV®IV) 
.
Система совместна. Следовательно, прямые l и m пересекаются. Точка пересечения:
М(3; 4; -2).
Задача 6
Сколько действительных корней имеет уравнение? Ответ обосновать, не используя калькулятор и другие электронные средства.
Решение. Исследуем на монотонность функцию
.
Имеем:
.
Критические точки: 
. Значения функции в критических точках:
При x, стремящемся к -∞, функция f(x) стремится к -∞; при x, стремящемся к +∞, f(x) стремится к +∞:
Значит, уравнение имеет 3 действительных корня.
Ответ: 3.
Задача 7
Постройте пример функции двух переменных, определённой и непрерывной на R2, область значений которой совпадает с интервалом (0; 1).
(Область значений не включает оба конца интервала).
Функций, удовлетворяющих указанному условию, существует бесконечное множество.
В качестве примера можно указать на такую: 
