Югорский физико-математический лицей

Задачи, сводящиеся

к квадратичным

Учебно-методическое пособие

Ханты-Мансийск

2008

Задачи, сводящиеся к квадратичным: Учебно-методическое пособие, Ханты-Мансийск: Югорский физико-математический лицей, 28 с.

В пособии рассматриваются задачи с параметрами повышенного уровня сложности, сводящиеся к квадратичным. Подобные задачи часто встречаются на вступительных экзаменах в серьезные вузы и в разделе «С» на ЕГЭ.

Для некоторого класса задач сведение к квадратичным происходит за один шаг (замена переменных и замена начальных условий), для других сведение к классической формулировке - целое искусство, требующее больших усилий и математического изящества.

Сведения о квадратичных функциях и задачи, сводящихся к исследованиям квадратичных функций, можно найдите, например, в [1 – 12].

Пособие предназначено для подготовки к Единому государственному экзамену, вступительным экзаменам в вузы.

Адресовано школьникам старших классов,

абитуриентам, преподавателям.

© , 2008

1. Основные свойства и формулы

Квадратным трехчленом называется выражение вида .

Дискриминантом кавдратного уравнения называется выражение

Выражение называется приведенным квадратным трехчленом.

Выделение «полного квадрата»

2. График квадратного трехчлена – парабола с вершиной в точке

3. График функции пересекается с осью в точке

4. Если , то функция монотонно убывает на интервале и монотонно возрастает на интервале

5. Если , то функция монотонно возрастает на интервале и монотонно убывает на интервале

6. Если , то для любого .

7. Если , то для любого .

8. Парабола симметрична относительно оси

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

9. Корни квадратного уравнения

§  Если , то уравнение не имеет корней;

§  Если , то имеет один корень

§  Если , то два различных корня

10. Графическая интерпретация теоремы о существование корней.

(нет корней)

(один корень)

(два корня)

(нет корней)

(один корень)

(два корня)

11. Теорема Виета.

12. Обратная теорема Виета. Если числа удовлетворяют соотношениям , , то являются корнями приведенного уравнения .

13. Разложении на линейные множители

14. Решение квадратных неравенств и их графическая интерпретация

нет решений

нет решений

15. Корни одного знака, если Оба корня положительны, если . Оба корня отрицательны, если .

16. Используя теорему Виета, можно вычислять некоторые симметрические выражения от корней уравнения, не

находя самих корней. Например: ,

17. Расположение корней квадратного уравнения и их графическая интерпретация

Вопрос: Оба корня больше числа

Вопрос: Оба корня меньше числа

Вопрос: Число находится между корнями

18.

В данном пособии рассматриваются задачи из сборников [1-11] и авторские задачи.
2. Замена переменных

Алгоритм решения:

- сделайте замену переменных;

- переформулируйте условие задачи для новой переменной;

- сведите исходную задачу к классической задаче на квадратичную функцию с новыми условиями и решите ее;

- вернитесь к исходным переменным и запишите ответ.

Некоторые варианты замены переменных:

(при при ), (при при ),

Пример 1. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Комментарии. Пусть Новое условие: При каких значениях параметра уравнение имеет единственное неотрицательное решение?

Ответ:

Пример 2. При каких значениях параметра уравнение не имеет решений?

Комментарии. Пусть Новое условие: При каких значениях параметра уравнение не имеет положительных решений? Уравнение может вообще не иметь решений, а может иметь решения, но не положительные. Ответ:

Пример 3. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Ответ:

Пример 4. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Ответ:

Пример 5. При каких значениях параметра неравенство имеет два различных корня?

Ответ:

Пример 6. При каких значениях параметра неравенство справедливо для всех ?

Ответ:

Пример 7. При каких значениях параметра уравнение имеет решение?

Ответ:

Пример 8. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень?

Комментарии. Пусть Новое условие: При каких значениях параметра уравнение имеет только один корень из промежутка Ответ:

Пример 9. Найдите все значения параметра при которых значения функции неположительны для всех из промежутка

Комментарии. Замена Ответ:

Пример 10. При каких значениях параметра неравенство выполняется для всех ?

Ответ:

Пример 11. При каких значениях параметра уравнение не имеет решений?

Комментарии. Замена Новое условие: При каких значениях параметра уравнение не имеет корней из промежутка Ответ:

Пример 12. При каких значениях параметра уравнение имеет хотя бы одно решение? Ответ:

Пример 13. При каких значениях параметра уравнение не имеет решений?

Ответ:

Пример 14. При каких значениях параметра уравнение имеет решение?

Ответ:

Пример 15. При каких значениях параметра неравенство выполняется для всех

Комментарии.

Замена Ответ:

Пример 16. При каких значениях параметра уравнение имеет решение? Ответ:

Пример 17. Найдите все значения параметра при которых неравенство справедливо для любого Ответ:

Пример 18. Найдите все значения параметра при которых уравнение имеет корни. Ответ:

Пример 19. Найдите все значения параметра при которых неравенство выполняется для всех Ответ:

Пример 20. Найдите все значения параметра при которых уравнение имеет решение. Ответ:

Пример 21. Найдите все значения параметра при которых уравнение имеет решение. Ответ:

Пример 22. Найдите множество значений функции

Комментарии. Замена Новое условие: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке Ответ:

Пример 23. Найдите множество значений функции Ответ:

Пример 24. Найдите множество значений функции Ответ:

Пример 25. При каких значениях уравнение имеет решение?

Комментарии. Замена Новое условие: При каких значениях параметра уравнение имеет хотя бы одно отрицательное решение?

Ответ:

Пример 26. При каких значениях параметра система имеет решение? Ответ:

Пример 27. При каких значениях параметра система имеет единственное решение? Ответ:

Пример 28. Найдите все значения параметра при которых система имеет хотя бы одно решение. Ответ:

Пример 29. При каких значениях параметра уравнение имеет корни.

Ответ: .

Пример 30. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Ответ:

Пример 31. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Комментарии. Замена Новое условие: При каких значениях параметра уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлетвояющее условию

Ответ:

Пример 32. При каких значениях параметра уравнения имеет единственное решение?

Ответ:

Пример 33. При каких значениях параметра уравнения имеет единственное решение?

Ответ:

Пример 34. При каких значениях параметра уравнения имеет единственное решение?

Ответ:

Пример 35. Найдите все значения при которых неравенство выполняется для любых

Комментарии. Если принимают все возможные значения, то принимает все значения от до Замена Новое условие: При каких значениях неравенство выполняется для всех на отрезке

Ответ:

Пример 36. Найдите все значения параметра при которых для каждого из промежутка выражение не равно выражению ?

Комментарии. Замена Новое условие: При каких значениях параметра корни уравнения не принадлежат отрезку Ответ:

Пример 37. Найдите все значения параметра для которых при всех в интервале существуют решения уравнения

Комментарии. Замена Так как то и Новое условие: При каких значениях параметра для любого уравнение имеет хотя бы один корень в интервале Ответ:

Пример 38. Найдите все значения параметра для которых неравенство имеет хотя бы одно решение. Ответ:

Пример 39. Найдите все значения параметра для которых неравенство выполняется для всех значений Ответ:

3.  Задачи повышенной сложности

В данный раздел включены задачи, в которых трудности не только технические, но и логические или идейные.

Пример 40. При каких значениях параметра найдутся такие значения что числа образуют арифметическую прогрессию?

Комментарии.

Признак арифметической прогрессии: числа образуют арифметическую прогрессию, если

Из признака арифметической прогрессии получаем: Замена Новое условие: При каких значениях параметра уравнение имеет хотя бы одно решение больше Ответ:

Пример 41. При каких значениях параметра найдутся такие значения что числа образуют арифметическую прогрессию?

Ответ:

Пример 42. Пусть корни уравнения корни уравнения Известно, что образуют арифметическую прогрессию. Найдите Ответ:

Пример 43. При каких значениях параметра множество решений системы содержит отрезок оси ? Ответ:

Пример 44. При каких значениях параметра множество решений системы содержит отрезок оси ? Ответ:

Пример 45. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно решений?

Комментарии. Легко заметить, что Замена: Новое условие: При каких значениях параметра уравнение имеет ровно положительных решений?

Так, как полученное уравнение квадратное, то число может быть равно или Рассмотрев все случаи, можно получить ответ. Ответ: .

Пример 46. Найдите все значения параметра при каждом из которых число решений уравнения равно числу решений уравнения либо оба эти уравнения не имеют решений. Ответ:

Пример 47. При каких значениях параметра наименьшее значение функции на отрезке отрицательно? Ответ:

Пример 48. Найдите точку с наибольшей ординатой, удовлетворяющую системе неравенств

Комментарии. Второе неравенство задает множество точек плоскости, лежащими под графиком параболы Вершины этих парабол имеют координаты и лежат на прямой

Первое неравенство системы задает множество точек плоскости над графиком прямой

Если вершина параболы лежит выше прямой то вершина и будет искомой точкой, а если вершина параболы лежит ниже прямой, то точкой с наибольшей ординатой будет верхняя точка пересечения прямой и параболы.

Прямые и пересекаются в точке Таким образом, если то вершина лежит выше прямой, а

если то ниже. Ответ:

Пример 49. Действительные числа таковы, что ситема имеет единственное решение. При каких значениях произведение принимает наименьшее значение?

Комментарии. Из симметрии системы следует, что если пара - решение, то и пара - тоже решение. Тогда из условия единственности получаем, что

Ответ:

Пример 50. При каких значениях параметра система имеет единственное решение?

Ответ:

Пример 51. Найдите все значения параметра при которых система

имеет ровно два решения?

Комментарии. Решим первое уравнение. Подставим выражение для во второе уравнение. Новое условие: При каких значениях параметра оба корня уравнения больше Ответ:

Пример 52. Найдите все значения параметра при которых для всех выполняется неравенство

Ответ:

Пример 53. При каких значениях параметра функция определена для всех Ответ:

Пример 54. Найдите все значения параметра при которых

Комментарии. Исследуйте зависимость наименьшего значения параболы на отрезке от значения параметра.

Ответ:

Пример 55. Найдите все значения параметра при которых расстояние между вершинами парабол и меньше Ответ:

Пример 56. Найдите все значения параметра при которых система имеет решение.

Комментарии. Из второго уравнения следует, что Новое условие: При каких значениях параметра первое уравнение имеет хотя бы один корень Ответ:

Пример 57. Найдите все значения параметра при которых уравнение имеет только целые корни.

Комментарии. Если то – целое решение.

Если то по теореме Виета

Так как - целые, то числа - тоже целые.

Рассмотрим эти условия:

- целое

- целое где - натуральные числа. Так как должны выполняться оба этих условия, то возможны варианты

Доказательство заканчивается перебором всех претендентов.

При уравнение

При уравнение

При остальных значениях либо дискриминант полученного уравнения отрицательный, либо корни не являются целыми числами. Ответ:

Пример 58. Найдите все значения параметра при которых уравнение имеет только целые корни. Ответ:

Пример 59. При каких значениях параметра уравнение имеет решение.

Комментарии. Замена Так как то при и при Новые задачи:

- При каких значениях параметра существует хотя бы одно неположительное решение уравнения

- При каких значениях параметра существует хотя бы одно неотрицательное решение уравнения

Ответ:

Пример 60. Найдите все значения при каждом из которых числа и лежат в интервалах и

Комментарии. Замена Новое условие: При каких значениях параметра оба числа и лежат в интервалах и

Из свойств параболы следует, что:

- если то Причем Далее, Из свойств монотонности последнее равенство имеет единственное решение.

- если то и условие исходной задачи не выполнено. Ответ:

Пример 61. Найдите все значения при которых система неравенств

выполняется для любых ? Ответ:

Пример 62. Найдите все значения при которых система неравенств

выполняется для любых ? Ответ:

Пример 63. Найдите все значения параметра при которых уравнение имеет на отрезке ровно три корня.

Комментарии. Замена Если то уравнение имеет на отрезке ровно два корня.

Пусть корни уравнения

Исходное уравнение имеет три корня, если:

-

-

-

-

Проверка:

- три корня,

- три корня,

- четыре корня,

- три корня

- один корень. Ответ:

Пример 64. Даны три уравнения, каждое из которых имеет, по крайней мере, один действительный корень: Известно, что:

- корни первого уравнения больше 1,

- все корни первого уравнения являются корнями третьего,

- хотя бы один корень первого уравнения является корнем второго. Найдите если

Комментарии. Пусть корень первого уравнения, Значит второй корень второго уравнения. По теореме Виета Далее, - различные корни третьего уравнения, корни первого уравнения. По теореме Виета Из предыдущего Ответ:

Пример 65. Даны три уравнения, каждое из которых имеет, по крайней мере, один действительный корень: Известно, что:

- любой корень третьего является корнем первого уравнения,

- все корни первого уравнения являются корнями третьего,

- хотя бы один корень второго уравнения является корнем третьего. Найдите если

Ответ:

Пример 66. При каких значениях параметра уравнение имеет решение?

Комментарии. Замена Решим уравнение относительно параметра и получим систему уравнений и неравенств

Из последнего уравнения или

Если то Противоречие. Если то из условия

Ответ:

Пример 67. Пусть наибольший из корней уравнения Найдите наибольшее значение если известно, что

Комментарии. Пусть Тогда Из условия задачи

Отсюда или Таким образом, наибольшее значение равно и достигается при Ответ:

Пример 68. Найдите число целых значений параметра при которых множество решений неравенства

содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии, первым членом которой является число а разность меньше или равна Ответ:

Пример 69. Найдите длину промежутка значений параметра или сумму таких промежутков, если их несколько, при которых среди решений неравенства есть хотя бы одно трехзначное число, но нет ни одного четырехзначного числа. Ответ:

Пример 70. Найдите все значения параметра для которых неравенство выполняется для некоторых значений из промежутка среди которых имеются ровно два целых числа. Ответ:

Пример 71. Найдите все значения параметра для которых неравенство не выполняется ни для одного значения из промежутков или Ответ:

Пример 72. Известно, что и уравнение имеет действительные корни, один из которых больше 1, а другой – меньше -1. Докажите, что

Пример 73. Известно, что и уравнение имеет различные действительные корни, каждый из которых по абсолютной величине больше 1. Докажите, что

Пример 74. При каких значениях параметра система неравенств имеет единственное решение? Ответ:

Пример 75. Найдите все значения параметра при которых уравнение имеет ровно два корня? Ответ:

Пример 76. Найдите все значения параметра при которых в множестве решений неравенства нельзя расположить два отрезка длиной 2 и 5, не имеющие общих точек.

Ответ:

Пример 77. Найдите все значения при каждом из которых числа и являются решениями неравенства Ответ:

Пример 78. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно решений? Ответ:

Пример 79. Найдите все значения параметра при которых уравнение :

1. имеет хотя бы одно решение при

2. имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

Пример 80. Найдите наименьшее из значений для которых существуют числа удовлетворяющие уравнению Ответ:

Пример 81. Найдите наибольшее значение для которого существуют числа удовлетворяющие уравнению Ответ:

Пример 82. При каких значениях параметра существует единственная пара удовлетворяющая уравнению Ответ:

Список дополнительной литературы

1. , Фокин, вступительных экзаменов, Новосибирск: Сиб. Унив. Из-во, 2003

2. , , Розов по математике для поступающих в вузы, - М.: Дрофа, 2002

3. , В, Шикина . Пособие для абитуриентов, - М.: Аспект Пресс, 2002

4. ЕГЭ 2007. Математика. Учебно-тренироваочные материалы для подготовки учащихся. /ФИПИ-М.: Интеллект-Центр, 2007.

5. ЕГЭ. Математика. Контрольно-измерительные материалы: 2008.- М.: Просвещение, СПб.

6. . Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ. ЕГЭ -2008. Математика. М.:ФГУ ФЦТ»

7. Колесникова . Решение сложных задач ЕГЭ. – М.: Айрис-Пресс, 2007

8. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных - М: Экзамен, 2002

9. Родионов . Решение задач с параметрами, - М.: Из-во НЦ ЭНАС, 2006

10. Ткачук абитуриенту - М.: МЦНМО, 2001

11. Шабунин для поступающих в вузы, - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004

12. , Якушев : интенсивный курс подготовки к экзамену, 4-е изд.-М.: Рольф: Айрис-пресс, 1999.

13. Чуваков функция. Учебно-методическое пособие. Х-М.: ЮФМЛ, 2008

Содержание

1. Основные свойства и формулы.. 3

2. Замена переменных. 7

3. Задачи повышенной сложности. 14

Список дополнительной литературы.. 26

Содержание. 27

Учебное издание

Задачи, сводящиеся к квадратичным

Составитель

(*****@***ru)

Югорский физико-математический лицей

г. Ханты-Мансийск, ул. Мира, 151