Теория пределов

Лекция №1.

Теория пределов.

Определение. Число b называется пределом функции f(x) в точке а, если для всех значений х, достаточно близких к а и отличных от а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от b.

Обозначение.

Основные теоремы о пределах.

1.  Предел суммы равен сумме пределов: .

2.  Предел постоянной равен самой постоянной, т. е. предел числа равен самому числу: , где С=const.

3.  Предел произведения равен произведению пределов: .

4.  Предел частного равен частному пределов, если при этом знаменатель имеет смысл:

Основные виды пределов и методы их решения.

1.  Простые пределы, стремящиеся к любому числу, решаются методом подстановки вместо неизвестного того числа, к которому оно стремится.

Пример: ;

2.  Сложные пределы, стремящиеся к любому числу, решаются с помощью формул сокращенного умножения, разложения квадратного трехчлена на множители с последующим сокращением и подстановкой.

Пример: ;

Как отличить второй способ от первого? – Если при подстановке получилось выражение , то всегда решают вторым способом, во всех остальных случаях – первым.

Формулы:

a2-b2=(a-b)(a+b) ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

3.  Пределы, стремящиеся к 0 и содержащие неизвестное в каждом из слагаемых, решаются методом вынесения в числителе и знаменателе неизвестного в наименьшей степени с последующим сокращением и подстановкой.

Пример:

4.  Пределы частного многочленов, стремящиеся к , решаются по формуле

(находишь старший показатель n у неизвестного в числителе, затем находишь старший показатель m у неизвестного в знаменателе, сравниваешь и делаешь вывод о значении предела)

Замечание 1. Степень любого числа считается равной 0.

Замечание 2. Если n=m, значение предела равно частному множителей, стоящих при этих степенях.

Пример: ; ;

5.  Иррациональные пределы: домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к корням ( знак в сопряженном выражении изменяется только между корнями); после домножения применить формулу разности квадратов с последующим сокращением и подстановкой.

Пример: ;

6.  Тригонометрические пределы или пределы с синусом решаются с использованием первого замечательного предела . Кроме этого справедливы формулы, которые доказываются с его помощью: , .

Замечание. Функции тангенса и котангенса следует разложить по формулам . Функцию вида f(x)=yn следует разложить на множители yn=y·y·…·y и применить первый замечательный предел столько раз, каково значение n.

Пример:; ;

7. Натуральные пределы: и .

Для решения необходимо домножить и разделить показатель на тот коэффициент, который находится перед х в скобках.

Пример: ; ;

Практическая работа №1.

1. 13.

2. 14.

3. 15.

4. 16.

5. 17.

6. 18.

7. 19.

8. 20.

9. 21.

10. 22.

11. 23.

12. 24.

Лекция №2

Производные функции.

Определение. Пусть задана функция f(x) на некотором промежутке, х0-это точка этого промежутка, число h=0 такое, что х0+ h также принадлежит этому промежутку. Тогда называют производной функции f(x) в точке х0 и обозначают f’(x0).

Правила дифференцирования.

Пусть u(x) и v(x) дифференцируемые функции.

1.  (u(x)v(x))’=u’(x)v’(x)

2.  (u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)

3.  (Cu(x))’=Cu’(x)

4. 

Таблица производных.

Производная сложной функции.

Назовите вид функции: y=x2, y=2x, .Последняя функция вызвала затруднение: ее нельзя отнести ни к какому известному вам виду функций. Такие функции называют сложными функциями или композициями функций. Они получаются, когда вместо привычного вам аргумента х подставляют какую-нибудь функцию, зависящую от х. Например, пусть , найти f(cosx).

Определение. Пусть f и g – две функции (y=f(x), х=g(t)). Подставив под знак функции y=f(x) вместо аргумента х функцию x=g(t), получим новую функцию y=f(g(t)), в которой аргументом является t. Функцию y=f(g(t)) называют композицией функций g и f ( или сложной функцией), в которой x=g(t) – внутренняя функция, а y=f(x) – внешняя функция.

Обозначение. f(g(x)=(f°g)(x).

Теорема. Пусть задана сложная функция y=f(g(х)), где каждая функция, входящая в композицию, имеет производную. Тогда производную сложной функции находят по формуле y’=f’(g(х))g’(x).

Для того чтобы грамотно пользоваться формулой, следует различать внутреннюю и внешнюю функции, так как сначала производная применяется к внешней функции f(x), а затем к внутренней g(х).

Замечание. Функция корня всегда внешняя; степенная функция y=gn(x) всегда внешняя; тригонометрические y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, показательная y=ax, y=ex и логарифмическая y=lnx, y=logax функции, стоящие в первой степени, всегда внешние; линейная функция y=kx+b всегда внутренняя.

Пример:

y=sin(x2-3); y=ln(4-7x); y=e6x-1; y=51-x; ; ; y=cos2(ln2x)

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f(x) всюду дифференцируема, тогда ее производную можно назвать первой производной данной функции.

Определение. Рассмотрим функцию g(x)=f’(x). Если функция g(x) имеет производную, то эту производную называют второй производной функции f(x) и обозначают f’’(x).

f’’(x)=[f’(x)]’.

Вообще n-ой производной функции f(x) называется производная от производной (n-1) порядка. Обозначается f(n)(x).

Пример: y=sin2x, y(4)-?

Определение. Дифференциалом функции y=f(x) ( или дифференциалом первого порядка) называется произведение производной этой функции f’(x) на произвольное приращение аргумента Δx: dy=f’(x)Δx. Дифференциал аргумента равен приращению аргумента: dx=Δx. Тогда dy=f’(x)dx.

Определение. Дифференциал высших порядков находится по формуле d(n)y=f(n)(x)dxn, где n–искомый порядок.

Карточка

1. Решив эти примеры, вы расшифруете фамилию французского математика, который ввел термин «производная».

Р	y=4tg3x, y’(-)-?
Н	y=3-sin2x, y’()-?
Г	y=, y’(1)-?
А	y=, y’(3)-?
Ж	y=, y’()-?
А	y=, y’(-)-?
Л	y=, y’(1)-?

-1	-5	1	12		2

2.Решив эти примеры, вы узнаете имя и фамилию крупного французского математика, доказавшего многие теоремы о пределах, которыми вы пользуетесь при вычислении производных.

У	y=sin4x, y’( )-?
О	y=sin, y’()-?
Ш	y=cos6x, y’( )-?
Г	y=(2x+3)5, y’(-2)-?
С	y=(x+7)6, y’(-8)-?
Ю	y=(1-5x)7, y’(0)-?
К	y=sin(2x-3), y’()-?
Л	y=cos(-x), y’()-?
Т	y=, y’(0)-?
Е	y=cos(-π), y’(π)-?
Н	y=2x3+sin3x, y’(0)-?
И	y=xsin2x, y’(π)-?

	10	-35	-6	-		3

-	-4	2π

2		6	2π

3.Решите данные примеры и вы узнаете, что сказал Платон одному из желающих поступить в его школу изучать философию, не зная при этом геометрии.

1.	y=, y’()-?
2.	y=, y’(1)-?
3.	y=, y’(2)-?
4.	y=, y’(4)-?
5.	y=, y’(0)-?
6.	y=((x+1)4-2)3, y’(0)-?
7.	y=(+1)5, y’(4)-?
8.	y=, y’(1)-?
9.	y=(7tgx-3ctgx)3, y’()-?

уйди	выйди -6π
из	прочь! 2
тебя	у
есть	нет 0
орудия 12	для 101,25
изучения	философии 960

4. Решив эти примеры, вы узнаете, у кого возникла идея о необходимости создания единой науки, изучающей процессы сохранения и переработки информации управления и контроля, для которой он предложил название «кибернетика», получившее общее признание.

Р	y=x2sinx, y’()-?
И	y=(x+-2)3, y’(1)-?
Е	y=tg23x, y’()-?
В	y=, y’(0)-?
Н	y=x2, y’(1)-?

ln4	0		12	1

5. Решите данные примеры и расшифруйте фамилию персидского и таджикского поэта, математика и философа, который в математическом трактате «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы» дал систематическое изложение решения уравнения до третьей степени включительно.

А	y=sin3x2, y’()-?
М	y=exsinx, y’()-?
Я	y=logx, y’(-1)-?
Х	y=, y’(1)-?
Й	y=5sinx-3cosx, y’()-?

7,5		15ln5	log2e	e

Лекция №3

Исследование функции с помощью производной

Определение. Функция f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности.

Правило нахождения промежутков монотонности:

1.  Вычислить производную данной функции.

2.  Найти точки, в которых производная равна 0 или не существует. Эти точки называются критическими.

3.  Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, в каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются промежутками монотонности.

4.  Исследовать знак производной на каждом интервале. Если на рассматриваемом интервале производная положительная, то функция возрастает на этом интервале; если производная отрицательная, то функция убывает на этом интервале.

Пример: y=x2-4x+1; ;

Определение. Точка х=а называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если имеет место неравенство f(a)>f(x) (f(a)<f(x)) для любого х из некоторой окрестности точки а.

Точки максимума и минимума объединяют названием точки экстремума, а значения функции в этих точках, т. е. максимум и минимум, называют экстремумами функции.

Правило исследования функции на экстремум с помощью первой производной:

1.  Найти производную функции.

2.  Найти все точки, в которых производная равна 0, из области определения функции. Такие точки называются стационарными точками.

3.  Установить знаки производной функции при переходе через стационарные точки. Если знак меняется с + на -, то это точка максимума, если знак меняется с – на +, то это точка минимума.

4.  Вычислить значение функции в каждой экстремальной точке. Это будут экстремумы функции.

Пример: y=x3+3x2+9x-6; y=x3-2x2+3x+1

Правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной:

1.  Найти производную функции.

2.  Приравняв ее к 0, найти действительные корни полученного уравнения.

3.  Найти вторую производную.

4.  Во вторую производную подставляют поочередно все числа, найденные в пункте 2: если при этой подстановке вторая производная окажется положительной, то в этой точке функция имеет минимум; если же вторая производная окажется отрицательной, то функция имеет максимум.

Пример: y=x3-x2+6x; y=sinx+cosx

Известно, что функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [a,b]:

1.  Найти все точки, принадлежащие отрезку [a, b], в которых производная равна 0 и вычислить значение функции в этих точках.

2.  Вычислить f(a) и f(b), т. е. значение функции на концах отрезка.

3.  Сравнить полученные результаты: максимальное из найденных будет наибольшим значением функции, минимальное – наименьшим значением функции.

Пример: на [-6; 8]

Определение. Непрерывная функция вогнута (выпукла), если соединив любые две точки ее графика отрезком, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже (выше) проведенного отрезка.

Правило нахождения интервалов выпуклости функции с помощью второй производной:

1.  Найти производную функции и точки, в которых она равна 0 или не существует.

2.  Определить интервалы, на которые область определения функции разбивается найденными точками.

3.  Установить знаки второй производной в каждом из найденных интервалов: если вторая производная положительная, то кривая на рассматриваемом интервале выпукла; если же вторая производная отрицательная, то кривая на рассматриваемом интервале вогнута.

Пример: y=x4-2x3-36x2-x+7

Определение. Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.

Правило нахождения точек перегиба кривой:

1.  Найти производную функции и точки, в которых она равна 0 или не существует.

2.  Установить знаки второй производной при переходе через найденные точки. Изменение знака второй производной указывает на наличие точки перегиба.

3.  Найти ординаты точек перегиба.

Пример:

Определение. Прямая y=kx+b называется асимптотой графика функции f(x) при , если .

Отсюда

Замечание. Если k=0, то прямая y=b называется горизонтальной асимптотой.

Пусть дана дробно-рациональная функция , числа х1, х2,...,хn - корни уравнения Q(x)=0. Тогда прямые х=х1, х=х2,..., х=хn – вертикальные асимптоты.

Пример:

Схема исследования функции:

1.  Найти область определения функции D(y).

2.  Выяснить, не является ли функция четной или нечетной, проверить на периодичность.

3.  Определить точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.

4.  Найти критические точки.

5.  Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.

6.  Определить промежутки выпуклости.

7.  Найти асимптоты функции.

8.  Используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной линией. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек: их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Пример: ;

Практическая работа №3

1.  Исследовать функцию на монотонность:

а) y=x5+2x3+x; б) y=-x3+3x+1 в) y=x(1+) г)

2. Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной:

а) y=x4-x3-x2+2 б) y=(x-5)ex

3. Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной:

а) y=2x3+6x2-18x+120 б)

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

а) y=x3-3x2+3x+2 на [2;5] б) y=xlnx-x на [;e]

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба:

а) y=(x-1)(x-2)(x-3) б) y=(x-1)4(3x+7) в)

Лекция №4

Неопределенный интеграл

Определение. Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка справедливо равенство: F’(x)=f(x).

Теорема. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+С, где С – любое действительное число.

Определение. Совокупность всех первообразных F(x)+С функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом , где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функции f(x) на некотором промежутке, то = F(x)+С, где С – любое действительное число.

Замечание. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной: отсюда происходит и само название «неопределенный интеграл».

Свойства неопределенного интеграла:

1. =m, m – любое действительное число, не равное 0.

2.

3.

Таблица неопределенных интегралов.

Алгоритм интегрирования методом замены переменной:

1.  Определить, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл.

2.  Определить, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записать эту замену.

3.  Найти дифференциалы обеих частей замены и выразить дифференциал старой переменной через дифференциал новой переменной.

4.  Произвести замену под интегралом.

5.  Найти полученный интеграл по таблице.

6.  В результате произвести обратную замену, т. е. перейти к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.

Пример: ; ; ; ;

Способ интегрирования по частям.

Замечание. При практическом использовании формулы данное подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей, которые обозначают u и dv. Множитель u стараются выбрать так, чтобы u’ было проще, чем u.

Пример:

Практическая работа №4.

1. 7. 13.

2. 8. 14.

3. 9. 15.

4. 10. 16.

5. 11. 17.

6. 12. 18.

Зачет по курсу

«Предел функции. Дифференциальное и интегральное исчисление»

Знания:

1.  Определение левого и правого пределов.

2.  Теорема о существовании предела.

3.  Три теоремы о пределах ( теоремы о сумме, произведении и частном пределов).

4.  Определение бесконечно малой и бесконечно большой.

5.  Определение непрерывной функции.

6.  Определение разрывов первого и второго рода.

7.  Свойства непрерывных функции.

8.  Определение производной функции.

9.  Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.

10.  Необходимое условие непрерывности функции.

11.  Правила дифференцирования.

12.  Таблица производных.

13.  Теоремы о производной сложной и обратной функциях.

14.  Определение возрастающей и убывающей функций.

15.  Достаточные признаки возрастания и убывания функции.

16.  Определение точек максимума и минимума функции.

17.  Необходимое условие экстремума.

18.  Достаточное условие экстремума.

19.  Определение вогнутой и выпуклой функций.

20.  Теорема о выпуклости функции на промежутке.

21.  Определение наклонной и вертикальной асимптот.

22.  Понятие первообразной и теорема о первообразной.

23.  Определение неопределенного интеграла.

24.  5 свойств неопределенного интеграла (производная неопределенного интеграла, о постоянном множителе, интеграл суммы, дифференциал неопределенного интеграла, неопределенный интеграл от дифференциала)

25.  Таблица интегралов.

Умения:

1.  Вычислять предел функции, раскладывая числитель и знаменатель на множители; применяя I и II замечательные пределы; зная предел частного многочленов.

2.  Вычислять производную функцию, в том числе вторую производную и производную сложной функции.

3.  Вычислять неопределенный интеграл, в том числе методом замены переменной и по частям.

Ярославский торгово-экономический техникум

Курс лекций для студентов дневного отделения второго курса:

Дифференциальное и интегральное исчисление

Преподаватель:

Ярославль, 2008г.