ОТВЕТЫ

к олимпиадным заданиям

6 класс.

1. Существуют два примера с точностью до перестановки слагаемых:

1 = 0,32 0,23 0,23 0,22

и

1 = 0,33 0,23 0,22 0,22

2. Ответ. Через 4 минуты.

Разность между скоростями Маши и Васи, когда Маша едет на велосипеде, вдвое

больше, чем разность между скоростями Васи и Маши, когда она едет на самокате.

Поэтому на то, чтобы догнать Машу, Васе потребуется вдвое больше времени, чем она от

него уезжала.

3. Будем считать, что дети прокалывали свои шарики. От этого предположения общее количество проколотых шариков не изменится. Тогда, когда дети пришли на праздник, у каждого мальчика будет по 3 = 2 5 шарика, и у каждой девочки будет по 3 = 1 4 шарика. То есть у каждого из детей будет по 3 шарика. Но 100 на 3 не делится, поэтому у всех детей не могло остаться ровно 100 шариков.

4. Ответ. Не могли.

Рассмотрим двух шестиклассников, стоящих рядом. Про карточки, которые правый

из них (П) получил от левого (Л), они дали разные ответы. Значит, один из них говорит

правду, а другой – лжет. Пусть следующий по кругу за П – шестиклассник К. Тогда в паре

П – К также один говорит правду, а другой – лжет. И так далее. Значит, говорящие правду

и ложь – чередуются. Поэтому их должно быть четное количество.

7 класс

1. Ответ. Например, 99, 100 и 101.

Этот пример можно получить, заметив, что = 9999

Замечание. Кроме этого, существует ровно один другой пример:

504, 505, 506.

2. Ответ. 24 ученика.

Пусть в шахматный кружок ходит x ребят, тогда в него не ходит x2 ребят. Итак, всего в классе x3 ребят, и количество учеников в классе делится на 3. Аналогично, пусть в шашечный кружок ходит (y) ребят, тогда в него не ходит (y3) ребят. Итак, всего в классе (y4) ребят, и количество учеников в классе делится на (4).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Число учеников в классе делится и на 3, и на 4, то есть оно делится на 12.

Единственное подходящее число, большее 20 и меньшее 30, это 24.

3. Ответ. Вася.

После каждого забега разность количества конфет, полученных любыми двумя из присутствовавших на уроке школьников, делится на 3 (эта разность равна 0 или 3). Значит, и в конце четверти разность количеств конфет, полученных любыми двумя из посетивших все уроки физкультуры школьников, делится на 3. А из данных чисел 29, 32, 37 разность, делящуюся на 3, дают только числа 29 и 32. Значит, пропустил урок тот школьник, который заработал 37 конфет.

4. Ответ. Не могли.

Рассмотрим любого из сидящих за столом. Он изменил ответ после того, как отдал

одну карточку и получил другую. Поэтому вне зависимости от того, является он рыцарем

или лжецом, он отдал карточку одного цвета, а получил другого. Итак, цвета переданных

карточек чередуются, и поэтому их количество должно быть четным. Однако 11 – число

нечетное, поэтому описанная в условии ситуация невозможна.

8 класс.

Задание №1. Сумма углов шестиугольника равна (6 − 2)∙180° = 720°, следовательно, каждый угол в шестиугольнике ABCDEF равен 120°. Продолжим стороны AF, ВС и DE до пересечения (рис.2). Полученный

треугольник KLN будет равносторонним, так как ∠KAB = 180° −∠FAB = 60°, ∠KBA = 180° − ∠ABC = 60° => ∠K = 60°. Аналогично ∠L = ∠M = 60°.

Пусть k, a, b, с соответственно длины сторон равносторонних

треугольников KLM, KB A, LCD, FEM. Тогда | АВ − DE | = |а − (k − b − с)| = =| а + b + с – k|. Аналогично |ВС – FE| = |CD – AF|=| а + b + с – k|.

Рис.2

Задание №2. Пусть x –число павлинов в стае. Из них павлинов сидят на манговом дереве, а на дереве тамала. Сложив эти количества, получим уравнение: . Обозначим , тогда

, , , ,, , −не подходит.

Ответ: 48

Задание №3. Заметим, что три подряд стоящих воина не могли оказаться лжецами, поскольку тогда средний из них сказал бы правду. Разобьем ряд из 2013 воина на 671 групп по три рядом стоящих воина. В каждой такой группе не более двух лжецов, т. е. среди рассматриваемых 2013 воинов не более 1342 лжецов. В то же время, шеренга (ЛРЛ) (ЛРЛ) … (ЛРЛ) удовлетворяет условиям задачи и в ней ровно 1342 лжеца.

Ответ: 1342

Задание №4.

+
 
 
Ответ:

Задание №5. Доказательство. Проведем в прямоугольном треугольнике ABC медиану СМ из вершины прямого угла С и средние линии MN и МК, параллельные катетам (рис.1). Они рассекут его на четыре равных прямоугольных треугольника с гипотенузами, равными 2, причем у двух из них (треугольников MNC и МСК) общей гипотенузой будет медиана СМ исходного треугольника.

Построим три круга радиуса 1 с центрами в серединах гипотенуз этих четырех треугольников. Каждый из них будет описанным для соответствующих треугольников и потому целиком закроет их. Поэтому вместе эти круги целиком закроют исходный треугольник (рис.1).

Рис.1

9  класс

Задание №1.

В равнобедренном треугольнике АВС на боковой стороне ВС отмечена точка М так, что отрезок МС равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне АВ отмечена точка К так, что угол КМС – прямой. Найдите угол АСК.

Решение. Проведём высоту CL. Так как треугольник ABC — равнобедренный, то CL = CM. Следовательно, прямоугольные треугольники CLK и CMK равны (по гипотенузе и катету), откуда CK — биссектриса угла LCM. Пусть ∠BAC = ∠BCA = α, тогда ∠LCA = 90° – α, а ∠LCB = α – (90° – α) = 2α – 90°. Следовательно, ∠ACK = ∠ACL + ∠LCK = 90° – α + 1/2(2α – 90°) = 45°.

http://*****/show_document.php?id=1702767

Ответ: 45°.

Возможны другие решения.

Задание №2. Если , то имеем . Если , то получаем квадратное уравнение.

Ответ.

Задание №3. Сделаем чертеж

В

А C Пусть искомая площадь Тогда

Из пропорции находим:

Ответ. .

Задание №4.

Найти наименьшее значение выражения (5х+4у+6)2 + +(3х+4у+2)2 и значения х и у, при которых оно достигается.

Решение. При любых значениях х и у имеет место неравенство + ≥ 0. Значение, равное 0, достигается только в том случае, когда 5х+4у+6 и 3х+4у+2 равны нулю одновременно.

Составим систему уравнений

Решив ее, получим х = - 2, у = 1. Таким образом, наименьшее значение выражения равно 0, оно достигается при х = - 2, у = 1.

Ответ: 0 при х = - 2, у = 1.

Задание №5.

Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно?

Решение. Если в первый день Вася съест a конфет, то за n дней он съест

a + (a + 1) + ... + (a + n - 1) = $\displaystyle {\frac{n(2a-1+n)}{2}}$конфет.

Значит, $ {\frac{n(2a-1+n)}{2}}$= 777. Следовательно, n делит = 1554. Так как 1554 = n(2a - 1 + n) > n2, то n < 40. Но максимальное число n, меньшее 40 и делящее 1554 = , равняется 37. Случай n = 37 действительно возможен при a = 3.

Ответ: n = 37.

10 класс.

Задание №1. На сторонах АВ и СD квадрата АВСD взяты точки К и М соответственно, а на диагонали АС – точка L так, что МL = КL. Пусть Р – точка пересечения отрезков МК и ВD. Найдите угол КРL.

Решение. Пусть O – точка пересечения AC и BD; N – середина отрезка KM. Так как середина отрезка с концами на параллельных прямых лежит на прямой, равноудаленной от них, то ON || AK и ∠AON = 45°. C другой стороны, так как LN ⊥ MK, то точки L, O, N и P лежат на одной окружности, то есть ∠LPN = 180° – ∠LON = ∠AON = 45°.

http://*****/show_document.php?id=1702128

B случае, если точка P лежит на отрезке BO, аналогичные рассуждения приводят к ответу 135°.

Ответ: 45° или 135°.

Возможны другие способы решения

Задание №2. Что больше или ?

Решение. Пусть log5 6=x и log6 7=y , получим: 5x=6, 6y=7, x>1,y>1 . Разделим эти равенства почленно друг на друга:

5x/6y=6/7, или 5x-1/6y-1=36/35>1, или5 x-1>6y-1.


Поскольку x-1>0 и y-1>0 , то заключаем, что x-1>y-1 или x>y , т. е. log5 6>log6 7 .

Ответ: log5 6 .

Задание №3. Сделаем чертеж.

В Е

D

А С

Дополним до параллелограмма Тогда обозначая имеем Подставим значения

Ответ. 5

Задание №4. Так как то или . Соответственно,

Ответ.

Задание №5. Решите уравнение в положительных числах.

Решение. Разделим обе части уравнения на 8, получим $x^x=\sqrt{1/2}$. Нетрудно проверить, что x=1/2 и x=1/4 - решения. Покажем, что других решений нет. Найдем промежутки монотонности функции xx. Ее производная (xx)'=(exlnx)'=(lnx+1)(exlnx)=(lnx+1)(xx) отрицательна на интервале (0, 1/e) и положительна на луче x > 1/e. Следовательно, функция xx монотонна на каждом из этих промежутков, и значит, всего имеется не более двух положительных решений нашего уравнения.

Ответ: x=1/4, x=1/2.

11 класс.

Задание №1. Что больше + или + ?

Решение. Преобразуем разность левой и правой частей:

+ – ( +) =

= – – (20092=

= 20112– (20

Заметим, что > > 0 и 20112 – 1 > 20092 – 1 > 0. Следовательно, уменьшаемое больше вычитаемого, то есть разность положительна. Значит, + > + .

Ответ:

+ > + .

Задание №2. Чертеж

В

A D

С

Находим из пропорции . По теореме косинусов из имеем . Теперь из имеем .

Ответ. .

Задание №3. Разберем два случая.

I случай. Имеем: . Так как то .

II случай. Теперь Имеем:

Ответ.

Задание №4. Из равенства (1)

имеем . (2)

Пусть

Из (2) получаем

Перемножим все эти равенства для Тогда . По определению, Значит, или

Из (1) же пишем Пусть . Тогда перемножив равенства для получим . Так как то или . Получили систему умножим первую строку на 3, вторую на 2 и сложим полученные строки. Тогда .

II способ. Из рекуррентного соотношения получаем: Методам математической индукции докажем, что , верно. Пусть для утверждение верно. Тогда, при имеем:

Утверждение доказано.

Задание №5. Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что ∠ABO = ∠CAO, ∠BAO = ∠BCO, ∠BOC = 90°. Найдите отношение AC : OC.

Решение.

Построим точку D, симметричную точке C относительно прямой BO (см. рис.). Тогда ∠BDO = ∠BCO = ∠BAO. Значит, точка D лежит на окружности, описанной вокруг треугольника ABO, и ∠ADO = ∠ABO = ∠CAO. Получаем, что треугольник DAC подобен треугольнику AOC. Следовательно, справедливы соотношения http://*****/show_document.php?id=1703308или http://*****/show_document.php?id=1703309, откуда получаем http://*****/show_document.php?id=1703310.

http://*****/show_document.php?id=1703307

Ответ: http://*****/show_document.php?id=1703306.

Возможны другие способы решения