Актуальность исследования

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Наша жизнь немыслима без цифр. Но мы никогда не задавали себе вопрос, откуда появились цифры? Почему мы пользуемся только: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0? Ответ на этот вопрос нам даст изучение темы «Системы счисления». Таким образом, изучая данную тему, мы выясним, какова роль систем счисления в нашей жизни.

Цель исследовательской работы: Изучить научно-методическую литературу по теме «Системы счисления» и найти применение систем счисления в настоящее время.

Объектом исследования являются системы счисления.

Предметом исследования является исследование темы «Системы счисления» и ее применение в обыденной жизни.

Для достижения поставленной цели были выдвинуты следующие задачи исследования:

1. Проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования;

2. Определить, какое значение имеют системы счисления в настоящее время.

Методы исследования:

изучение научно-методической литературы;

тестирование, опрос.

Структура исследования. Научно-исследовательская работа состоит из введения, 5 параграфов, заключения, списка использованной литературы.

§1. Системы счисления (основные понятия и определения)

Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимно - однозначное соответствие между любым числом и его представление в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.

Цифры – это условные знаки, используемые для записи целых чисел и десятичных дробей.

В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Пример непозиционной системы – римская система счисления. Древние египтяне применяли систему счисления, состоящую из набора символов, изображавших распространенные предметы быта. Совокупность этих символов обозначала число. Расположение их в числе не имело значения, отсюда и появилось название.

Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись больших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик.

В вычислительной технике непозиционные системы счисления не применятся.

Систему счисления называют позиционной, если одна и та же цифра может принимать различные численные значения в зависимости от номера разряда этой цифры в совокупности цифр, представляющих заданное число. Пример такой системы – арабская десятичная система счисления.

Количества и количественные составляющие, существующие реально могут отображаться различными способами. В общем случае в позиционной системе число N может быть представлено так:

Nb = (pn pn-1 … p1 po, p-1 p-2 …), где:

b – основание системы счисления (целое положительное число, равное числу цифр в данной системе);

n – любые цифры из интервала от нуля до (b – 1).

Основание позиционной системы счисления определяет ее название. В вычислительной технике применяются двоичная система, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. В дальнейшем, чтобы указать использованную систему счисления, будем заключать число в скобки и в нижнем индексе указывать основание системы счисления.

Каждой позиции в числе соответствует позиционный (разрядный) коэффициент или вес. Покажем это на примере десятичного числа:

Пример1. Способ образования десятичного числа

(841,1)10 = 8 ∙ 102 = 800

+

4 ∙ 101 = 40

+

1 ∙ 100 = 1

+

1 ∙ 10-1 = 0,1

(841,1)10

В настоящее время позиционные системы счисления более широко распространены, чем непозиционные. Это объясняется тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем – это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Наиболее удобной для построения ЭВМ оказалась двоичная система счисления, т. е. система счисления, в которой используются только две цифры: 0 и 1, т. к. с технической точкой зрения создать устройство с двумя состояниями проще, также упрощается различение этих состояний.

Для представления этих состояний в цифровых системах достаточно иметь электронные схемы, которые могут принимать два состояния, четко различающиеся значением какой-либо электрической величины – потенциала или тока. Одному из значений этой величины соответствует цифра 0, другому – 1. Относительная простота создания электронных схем с двумя электрическими состояниями и привела к тому, что двоичное представление чисел доминирует в современной цифровой технике. При этом 0 обычно представляется низким уровнем потенциала, а 1 – высоким уровнем. Такой способ представления называется положительной логикой.

§2. Непозиционные системы счисления

В древности и в средние века получили распространение самые разные системы представления чисел и способы проведения арифметических операций. Оригинальная система представления чисел с помощью узелков на веревках существовала в Древнем Китае. Своими корнями она уходит в древнекитайскую мифологию. На рисунке 1 числа от 1 до 10 представлены в виде веревок с узелками. Веревки с белыми узелками обозначают нечетные числа, с черными – четные.

Некоторые народы использовали словесную систему нумерации. Наиболее развита она была у древних индусов. Так же как и система китайцев, она была тесно связана с мифологией. Приведем примеры слов, употреблявшихся для выражения чисел:

0 – пустой, небо, отверстие;

1 – начало, луна, земля, брахман;

2 – близнецы, ноздри, глаза, губы;

3 – время, миры, огонь;

4 – океаны, страны света;

5 – стрелы;

6 – части тела, цвета;

7 – горы, мудрецы;

8 – змеи, слоны;

9 – богини;

10 – пальцы;

12 – боги;

14 – день, половина месяца;

20 – ногти;

33 – зубы.

Одно и то же число могло быть выражено различными цепочками слов. Вот, например, как выглядело число 1230:

Небо (0) – время (3) – глаза (2) – земля (1);

пустой (0) – миры (3) – близнецы (2) – луна.

Обратите внимание на то, что числа индусы записывали справа налево.

Древние евреи, финикийцы, греки, сирийцы, византийцы, а также жители Древней Руси использовали алфавитные системы счисления, т. е. такие, в которых цифры выражены буквами алфавита. Например, в Древней Греции наиболее распространенная система записи чисел выглядела так:

Обозначение	Название	Значение	Обозначение	Название	Значение	Обозначение	Название	Значение
α´	Альфа	1	ι´	Йота	10	ρ´	Ро	100
β´	Бета	2	κ´	Каппа	20	σ´	Сигма	200
γ´	Гамма	3	λ´	Лямбда	30	τ´	Тау	300
δ´	Дельта	4	μ´	Мю	40	υ´	Ипсилон	400
ε´	Эпсилон	5	ν´	Ню	50	φ´	Фи	500
ς´	Фауб	6	ξ´	Кси	60	χ´	Хи	600
ζ´	Дзета	7	ο´	Омикрон	70	ψ´	Пси	700
η´	Эта	8	π´	Пи	80	ω´	Омега	800
θ´	Тэта	9		Коппа	90		Сампи	900

Следует отметить, что буквы «фауб», «коппа», «сампи» отсутствуют в современном греческом алфавите. При знаках чисел, чтобы отличить их от букв, ставилась черточка: справа наверху от буквы для записи чисел до 999, а начиная с 1000 – слева

α = 1000; β = 2000; γ = 10000

Приведем пример записи числа в древнегреческой алфавитной системе:

ι´η´ = 18; υ´ζ´ = 407; χ´κ´α´ = 621.

В отличие от древних греков римляне никогда не использовали алфавитной системы записи чисел. В римской системе счисления всего семь знаков: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, М = 1000, с помощью

которых записываются числа. Для такой записи чаще всего используется аддитивный принцип:

II = 1 + 1 = 2; III = 3; VI = 6; VII = 7; VIII = 8; XI = 11;

XII = 12; XV = 15; XVII = 17; XX = 20, XXI = 21; XXX = 30; LX = 60;

LXX = 70; LXXX = 80; CX = 110; CC = 300; DC = 600; DCC = 700.

Одновременно в римской системе находит применение и другой принцип записи чисел, основанный на вычитании:

IV = 4; IX = 9; X IV = 14; XIX = 19; XL = 40; XC = 90; CD = 400;

CМ = 900.

Например, в записи числа МDCCCXLVI = 1846.

Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций. Для нумерации глав книг или строф стихотворения.

§3. Позиционные системы счисления

Из позиционных систем счисления с основанием, отличным от десяти, наибольшую известность приобрела древневавилонская шестидесятеричная система. Поскольку запомнить огромную таблицу умножения (порядка 60 • 60 членов) было непросто, вавилоняне пользовались специальными таблицами, записанными на глиняных табличках. Кроме того, у них имелись таблицы обратных величин. Совместное использование таблиц умножения и обратных величин позволяло производить деление, обратной делителю, с последующим умножением на делимое: .

Следы шестидесятеричной системы счисления присутствуют в современном делении часа на 60 минут, а минуты на 60 секунд.

Наиболее важной из позиционных систем является современная десятичная система.

Все числа записываются с помощью десяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Значение цифры зависит от занимаемого места в записи. Десять первых чисел в результате счета дают новую единицу. Такая система счета называется десятичной системой счисления, т. е. десятичной нумерацией. Число 10 является основанием счисления.

Для упрощения записи и чтения большие числа делят на разряды и классы. Десять единиц какого-либо разряда составляют одну единицу следующего, высшего разряда, т. е. десять простых единиц составляют десяток, или единицу 2-го разряда; десять десятков – сотня, десять сотен – тысяча и т. д.

Например, числа 21 и 2810 являются соответственно двузначным и четырехзначным. В двузначном числе 21 два разряда: разряд десятков (цифра 2) указывает количество десятков, а разряд единиц (цифра 1) – количество единиц в этом числе. Таким образом, в числе 21 два десятка и одна единица: 21 = 2 • 10 + 1.

В науке встречаются названия чисел, больших указанных. Но от названия их счет не облегчается. Поэтому при расчетах большие числа приводят к стандартному виду и записывают в виде произведения его на степени десяти. Например, 327 = 2, 27 • 102; 268 000 = 2,68 • 105; 0,0265 = 2,65 • 10-2.

Очевидно, двойка – наименьшее число, которое можно взять за основание системы счисления. Система счисления с основанием 2 называется двоичной или диадической. Двоичная система представляет собой особый интерес, поскольку лежит в основе вычислительных схем и записи информации в компьютерной технике.

В двоичной системе присутствуют только две цифры: 0 и 1, число 2 – это уже единица второго разряда.

Двенадцатеричная система счисления связывается с количеством пальцев на руках и ногах. Хотя эта система счисления была принята у ацтеков и майя, и деление на 20 более мелких денежных единиц мы видим в английской и французской денежных системах, она не получила большого развития.
§4. Переход от одной системы счисления к другой.

Покажем на примере перевод в двоичную систему. Пример 1.

100 2

50 2

25 2

0

1 12 2

0 6 2

0 3 2

 

1 1

100 = (1100100)2

Пример 2. Перевод в двоичную систему

1000 2

500 2

0 2

250

0 125 2

1

62 2

0

31 2

1

15 2

1

7 2

1

3

1

1000 = ()2.

В схеме деления «уголком» жирным шрифтом выделены последовательные остатки (справа налево), т. е. цифры двоичного представления числа, а числа, стоящие справа от них, - последовательные частные.

Пример. 3. Перевод в десятичную систему

1. ()2 = 1•27 + 1•26 + 0•25 + 1•24 + 1•23 + 0•22 + 1•2 + 0.

Заметим, что удобнее складывать справа налево: ()2 = 0 + 2 + 4 + 8 + 16 + 0 + 64 + 128 = 218.

2. ()2 = 0 + 1•2 + 26 + 27 + 210 = 1218.

Таким образом, в примере 1 складывались числа 1000 и 218, в результате, как и положено, получилось 1218.

Пример 4. Записать число (211)3 в десятичную систему счисления

Число (211)3 – это троичное целое число. В троичной системе счисления цифрами являются 0; 1 и 2. Найдем:

(211)3 = 2•32 + 1•31 + 1•30 = 18 + 3 +1 = (22)10

§5. Применение систем счисления в обыденной жизни.

Для того, чтобы выяснить, какое место в нашей жизни занимают системы счисления, учащимся было предложено ответить на следующие вопросы:

1. Напишите, где вы встречали римские цифры (I, II, III, IV, V и т. д.)?

2. Как вы думаете, какой системой счисления мы пользуемся, когда переводим часы в минуты:

а) Десятичная система счисления; б) Двоичная система счисления;

в) Шестидесятеричная система счисления.

3. Напишите, для чего нам нужны эти цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0?

4. Как выдумаете, к какой системе счисления относятся эти цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0?

а) Десятичная система счисления; б) Двоичная система счисления;

в) Шестидесятеричная система счисления.

5. Напишите, где применяют двоичную систему счисления?

Исходя из полученных результатов, мы сделали следующие выводы:

1. Римские цифры, которые составляют непозиционную систему счисления, применяются в истории для обозначения веков, например, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX вв., также римские цифры можно встретить на циферблате часов. Очень часто римские цифры мы видим, когда открываем книги, ими обозначены главы книги или разделы, а также строфы в стихотворениях. Например, в произведении «Евгений Онегин». Как отмечалось выше, римские цифры применяются для обозначения глав книг, исследовательских, курсовых или дипломных. Например, такое обозначение мы можем увидеть в учебниках по различным предметам: по химии, математике, и т. д.

Также римские цифры используют для обозначения наименования съездов и конференций. Например, XXII съезд КПСС и т. д.

2. Шестидесятеричная система счисления нам встречается, когда мы переводим часы в минуты или наоборот. Мы используем это на спортивных состязаниях для более точного определения результата. Это умение нам пригодится на уроках математики и физики при решении задач и т. д.

3. Десятеричная система прочно вошла в нашу жизнь уже очень давно. Эту систему счисления мы начинаем изучать с первого класса, для того, чтобы уметь считать. Этой системой счисления мы везде: оплачиваем наши покупки, платим за газ и за свет. Так можно продолжать бесконечно. Мы просто уже и немыслим жизни без десятичной системы счисления.

Таким образом, можно заключить, что системы счисления имеют большое значение в нашей жизни.

Заключение

В начале выполнения научно-исследовательской работы нами была поставлена цель: Изучить научно-методическую литературу по теме «Системы счисления» и найти применение систем счисления в настоящее время.

Для реализации этой цели были выполнены следующие задачи:

1. Проанализировали научно-методическую литературу по теме исследования;

2. Определили, какое значение имеют системы счисления в настоящее время.

Список использованной литературы

1. Жолков, и информатика для гуманитариев: Учебник. Изд. 2-е, испр. и доп. – М.: Альфа-М; ИНФРА-М, 2005. – 528 с.

2. Рязановский, . 5-11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики / , . – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2002. – 224 с.

3. Энциклопедия для детей Т.11. Математика / Глав. Ред. . – М.: Аванта, 2002. – 688 с.

4. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. , , : Под общ. ред. . – М.: АСТ-ПТД», 1998. – 480 с.