Идея: построй и примени модель ситуации в задаче

Идея: построй и примени модель ситуации в задаче

Каталог

Идея применение моделирования для решения задач с числами.

Эвристики, подсказывающие целесообразность попыток применения идеи моделирования.

Алгоритм реализации идеи моделирования.

Ключевые слова, указывающие в тексте задания на целесообразность реализации идеи моделирования и используемые для описания реализации идеи моделирования.

Варианты реализации идеи моделирования.

Примеры реализации идеи построй и примени модель ситуации.

Коллекция заданий, в которых реализуется идея моделирования.

Задания для самостоятельного выполнения.

Задания этого раздела взяты из книги ЕГЭ-2011, Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов // под ред. , . – М.: национальное образование, - 2010. – 240 с. и вариантов ЕГЭ 2011 года.

Указания для выполнения заданий из предыдущего раздела.

Тренажер.

Творческие задания.

Идея применение моделирования:

Достаточно часто предлагаются задания, для выполнения которых:

- удается выявить связи между различными объектами в ситуации задачи;

- связи между элементами ситуации удается выразить уравнениями, неравенствами,

- связи между элементами позволяют перевести задачу на другой язык и использовать известные алгоритмы решения математических задач.

Возврат в каталог для выбора раздела.

Эвристики:

- можно определить, какой общий вид имеет объект, связанный с ситуацией в задаче,

- после введения переменных удается записать связи между объектами в виде математических выражений и сформулировать математическую задачу, позволяющую получить решение исходной задачи,

- известен или можно разработать алгоритм решения математической задачи, сформулированной на предыдущем этапе.

Возврат в каталог для выбора раздела.

Варианты реализации идеи:

- построить и применить математическую модель в виде уравнения или системы уравнений;

- построить и применить математическую модель в виде выражения,

- построить и применить математическую модель, высказав гипотезу и потом выполнить ее обоснование,

- построить и применить математическую модель на основе известного утверждения.

Возврат в каталог для выбора раздела.

Алгоритм реализации:

- Изучаются объекты, фигурирующие в ситуации задачи;

- вводится одна или большее число переменных;

- с помощью введенных переменных выражаются связи между объектами в ситуации задачи,

- формулируется математическая задача,

- находится решение математической задачи,

- на основе решение математической задачи получается решение исходной задачи.

Возврат в каталог для выбора раздела.

Ключевые слова:

При распознавание:

- текст задачи, в котором описывается задание на определение чисел, возможность реализации заданной ситуации.

При описании моделирования:

- пусть х - …;

- тогда согласно условию …;

- получаем …уравнение, систему уравнений, смешанную систему;

- сформулируем и решим математическую задачу;

- реализуем известный алгоритм в том случае, если известен алгоритм ее решения или разрабатываем «нужный» алгоритм решения;

- формулируем результат решения исходной задачи.

Возврат в каталог для выбора раздела.

Примеры реализации идеи

«Построй и примени модель ситуации»

Пример 1

Решить такую задачу(задача взята из книги ЕГЭ-2011, Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов // под ред. , . – М.: национальное образование, - 2010. – 240 с.):

Ученик должен был перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное число. Однако он не заметил знака умножения и принял рядом записанные числа как одно шестизначное. Поэтому частное (натуральное), которое получилось, оказалось в три раза больше истинного.

Найти все три числа.

В условии задачи можно выделить такие связи между объектами:

- произведение двух трехзначных чисел,

- последовательная запись двух тех же трехзначных чисел,

- связь между двумя частными.

Все эти связи могут быть записаны в виде математических выражений. Эти соображения и подсказывают целесообразность попыток применить идею моделирования.

Реализация идеи: Обозначим эти числа, заданные в условии: а, b – числа, с – произведение чисел.

Произведение чисел, заданных в задаче: аb.

Записанные рядом числа (напомним, что они трехзначные):

1000а+ b.

Ученик получил такое частное: .

Учение должен был получить такое частное: .

По условию задачи ученик получил результат в три раза больше, чем тот результат, который должен был получить ученик . Это позволяет получить модель ситуации в виде такого уравнения:

=3.

Формулируем задачу: найти решение этого уравнения при условии, что а, b – трехзначные числа, с – пятизначное число.

Приведем словесное описание алгоритма решения задачи:

1. Умножить обе части уравнения на с.

2. Найти а и b.

3. Найти пятизначные делители произведения чисел а и b.

Исполним этот алгоритм:

1. После умножения обеих частей уравнения =3 на с получаем уравнение 1000а+ b=3аb. Требуется решить это уравнение при условии: а и b – трехзначные натуральные числа.

2. Так как правая часть и 1000а делятся на а, то и число b делится на а, поэтому существует такое х, b=ха. При этом так как а и b – трехзначные числа, то х не превосходит 9.

С учетом этого уравнение принимает вид: 1000а+ха=3а2х, которое равносильно такому уравнению: 1000+х=3ах.

Левая часть этого уравнения делится на 3, поэтому 1000+х должно делиться на 3. Это, на основе признака делимости на 3, возможно только при таких х: х=2, х=5 и х=8.

Если х=2, то а=167 и b=334.

3. Для определения с находим произведение чисел: а и b и потом пятизначные делители произведения чисел а и b.

Выполнив эти действия, найдем: а=167, b=334 и с=27889 или с=55778 (других пятизначных делителей произведение чисел а и b не имеет).

Если х=5, то а=67. Это противоречит условию задачи (а – трехзначное число).

Если х=8, то а=42. Это противоречит условию задачи (а – трехзначное число).

Предлагаем самостоятельно дать ответы на такие вопросы:

Что подсказало возможность применить исследование остатков?

Что подсказало выбор варианта реализации исследования?

Как составить аналогичные задания;

Как усложнить задание?

Как отразить работу над уравнением в личном справочнике?

Пример 2

(реализация идеи моделирования путем составления выражения)

Задание (задача взята из книги ЕГЭ-2011, Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов // под ред. , . – М.: национальное образование, - 2010. – 240 с.):

Перед каждым из чисел 11, 12, …, 29 и 5, 6, …, 10 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 114 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в итоге?

Решение. В результате действий, описанных в задаче, получаем выражения:

±11±5; ±11±6; …; ±11±10;

±12±5; ±12±6; …; ±12±10;

… … …

±29±5; ±29±6; …; ±29±10;

Знаки + и – выставляются произвольно, но фиксировано для каждого набора.

Находя сумму 114 чисел и производя группировку слагаемых, получим такие суммы:

S=(±11±12 ±…±29)∙6+(±5±6 ±…±10)∙19.

Введем обозначения: ±11±12 ±…±29=а, ±5±6 ±…±10=b. Легко доказать, что число (±5±6 ±…±10)∙19 – нечетное при любой расстановке знаков. Тогда число S=6a+19b – нечетное число при любой расстановке знаков. Отсюда следует, что выполняется неравенство: |S|≥1.

Докажем, что существует такая расстановка знаков в S, при которой S будет равно 1. Отсюда получим, что искомое число равно 1.

Достаточно доказать, что существует такая расстановка знаков, при которой а=16, b=-5.

Расставим знаки так: а=11+12+…+…-29. Проверьте, что при этом а=16.

Расставим в b знаки так: b=5+6-7-8+9-10. Тогда b=-5.

Найдем значение S при такой расстановке знаков:

S=6а+19b=96-95=1.

Ответ: 1.

Предлагаем самостоятельно дать ответы на такие вопросы:

Что подсказало возможность применить исследование остатков?

Что подсказало выбор варианта реализации исследования?

Как составить аналогичные задания;

Как усложнить задание?

Как отразить работу над уравнением в личном справочнике?

Пример 3

(реализация идеи моделирования на основе формулировки и проверке гипотезы)

Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. После запятой выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел an. В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100.Найдите наименьшее возможное значение а3.

Решение. Так как все члены последовательности – натуральные числа и последовательность возрастающая, то первый чел не меньше 1, второй не меньше 2 и третий не меньше 3.

Следовательно, наименьшее из возможных значений а3=3. Для того, чтобы закончить решение задачи, достаточно привести рациональную дробь с знаменателем меньшим 100, у которой в десятичном разложении на третьем месте стоит число 3 и возрастающую последовательность натуральных чисел, задающую бесконечную периодическую дробь.

Рассмотрим дробь: 10\81. Легко убедиться, что это дробь равна такой периодической дроби:

10\81=0, 12345

Определим последовательность натуральных чисел следующим образом:

ai=i для i=1, 2, …,7. a8=9,

a10=, a11=, a12=, a13=, ….

Очевидно, что члены последовательности являются натуральными числами, последовательность возрастает, третий член последовательности равен 3.

Ответ: 3.

Пример 4

(реализация идеи моделирования путем

применения известного утверждения)

Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя ( включая единицу и само число).

Искомое число делится на 42, поэтому оно уже имеет делителями простые числа 2, 3 и 7. Оно может записано в виде: 42а, где а натуральное число или 2∙3∙7∙а.

Рассмотрим первый случай: когда среди простых делителей искомого числа только числа 2, 3 и 7.

Известно, что если число х раскладывается на множители 2p∙3q∙7r, то число делителей х равно (p+1)(q+1)(r+1).

По условию: (p+1)(q+1)(r+1)=42.

Здесь возможны такие случае:

- множитель 2 входит в первой степени. Тогда 2(q+1)(r+1)=42 и (q+1)(r+1)=21. Отсюда получаем: q+1=3 и r+1=7 или q+1=7 и r+1=3. Теперь находим: q=2, r=6 или q=6, r=2. Получаем, что искомое числа равно: 2∙32∙76=42∙3∙75 или 2∙36∙72=42∙35∙7;

- множитель 2 входит во второй степени. Аналогичные рассуждения показывают, что искомое число равно: 42∙2∙35или 42∙2∙75;

- множитель 2 входит в третьей степени. В этом случае (3+1)(q+1)(r+1)=42 не имеет решений, поэтому в этом случае не получаем новых чисел;

- множитель 2 входит в четвертой степени. Докажите, что в этом случае чисел, удовлетворяющих условию, не существует;

- множитель 2 входит в пятой степени. В этом случае получаем числа: 42∙3∙25 и 42∙7∙25;

- множитель 2 входит в шестой степени. Докажите, что в этом случае чисел, удовлетворяющих условию, не существует.

Убедитесь, что уравнение не имеет других целых решений.

Пример 5

Обратимся к такому заданию (задача взята из книги ЕГЭ-2011, Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов // под ред. , . – М.: национальное образование, - 2010. – 240 с.): Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число N?

Решение. Разложим N на простые множители: , где р – наибольший простой делитель числа N, и хi=0, 1, 2, ….

Если число оканчивается N нулями, то х2=n, х5≥ n или, наоборот, х2≥n, х5=n.

Оценим количество делителей k в числе N:

K=(x2+1)(x3+1)(x5+1)…(xp+1)≥(n+1)2,

при этом k делится на n+1.

Докажите самостоятельно, что произведение всех делителей числа N равно .

Значит, для любого N произведение всех делителей оканчивается нулями. Следовательно, nk=2∙399=798. При этом 798=nk≥n(n+1)2, откуда следует, что n – делитель числа 798, и n≤8.

Рассмотрим все такие n: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Из равенства798=nk и того, что 798 делится на n+1 получаем, что возможны только такие значения n: 1, 2, 6.

Для каждого из этих n подберем подходящее N. Ограничимся простыми множителями 2 и 5 (только они определяют число нулей в числе).

1.  х2=n=1, k=798:n=798; ; N=215398. Оканчивается одним нулем.

2.  х2=n=2, k=798:3=399; ; N=225132. Оканчивается двумя нулями.

3.  х2=n=6, k=798:n=133; х5=18; N=26518. Оканчивается на шесть нулей.

Ответ: 1, 2 и 6.

Возврат в каталог для выбора раздела.

Коллекция заданий, при выполнении которых используется реализация идеи моделирования

Задание 1

Найти все целые числа, равные сумме квадратов своих цифр.

Отсутствие информации о том, сколько цифр имеют искомые числа, подсказывает целесообразность реализации идеи моделирования.

1. 4∙92=324 – трехзначное число, то искомые числа могут иметь более трех цифр.

2. Пусть N=100x+10y+z – запись исходного числа (при этом x, y, z могут быть и нулями).

3. По условию получаем такую модель ситуации в задаче (в виде уравнения):

100х+10y+z=x2+y2+z2.

4. Формулируем задачу: найти решения уравнения 100+10y+z=x2+y2+z2 при условии, что неизвестные могут принимать значения от 0 до 9.

5. Из уравнения «видно», что при х не равном нулю левая часть уравнения больше правой (Почему?), поэтому если решения существуют, то х=0.

6. Пусть х=0. Уравнение принимает вид: 10y+z=y2+z2. Убедитесь самостоятельно, что если у отличен от 0, то новое уравнение не имеет решений.

7. При у=0 получаем уравнение: z2=z.

Ответ: N=1, N=0.

Задание 2

Найти четырехзначные числа, которые будучи приписаны справа к числу 400, дают полный квадрат.

Решение. Пусть у – искомое число, х – квадрат числа, который получается в результате приписывания у.

По условию задачи получаем уравнение:

4∙106+у=х2.

Последовательно преобразуем уравнение:

У=х2-(2000)2

(х-2000)(х+2000)=у.

По условию у – натуральное число, поэтому х больше 2000.

Легко убедиться, что при х≥3, решений нет: у будет содержать не менее пяти цифр.

Пусть х=2001. Тогда из уравнения находим: у=4001.

Пусть х=2002. Тогда из уравнения находим: у=8004.

Задание 3

В шахматном турнире участвовали 2 ученика 7 класса и некоторое число учеников 8 класса. Каждый участник с каждым другим один раз. Два семиклассника набрали вместе 8 очков, а все восьмиклассники набрали одинаковое число очков (в турнире за победу дается 1 очко, за поражение – нуль очков, за ничью – 1\2 очка).

Сколько восьмиклассников участвовало в турнире?

Решение. Пусть в турнире участвовало х восьмиклассников и у – число очков, набранных каждым восьмиклассником.

Число партий в турнире и оно же число очков, набранное всеми равно ху+8.

Так как участников турнира х+2 и каждый играл с каждым по одной партии, то всего было сыграно (х+2)(х+1)\2 партий.

Получаем математическую модель задачи в виде уравнения:

.

Это уравнение равносильно такому уравнению: х(х+3-2у)=14.

Здесь х и х+3-2у – целые числа, так как у – целое число, либо дробь со знаменателем 2.

Так как 14 делится на х, то х может быть: 1, 2, 7 или 14.

Значения 1 и 2 не удовлетворяет условию (Почему?).

При х=7 из уравнения находим: у=4, а при х=14 – находим у=8.

Задание 4

Натуральное число N является квадратом и не оканчивается нулем. После зачеркивания у этого числа двух последних цифр снова получится точный квадрат. Найти наибольшее число N с таким свойством.

Решение. Зачеркнем в числе N две последние цифры и заменим их нулями. Очевидно, что получится новый квадрат некоторого числа n. Тогда , поэтому (n+1)2-n2≤99. Отсюда n≤49. Так как n не оканчивается нулем, то n>40, a N=412=1641.

Задание 5

В шахматном турнире участвовали ученики 9 и 10 классов. Турнир проходил в один круг. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников и они набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько учеников 9 класса участвовало в турнире и сколько они набрали очков?

Решение. Пусть в турнире участвовало х учеников 9-го класса и они набрали у очков. Тогда, согласно условию десятиклассников было 10х, они набрали 4,5у очков.

Общее число участников в турнире 11х, набрали они 5,5у очков. Это же число равно числу всех партий в турнире: 11х(11х-1)\2.

Получаем уравнение: 11х(11х-1)\2=5,5у.

Каждый девятиклассник сыграл 11х-1 партий (так как всего участников 11х, поэтому х девятиклассников могли набрать х(11х-1) очков только в том случае, если каждый из них выиграл все партии.

Это, в свою очередь возможно, при х=1, так как два девятиклассника не могут одновременно выиграть все партии в турнире (ведь они должны играть между собой).

Таким образом, х=1, у=10.

Задание 6

Сколько существует двузначных чисел, которые ровно в 9 раз больше суммы своих цифр? Сколько существует таких трехзначных чисел?

Решение. Пусть искомое двузначное число содержит х десятков и у единиц. Тогда по условию задачи составляем уравнение:

10х+у=9(х+у).

Преобразуем его к виду:

8у=х.

Отсюда видно, что цифра х двузначного число делится на 8. Две цифры 8 и 0 делятся на 8. Так как число двузначное, то х не может быть равно 0.

Если х=8, то у.

Существует единственное двузначное число, которое удовлетворяет задаче: 81.

Докажите самостоятельно, что не существует трехзначных чисел, удовлетворяющих требованию задачи.

Задание 7

Фирма получила кредит в банке под определенный процент годовых. Вот описание ситуации с данным кредитом и его погашением.

Через год фирма в счет погашения кредита внесла 75% долга от всей суммы, которую она должна банку к этому времени. Еще через год в счет полного погашения кредита она внесла в банк сумму, составляющую 49% от величины полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в этом банке?

Читая условие, прежде всего, определяем процесс, который связан с задачей. Это процесс взятия и возврата кредита. Вспоминаем, что в этом случае: в банке берется какая-то сумма, а возвращается другая, всегда большая и в определенный срок и с соблюдением ряда условий.

Словесно процесс описывается так:

- выяснили сумму, которая не хватает, выбрали банк, который выдает кредиты, условия на выдачу и возврата кредита и убедились, что они устраивают фирму;

- взяли кредит под определенный процент на два года;

- за первый год (пока не было возвратов) долг возрос;

- заплатили 75% долга. Оставшуюся часть долга должны выплатить через год;

- за второй год на часть долга, который остался, был начислен тот же процент от суммы долга;

- наконец, выплатили 49% от суммы кредита.

Этим самым полностью погасили долг перед банком.

В задаче нет данных о сумме кредита, не указывается процент кредита (сколько процентов требуется заплатить банку дополнительно). Отсюда следует. Нет необходимых данных.

В математике, известен законный способ, получить информацию, когда ее не хватает – применение обозначений. Пусть А – размер кредита (сумма, которую взяли в банке), р – процент кредита.

Теперь приступаем к процессу моделирования, который представим в виде таблицы.

№	Часть условия задачи	Действия	Долг	Выплаты
1	Фирма получила кредит в банке под определенный процент годовых.	Пусть А – сумма кредита, р – процент кредита	А	-
2	Через год фирма в счет погашения кредита внесла 75% долга от всей суммы, которую она должна банку к этому времени	Находим долг через год и сумму погашения.
3	Еще через год в счет полного погашения кредита она внесла в банк сумму, составляющую 49% от величины полученного кредита	Находим долг к этому времени и определяем сумму возврата.		0,49А

Так как в результате долг выплачен полностью, то сумма равна 0,49А. Получаем:

=0,49А.

Этим самым построена математическая модель задачи. Это уравнение содержит два неизвестных А и р. Но обратим внимание:

1)  требуется определить только р;

2)  Обе части уравнения можно разделить на А.

После деления получаем уравнение:

.

Решаем это уравнение (разберитесь в решении самостоятельно):

,

р=40.

Ответ: 40.

Задание 8

Денежный вклад в банке за год увеличивается на 12%. Вкладчик открыл счет на 15000 рублей. Через год решил снять со счета некоторую часть денег. Какую наибольшую сумму может снять со счета вкладчик, чтобы в конце второго года на его счете оказалось не менее 10000 рублей? (Ответ округлить до целого числа)(ЕГЭ – 2005).

Прежде всего, работаем с текстом задачи. Для этого после внимательного чтения условия (возможно ни один раз) выделяем логически завершенные части текста и отмечаем то, что они означают.

Денежный вклад в банке за год увеличивается на 12%. Эта фраза в условии задачи означает, что банк начисляет 12% годовых, то-есть к сумме вклада прибавляется 12%.

Вкладчик открыл счет на 15000 рублей. Эта часть условия задачи показывает, что в первый год будет начисляться 12% с суммы 15000 рублей.

Какую наибольшую сумму может снять со счета вкладчик, чтобы в конце второго года на его счете оказалось не менее 10000 рублей? Эта фраза указывает на то, что после года хранения и начисления процентов вкладчик снимает какую-то сумму. Кроме того, указано условие снятия суммы: она должна быть наибольшей, но в конце второго года должно остаться на счете не менее 10000 рублей.

Изобразите схематично самостоятельно условие задачи.

Теперь переходим к составлению таблицы по условию задачи.

Задание 9

Обращаемся к задача, которая в 2007 году предлагалась на вступительном экзамене на филфак МГУ.

Накануне экзамена Лиза и ее товарищ искали на Воробьевых горах четырехлистный клевер, приносящий, по народной примете, удачу. В первый день товарищ нашел четырехлистников на 20% больше, чем Лиза. Во второй день, наоборот, товарищ нашел четырехлистников на 30% меньше, чем Лиза в этот день. Всего за два дня Лиза нашла четырехлистников на 10% больше, чем ее товарищ. Какое минимальное количество четырехлистников могли найти студенты при данных условиях?

Решение. Пусть х1, х2, у1, у2 – количество четырехлистников, найденных в первый и второй день Лизой и ее товарищем соответственно. Тогда по условию задачи:

è х1 делится на 5, поэтому х1=5k, k-натуральное число.

Кроме того,

=> х2 делится на 10, поэтому х2=10n, а у2=7n,

n-натуральное число.

Кроме того, ó 10(5k+10n)=11(6k+7n) ó 23n=16kón=16k, k=23t, t-натуральное число, поскольку 23 и 16 взаимно просты.

Таким образом, наименьшее значение суммы х1+х2+у1+у2=11k+17n=525t равно 525.

Задание 10

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. На доске записано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое всех этих чисел равно -5, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно

-12.

А) сколько чисел написано на доске?

Б) каких чисел больше: положительных или отрицательных?

В) какое наибольшее число положительных чисел может быть?

Задание 2. На доске записано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое всех этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -7.

А) сколько чисел написано на доске?

Б) может ли такая последовательность иметь 22 нуля?

В) может ли такая последовательность иметь 21 нуль?

Г) может ли такая последовательность иметь 20 нулей?

Д) какое наименьшее число нулей может содержать последовательность?

Е) сколько нулей может содержать последовательность?

Задание 3. У натурального числа 6 натуральных делителей. Сумма этих натуральных делителей равна 104. Найдите эти числа.

Задание 4. У натурального числа 9 натуральных делителей. Сумма этих натуральных делителей равна 741. Найдите это число.

Задание 5. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. После запятой выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел an. В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение а7.

Задание 6. Ученик должен был перемножить двузначное числа на трехзначное и разделить их произведение на пятизначное число. Однако он не заметил знака умножения и принял рядом записанные числа как одно шестизначное. Поэтому частное (натуральное), которое получилось, оказалось в три раза больше истинного.

Найти все три числа.

Задание 7. Ученик должен был перемножить двузначное числа на трехзначное и разделить их произведение на пятизначное число. Однако он не заметил знака умножения и принял рядом записанные числа как одно шестизначное. Поэтому частное (натуральное), которое получилось, оказалось в три раза больше истинного.

Найти все три числа.

Задание 8 (ЕГЭ 2011 г.) Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3345.

А) Может ли последовательность состоять из двух членов?

Б) Может ли последовательность состоять из трех членов?

В) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Задание 9 (ЕГЭ 2011 г.) Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 14 раз больше, либо в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4321.

А) Может ли последовательность состоять из двух членов?

Б) Может ли последовательность состоять из трех членов?

В) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Задание 10. Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 450 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число N?

Возврат в каталог для выбора раздела.

Указания для выполнения заданий раздела

Задания для самостоятельного выполнения

(при реализации идеи моделирования)

Задание 1. На доске записано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое всех этих чисел равно -5, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -12.

А) сколько чисел написано на доске?

Б) каких чисел больше: положительных или отрицательных?

В) какое наибольшее число положительных чисел может быть?

Указание. Введите и примените обозначения для числа положительных, отрицательных и нулевых элементов. Потом составьте уравнения и получите следствия.

Задание 2. На доске записано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое всех этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -7.

А) сколько чисел написано на доске?

Б) может ли такая последовательность иметь 22 нуля?

В) может ли такая последовательность иметь 21 нуль?

Г) может ли такая последовательность иметь 20 нулей?

Д) какое наименьшее число нулей может содержать последовательность?

Е) сколько нулей может содержать последовательность?

Задание 3. У натурального числа 6 натуральных делителей. Сумма этих натуральных делителей равна 104. Найдите эти числа.

Указание. Для построения модели ситуации примените утверждение о числе делителей числа.

Задание 4. У натурального числа 9 натуральных делителей. Сумма этих натуральных делителей равна 741. Найдите это число.

Задание 5. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. После запятой выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел an. В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение а7.

Указание. Выскажите предположение и потом докажите его.

Задание 6. Ученик должен был перемножить двузначное числа на трехзначное и разделить их произведение на пятизначное число. Однако он не заметил знака умножения и принял рядом записанные числа как одно шестизначное. Поэтому частное (натуральное), которое получилось, оказалось в три раза больше истинного.

Найти все три числа.

Указание. Введите и примените обозначения для числа положительных, отрицательных и нулевых элементов. Потом составьте уравнения и получите следствия.

Задание 7. Ученик должен был перемножить двузначное числа на трехзначное и разделить их произведение на пятизначное число. Однако он не заметил знака умножения и принял рядом записанные числа как одно шестизначное. Поэтому частное (натуральное), которое получилось, оказалось в три раза больше истинного.

Найти все три числа.

Указание. Введите и примените обозначения для числа положительных, отрицательных и нулевых элементов. Потом составьте уравнения и получите следствия.

Возврат в каталог для выбора раздела.

Тренажер

Предлагаем выполнить упражнения, связанные

с реализацией идеи моделирования

(учимся реализовывать идею моделирования)

Обратимся к такому заданию: На доске записано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое всех этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -7.

А) сколько чисел написано на доске?

Б) каких чисел больше: положительных или отрицательных?

В) какое наибольшее число отрицательных чисел может быть?

Упр. 1. Укажите эвристики, которые подсказывают целесообразность попыток реализовывать идею моделирования.

Упр. 2. Какие члены последовательности, кроме положительных и отрицательных, присутствуют в ней?

Упр. 3. Ученик, реализуя идею моделирования и учитывая отсутствие информации о числе положительных, отрицательных и нулевых элементов последовательности, решил ввести обозначения: х – число положительных членов, у – число отрицательных, z – число членов последовательности, которые равны 0.

Предложите математическую модель ситуации и получите, анализируя модель, следствия, которые позволят дать ответ на вопрос из пункта а.

Упр. 4. На основе информации о числе членов последовательности путем преобразования модели получите новые следствия, позволяющие дать ответ на второй вопрос в задаче.

Упр. 5. Докажите, применяя модель, что z≤22.

Упр. 6. Приведите пример последовательности, удовлетворяющей условию задачи, в которой у=22.

Указание. Используйте такую модель ситуации: , где х – число положительных членов, у – число отрицательных и 22 нуля. При этом х+22+ z=49 или х+ z=27.

Ответ: а) 49; б) положительных членов больше; в) наибольшее число отрицательных членов равно 22.

Упр. 7. Какое наименьшее число нулей может быть в ситуации задачи?

Упр. 8. Можно ли найти наибольшее возможное число нулей в ситуации задачи?

Упр. 9. Предложите и решите аналогичное задание.

Возврат в каталог для выбора раздела.

Творческие задания

В этом разделе (в отличии от аналогичных разделов при описании идей) предлагается только одно творческое задание. Кроме того, описываются несколько приемов, пользуясь которыми Вы можете самостоятельно сформулировать исследовательское задание.

Предлагаем подготовить электронное пособие

«Задачи с числами на ЕГЭ»

Известно, что решение задач с целыми числами вызывает затруднения у значительной части учеников 11 классов. В данном исследовании предлагается разработать электронное пособие для учеников, призванное оказать им помощь в изучении общих методов решения задач с числами.

Для этого предлагается:

- изучить задачи с числами, которые предлагались на едином экзамене за все годы проведения,

- выделить методы решения задач с числами, которые предлагались на едином экзамене за все годы проведения,

- изучить задачи с числами и методами их решения, которые имеются в пособиях для подготовки к ЕГЭ, рекомендованных ФИПИ,

- предложить модель пособия по методам решения задач с числами,

- подготовить электронное пособие для учащихся.

В первом разделе должны быть материалы по таким общим методам решения задач с числами.

Второй раздел отводится упражнениям на отработку общих методов решения задач с числами.

Третий раздел содержит материалы, которые позволят ученикам: проверить готовность решать задачи с числами; внести коррективы в подготовку.

Четвертый раздел интересен тем, кто хочет включиться в исследовательскую деятельность в соответствии со своими интересами.

В создании пособия могут принять участие ученики с разными интересами:

- ученики, которые интересуются программированием,

- ученики, которые интересуются психологией и педагогикой,

- ученики, которые интересуются экономикой,

- ученики, которые интересуются иностранными языками.

Предлагаем самостоятельно сформулировать для себя исследовательское задание

Опишем два приема для учащихся, пользуясь которыми Вы можете сформулировать для себя, с учетом своих интересов.

Первый прием: исследовательское задание можно выбрать на основе того, что Вы изучили на уроках.

К примеру, если Вы закончили тему школьной программы, то Вы можете:

- подготовить электронные ресурсы для изучения данное темы (такое задание для себя могут сформулировать те ученики, которые интересуются компьютерами);

- изучить личность математиков и историю решений, силами которых разрабатывались материал темы (такое задание могут сформулировать те ученики, которые относят себя к гуманитариям);

- подготовить материал темы на сайт школы (эту тему могут выбрать те, кто интересуются компьютерами и которых интересует опыт учителя) и др.

Второй прием: тему можно выбрать на основе того, что Вы умеете.

Только одна иллюстрация: если Вы хорошо знаете английский язык, то Вы можете выбрать тему, связанную с переводом материалов темы на английский язык (заметим, что до начала непосредственного перевода важно определить особенности письменной и устной речи учителя и того, каким сохранить эти особенности при переводе).

Третий прием. Изучить запросы различных групп и разработать средства для их реализации на материале темы.

К примеру, Вы знаете, что всем выпускникам школы предстоит сдавать единый экзамен. Известно, что решение задач с целыми числами (задание С6) вызывают интенсивные затруднения школьников.

Отсюда понятна актуальность разработки средств для подготовки учащихся. Разработки могут выполнять учащиеся с разными интересами.

Подготовьте программное обеспечение для создания электронного сборника задач, составленного учениками класса

Выполнение данного исследования рекомендуется путем выполнения таких действий:

- исследовать то, каким ученики класса хотели бы видеть сборник задач по теме школьной программы по математике,

- изучить пожелания учителя о структуре сборника задач по теме школьной программы,

- на основе результатов исследования запросов учащихся и учителя предложить модель сборника задач, составленного учениками класса,

- предложить то, каким образом ученики класса будут готовить задачи для сборника задач,

- разработать программное обеспечение для создания сборника задач,

- создать сборник задач и указать направления его применения,

- подготовить сообщение на конференцию учащихся по результатам исследования.

Возврат в каталог для выбора раздела.