Теория вероятностей. Случайные события (стр. 4 )

Решение. Дискретная случайная величина Х может принимать значения: .

Так как испытания независимы одно от другого и вероятности появления события А в каждом испытании одинаковы, то случайная величина Х имеет биномиальное распределение. По условию имеем

, , . Вероятность вычисляются по формуле

; .

Имеем: ;

;

;

;

.

Искомый закон распределения имеет вид

	0	1	2	3	4
	0,1296	0,3456	0,3456	0,1536	0,0256

и представлен на рисунке.

Построим функцию распределения случайной величины :

График функции распределения представлен на рис

Вычислим числовые характеристики случайной величины :

;

;

.

Так как случайная величина Х подчиняется биномиальному закону распределения, то ее математическое ожидание и дисперсия могут быть вычислены так:

; .

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина принимает целые неотрицательные значения , где достаточно большое число. Вероятность появления события в одном опыте является достаточно малым числом. Однако ограничено. Тогда случайная величина распределена по закону

Пуассона , который определяет вероятность появления события А т раз в п опытах. Ряд распределения можно представить в виде

	0	1	2	…
				…

Функция распределения .

Выполняется .

Для распределения Пуассона и .

Рассмотрим простейший поток событий, которые наступают в случайные моменты времени. Например, поступление сигналов вызова на автоматическую телефонную станцию. Поток называется стационарным, если вероятность появления k-событий за интервал времени t есть функция только k и t. Если события независимы, то поток обладает свойством отсутствия последействия. Если вероятность появления более одного события за малый промежуток времени значительно меньше вероятности появления только одного события, то поток обладает свойствами ординарности. Простейшим (пуассоновским) потоком называется поток событий, который обладает стационарностью, отсутствием последействий и ординарностью. Интенсивностью потока а называется среднее число событий, которые появляются в единицу времени , где . Если , то вероятность появления событий за время будет

.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно 2. Найти вероятность, что за пять минут поступит 3 вызова.

Решение. По условию , , . Тогда .

.

Заметим, что вероятность поступления, допустим, 10 вызовов будет значительно больше: .

Геометрическое распределение. Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие наступает с вероятностью . Испытания заканчиваются, как только появится событие . Если в опытах событие не появилось, а появилось в опыте, то алгебра событий позволяет составить событие (события несовместны). Вероятность этого события .

Найдем вероятность появления события А не менее чем в т опытах, которая представляет собой геометрическую прогрессию. Для достаточно большого количества опытов ее можно считать бесконечно убывающей, тогда должно выполняться . Легко показать, что и .

Гипергеометрическое распределение. Пусть имеем N изделий, из которых М бракованных. Наугад извлекают изделия. Поскольку изделия обратно не возвращаются, то события, что изделие не бракованное, зависимы. Вероятность того, что среди случайно отобранных п изделий будет т бракованных, равна .

Пример. в партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию, построить многоугольник распределения.

Решение. Случайная величина - число стандартных деталей среди отобранных деталей - имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , , . Найдем вероятности возможных значений случайной величины по формуле

, .

Здесь N - число деталей в партии; М - число стандартных деталей в партии; п - число отобранных деталей; т - число стандартных деталей среди отобранных.

;

;

;

.

Ряд распределения случайной величины имеет вид

	0	1	2	3

Многоугольник распределения представлен на рис. 2.7.

Найдем математическое ожидание :

.

Найдем : .

Дисперсию найдем по формуле .

Имеем .

Тоже самое можно получить по формулам:

;

.

Рассмотрим типичные распределения непрерывных случайных величин. К ним относятся равномерное распределение, показательное и нормальное распределения.

Пример. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:

Найти функцию плотности и числовые характеристики , , . Вычислить вероятности попадания случайной величины в интервалы и .

Решение. Найдем плотность распределения:

Найдем математическое ожидание

.

Найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение

,

.

Используя формулу

,

найдем вероятность попадания Х в заданные интервалы:

;

.

Равномерное распределение (закон равномерной плотности). В некоторых задачах в пределах некоторого интервала все значения случайной величины равновероятны

Определим из условия нормировки

, .

Тогда функция распределения будет иметь вид

.

Вероятность попадания Х в интервал

.

Определим основные моменты, характеризующие это распределение:

,

.

Таким образом, для равномерного распределения и .

Показательное распределение имеет большое приложение в теории массового обслуживания, теории информации, физике, биологии и т. д. Многие явления природы описываются показательным законом распределения, который определяет процессы релаксации, затухания или раскачки и другие переходные процессы.

Плотность распределения показательного закона задается следующим образом:

Функция распределения

Вероятность попадания случайной величины в интервал находится по формуле

.

Определим основные характеристики показательного распределения

.

.

Таким образом, для показательного закона распределения , .

Пример. Время работы радиолампы - случайная величина, которая распределена по показательному закону. Определить вероятность того, что лампа проработает не менее 600 часов, если средняя продолжительности ее работы равна 400 часам.

Решение. По условию . Тогда

.

Нормальное распределение (закон Гаусса) играет исключительную роль в теории вероятностей, так как является предельным для всех остальных законов распределения. Нормальный закон распределения широко применяется для описания природных явлений и играет фундаментальную роль в понимании существа этих явлений.

Плотность распределения нормального закона распределения задается

.

Функция распределения

.

Здесь и .

Пример. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

Решение. Нормальный закон распределения характеризуется плотностью

.

Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу , определяется по формуле

,

где - функция Лапласа. Для вычисления значений функции Лапласа пользуются специальной таблицей.

В условиях задачи имеем

.

Правило "3 сигм". Вычислим вероятность попадания случайной величины в интервалы:

;

;

;

.

Тогда и . Видно, что все значения случайной величины с точностью укладываются в интервал , т. е. в . На остальные значения приходится всего распределения.

Пример. По шоссе шириной 20 м ведется стрельба в направлении, перпендикулярном шоссе. Прицеливание производится по середине шоссе. Среднеквадратичное отклонение в направлении стрельбы для данной дальности задано . Имеется систематическая ошибка (недолет) в 3 м. Найти вероятность попадания в шоссе при одном выстреле.

Решение. По условию задачи и . Тогда . Вероятность попадания в шоссе определится

.

2.2. СИСТЕМА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

На практике повсеместно сталкиваются с задачами, в которых результаты опытов описываются не одной, а двумя и более случайными величинами, образующими систему случайных величин. Например, точка попадания пули в мишень характеризуется координатами Х и , тогда как точка попадания зенитного снаряда в самолет характеризуется уже тремя координатами . Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных случайных величин, а включают также взаимные связи случайных величин между собой. Так, например, если "характеризовать" человека только двумя случайными величинами - ростом и весом, то, как мы наблюдаем, существует так называемая корреляционная зависимость между этими величинами. Как правило, если человек выше ростом, то он и тяжелее, и наоборот.

Обозначаются случайные величины как . Ограничимся рассмотрением системы только двух переменных, поскольку обобщение на их большее число не представляет особых трудностей.

Основные формы законов распределения двухмерной случайной величины.

1. Двухмерный ряд распределения для дискретной случайной величины. Оформляется в виде таблицы. Пусть Х принимает и принимает значения с вероятностями , причем должно выполняться

.

2. Функция распределения системы двух случайных величин применяется для описания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Функцией распределения системы называют вероятность совместного выполнения неравенств . Функция распределения допускает простую геометрическую интерпретацию, как вероятность попасть в прямоугольник левее и ниже точки .

Свойства функции распределения:

- неубывающая функция обоих аргументов, при , при ;

- (невозможные события);

- одномерная функция ;

- одномерная функция ;

- ;

- ;

- вероятность попадания случайной величины в заданный прямоугольник :

.

3. Плотность распределения системы случайных величин. Для непрерывных случайных величин можно ввести дифференциальную функцию распределения . Тогда элемент вероятности можно представить как некоторый объем . Вероятность попасть в область D определяется . Легко увидеть связь между и :

.

Свойства плотности распределения:

- для всех х и у;

- .

Рассмотрим распределение отдельных случайных величин, входящих в систему. По свойству : , , следует

и .

Плотность распределения одномерных случайных величин, входящих в систему, определится

и .

Следовательно, чтобы получить плотность распределения одной из случайных величин, входящих в систему, необходимо проинтегрировать плотность распределения системы по другой случайной величине.

Условный закон распределения случайной величины при определенном значении Х.