Журнал Математическое моделирование, т.23, №8, 2011г., с. 46-54
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПРИРОДНЫХ КАТАСТРОФ НА НАЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ
, ,
Московский физико-технический институт (государственный университет)
e-mail: w. *****@***ru
Целью данной работы является исследование влияния упругих волн, возникающих в процессе землетрясения, на наземные сооружения: здания и плотины. Получены численные решения задач распространения упругих волн, источником которых является землетрясение, в гетерогенных средах. Качественно рассмотрено влияние упругих волн на прочность поверхностных сооружений.
В работе используется сеточно-характеристический метод на треугольных расчетных сетках с постановкой граничных условий на контактных границах: здание – порода, порода – вода и плотина – вода, а также на свободных поверхностях в явном виде.
1. Введение
Задачи сейсмостойкости имеют огромный научный и практический интерес. Для того чтобы свести к минимуму последствия природной катастрофы, необходимо уметь адекватно оценивать устойчивость строений. Основными разрушающими факторами являются продольные и поперечные волны, приходящие из очага землетрясения, а также волны Релея и Лява, возникающие в результате взаимодействия со свободной дневной поверхностью. В случае реальных геологических сред и сложных геометрий строений, задача оценки сейсмостойкости может быть решена лишь методами численного расчёта.
Известно, что методы, способные наиболее адекватно описывать сложные волновые процессы в неоднородных средах, должны учитывать характеристические свойства соответствующей системы уравнений механики сплошных сред. Для этих целей был разработан гибридный сеточно-характеристический метод [1] для численного решения задач механики деформируемого твердого тела. Он позволяет корректно строить алгоритмы на контактных границах и границах области интегрирования, в определенной степени учитывать физику задачи (распространение разрывов вдоль характеристических поверхностей), обладает важным для рассматриваемых задач свойством монотонности.
В данной работе также используется этот подход. Исследуется процесс распространения упругих волн, возникающих в процессе землетрясения, в гетерогенных средах. Проводится анализ влияния упругих волн на прочность наземных сооружений.
2. Постановка задачи
В данной работе в качестве начального возмущения для моделирования очага землетрясения использовалась «подвижка по разлому» (рис. 1). Геометрия области начального возмущения – прямоугольник 500 м × 40 м, начальная скорость среды составляла 10 см/с. Источник начального возмущения располагался на глубине 1500 м по центру расчётной области. Общая ширина области интегрирования 5000 м, глубина – 4000 м. На поверхности была установлена серия из 41 сейсмоприёмника, с центром в эпицентре землетрясения и с шагом 100 м. На рис. 2 приведена общая схема численного эксперимента.
Рис. 1. «Подвижка по разлому».
Рис. 2. Постановка задачи.
3. Математическая модель и численный метод решения задачи
Для математического моделирования волновых процессов в деформируемом твердом теле использовалась система динамических уравнений, объединяющая уравнения движения и реологические соотношения в виде:
,
.
Здесь 
– плотность среды, 
– компоненты скорости смещения, 
, 
– компоненты тензоров напряжения и деформаций, 
– ковариантная производная по j-й координате, 
– добавочная правая часть.
Вид компонент тензора 4-го порядка 
определяется реологией среды. Для линейно-упругого тела
.
Вторая группа уравнений представляет собой продифференцированный по времени закон Гука:
.
В этом соотношении 
и 
– упругие постоянные Ляме, 
– символ Кронекера.
Для численного решения динамических уравнений механики деформированного твердого тела использовался сеточно-характеристический метод [2].
4. Результаты численного решения задачи
4.1. Воздействие упругих волн на здание.
В работе [3] было показано, что при землетрясении в геологической среде распространяется группа продольных и поперечных волн. Особый интерес представляет изучение их влияния на наземные сооружения. Было рассчитано влияние продольной волны амплитудой 90 см/с на здание из бетона (рис.3). Окна – прямоугольники со сторонами 1.5 × 2 м, дверь – прямоугольник со сторонами 1 × 2 м. Горизонтальное расстояние между верхними окнами составляет 1 м, а между нижним окном и дверью – 1,5 м. Фундамент здания имеет толщину 1 м. Были заданы свойства бетона: скорость продольных волн – 4000 м/с, скорость поперечных волн – 2500 м/с, плотность – 2500 кг/м3. Вмещающий массив моделировался упругой средой с плотностью 2000 кг/м3, скоростью продольных волн – 5100 м/с и скоростью поперечных волн – 3400 м/с. На рис. 4 приведены волновые картины в последовательные моменты времени. В силу отражений от свободных поверхностей окон и стен наблюдается сложная суперпозиция продольных и поперечных волн.
Рис. 3. Геометрия здания и части вмещающего массива, в котором задаётся начальное возмущение.
Рис. 4. Распространение продольной волны по зданию. Два момента времени: 0,0011 с (слева) и 0,0021 с (справа).
4.2. Воздействие землетрясения на плотину.
Была рассчитана задача о влиянии приповерхностного землетрясения на плотину, находящуюся в эпицентре. В качестве начального возмущения была выбрана подвижка по разлому на глубине 200 м, с плоскостью простирания, составляющей 6 градусов с горизонтом. Величина подвижки составляла 90 см/с. Вмещающийся массив моделировался упругой средой с плотностью 2000 кг/м3, скоростью распространения продольных волн – 5100 м/с, скоростью распространения поперечных волн – 3400 м/с. Геометрия плотины – прямоугольная трапеция с высотой 60 м и основаниями 40 м и 25 м. Материал, из которого сделана плотина, обладал плотностью 2500 кг/м3, скоростью распространения продольных волн – 4000 м/с и скоростью распространения поперечных волн – 2500 м/c. Вода моделировалась в приближении упругого тела с малой скоростью распространения поперечных волн. Были выбраны следующие упругие характеристики: плотность – 1000 кг/м3, скорость распространения продольных волн – 1348 м/с, скорость распространения поперечных волн – 10 м/с. Со стороны прямого угла вода поднимается на высоту 20 м, а со стороны откоса на высоту 40 м. На рис. 5 приведены волновые картины для последовательных моментов времени. Сначала из гипоцентра землетрясения приходит продольная волна (рис. 5 слева), которая проходит как в материал плотины, так и в воду. За ней следует более мощная поперечная волна (рис. 5 справа), которая слабо проникает в воду, но вызывает большие поперечные напряжения в плотине, что и приводит к её разрушению.
Рис. 5. Волновые картины распространения упругих волн по плотине. Приход продольной волны (слева) и приход поперечной волны (справа).
Список литературы
1. , Сеточно-характеристические численные методы. – М.: Наука, 1988, 288 с.
2. Петров И. Б., Холодов исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, т. 24, № 5, с. 722 – 739.
3. , Численное моделирование землетрясений в различных геологических породах // Тезисы 53-ей научной конференции МФТИ, 2010.
4. Расчет процессов в жилищных и промышленных сооружениях при падении самолетов // Информационные технологии и вычислительные системы, 2005, № 1, с. 130 – 139.
5. , , Челноков природа сейсмической энергии, рассеянной от зоны диффузной каверзности и трещиноватости в массивных породах // Геофизика, 2005, № 6, с. 5 – 19.
6. , , Расчёт волновых процессов в неоднородных пространственных конструкциях // Математическое моделирование, 2009, т. 21, № 5, с. 3 – 9.
7. , , Численное моделирование сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом // Математическое моделирование, 2010, т. 22, № 9, с. 13 – 22.
