Лабораторный практикум

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный архитектурно-строительный университет Факультет информационных систем и технологий Кафедра прикладной математики и вычислительной техники ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ Специализированное учебно – методическое пособие по организации самостоятельной работы студентов по дисциплине «Моделирование систем» Самара - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

1. Формирование уравнений динамики технических объектов. 3

2. Формирование схем систем управления. 8

3. Вычисление передаточных функций соединений технических объектов. 11

4. Формирование математических моделей многомерных САУ.. 17

5. Анализ качества управления по корням характеристического уравнения. 20

6. Анализ качества САУ по критериям Гурвица, Рауса, Михайлова. 22

7. Анализ качества САУ по переходным и частотным характеристикам. 24

8. Решение задач оптимизации и синтеза. 26

ЛИТЕРАТУРА.. 31

1. Формирование уравнений динамики технических объектов

Дифференциальное уравнение технического объекта строится следующим образом:

-  выбираются координаты, характеризующие объект;

-  выбираются начальные условия;

-  определяются физические или химические закономерности, которым подчиняется поведение технического объекта;

-  выявляются факторы, влияющие на входные и выходные сигналы;

-  при наличии нелинейных характеристик уравнение линеаризуется.

Рассмотрим процедуру вывода дифференциальных уравнений типовых звеньев.

Пример 1. Моделью типового апериодического звена может служить пассивная R C цепь:

Если входным воздействием считать напряжение Uo, выходным - , и цепь считать ненагруженной, то, воспользовавшись дифференциальными уравнениями цепи, составленными на основе уравнений Кирхгофа:

-  для токов - алгебраическая сумма втекающих и вытекающих в узел токов равна нулю;

-  для напряжения - алгебраическая сумма падения напряжения на элементах замкнутого контура равна нулю,

можно записать:

,

Учитывая, что , обозначим ток в цепи через i и перепишем уравнение Кирхгофа для напряжений, получим R * i + U = U0. Далее воспользуемся известной формулой зависимости тока на емкости от напряжения , подставим ее в уравнение, получим . Обозначим через T = R * C; тогда уравнение динамики примет стандартный для звена вид .

Пример 2. Составим дифференциальное уравнение колебательного звена, аналогом которого, может быть контур R L C.

; ; ; U R + U L + U C = U0;
;
Введем обозначения: T = ; = 0.5 R ; тогда уравнение динамики звена примет стандартный вид:
.

Отметим, что совершено различные по принципу действия и конструктивному исполнению устройства могут иметь одинаковые дифференциальные уравнения, что свидетельствует об одинаковом поведении процессов во времени. Аналогично рассмотренным примерам строится математическая модель любого технического объекта или системы.

Варианты технических объектов для самостоятельного построения уравнений динамики:

1.  Для заданной схемы найти зависимость

2. Для заданной схемы написать уравнения динамики:

3. Для заданной схемы написать уравнение динамики

4. Для заданной схемы написать уравнение динамики

5. Для заданной схемы написать уравнение динамики

6. Для заданной схемы написать уравнения динамики

7. Для заданной схемы написать уравнение динамики

2.  Формирование схем систем управления

Пусть уравнения динамики, определяющие процессы, происходящие в системе регулирования, имеют вид:

(1)

Применим преобразование Лапласа и перейдем от временной области к области комплексного переменного , получим

(2)

где аргумент s функций опущен. В уравнениях приняты следующие обозначения: и – управляемые параметры; и – рабочие переменные; ,, – постоянные системы управления; , –задающие значения для управляемых величин ( контрольные сигналы); ,,,, – константы.

Чтобы грамотно построить схему, приведем уравнения к форме, когда слева стоит искомая функция, а справа выражение ее определяющее, получим:

(3)

Схему начинаем строить с конца. В данном случае, с управляемых параметров. Чертим справа стрелки, соответствующие выходным (управляемым) параметрам . По центру расставляем стрелки, соответствующие . Очевидно, что сигнал определяется как сумма сигналов , откуда видно, что сигналы преобразуются апериодическими звеньями первого порядка, которые и вставляются в схему на пути следования соответствующих сигналов. Аналогично подключаются другие звенья системы. Структурная схема двухмерной САР соответствующая приведенным уравнениям, изображена на рис.1.

Рис. 1. Двухмерная система управления с перекрестными связями

Построить самостоятельно схему следования сигналов для уравнений:

3.  Вычисление передаточных функций соединений технических объектов

Символическое изображение всех функциональных элементов и связей между ними, отражающее последовательность взаимодействия процессов в системе управления, называется функциональной или структурной схемой.

При исследовании линейных систем важно уметь приводить структурные схемы к форме наиболее удобной для исследования. Для этого необходимо научиться заменять одни структурные схемы на равноценные, более удобные для проводимых расчетов или моделирования. Это позволяет значительно упростить определение характеристик систем и сократить объем необходимых для этого вычислений. Всякая структурная схема представляет собой совокупность более простых структур, точек разветвления, сумматоров, соединенных между собой различными способами. Любое преобразование структурной схемы сводится к эквивалентной перестановке различных ее соседних элементов. Точки разветвления линейных систем называются узлами. Основной принцип перестановки элементов структурной схемы состоит в том, что все входные и все выходные переменные преобразуемого участка должны остаться неизменными. Одномерной системой управления называется система, имеющая один контур управления, то есть система с одной управляемой координатой и одним задающим воздействием.

Последовательное соединение

Передаточная функция последовательного соединения равна произведению передаточных функций входящих в соединение звеньев:

Параллельное соединение

Передаточная функция параллельного соединения равна сумме передаточных функций входящих в соединение звеньев.

Соединение с обратной связью

Передаточная функция обратного соединения равняется отношению передаточной функции звена в прямой цепи к произведению передаточных функций звеньев, стоящих в прямой и обратной цепи со знаком “+” для отрицательной обратной связи и со знаком “-” для положительной обратной связи, увеличенному на единицу.

Отметим, что если известна структурная схема и параметры системы, то можно, пользуясь аппаратом структурных преобразований, найти передаточную функцию замкнутой САУ, а затем и ее дифференциальное уравнение.

Рассмотрим формулу Мезона определения передаточной функции между двумя произвольными вершинами А и В графа.

,

где k - количество прямых путей между A и B; Wk - передаточная функция к -го прямого пути, равная произведению передаточных функций, входящих в этот путь ребер; - определитель графа; k- определитель к - го минора графа, полученного путем удаления всех ребер и вершин, лежащих на к - ом пути, а также всех ребер, входящих и исходящих из этих вершин. Такой определитель вычисляется по формуле:

где Wi - передаточные функции различных контуров; Wi Wj - произведение передаточных функций несоприкасающихся пар контуров; Wi Wj Wl - произведение передаточных функций несоприкасающихся троек контуров и т. д. Под прямым путем между двумя заданными вершинами графа будем понимать непрерывную последовательность ветвей одного направления, при прохождении которой каждая вершина встречается не более одного раза. Под контуром будем понимать непрерывную последовательность ветвей одного направления, при прохождении которой можно вернуться к вершине начала прохождения, причем каждая вершина внутри контура встречается не более одного раза. Рассмотрим применение формулы Мезона на примерах.

Пример. Для заданной схемы, где передаточные функции звеньев соответственно , найти передаточную функцию соединения:

Решение. В схеме можно выделить только один прямой путь, проходящий через последовательное соединение элементов 1 и 3. Его передаточная функция равна . Далее найдем в схеме замкнутые контуры. Их будет два. Один контур с элементами 1, 3, 4 и передаточной функцией , а другой контур с элементами 2,3 и передаточной функцией . Знак минус учитывает отрицательную обратную связь. Найдем определитель графа

, минор графа . Подставим полученные результаты в формулу Мезона, получим

.

Пример. Для заданной схемы, где передаточные функции звеньев соответственно , найти передаточную функцию соединения:

Решение. В схеме можно выделить два прямых пути с элементами 1,3,4 и 2,3,4 и с передаточными функциями и соответственно. В схеме определяются контура с элементами 1,3 ; 2,3; 2 и с передаточными функциями , , соответственно.

Определитель графа . Миноры графа, соответствующие прямым путям: и . Подставим полученные результаты в формулу Мезона, получим

.

Найти передаточные функции следующих схем:

3.1.

3.2.

3.3.

4.  Формирование математических моделей многомерных САУ

Пусть система управления задана структурной схемой:

Передаточные функции всех элементов известны, они размещены в таблице

= =1	= = 2
= s/( 1+ 2s )	= = 1
= 1. / s	= s /(s +1)
= 1/ ( 1 + 2s )	= = -1.0
= = = = = 1.0	= = = 1.0

Выполним декомпозицию структуры САР с целью выделения каналов вход - выход. К каждому из таких каналов применим формулу Мезона для вычисления передаточной функции. В ходе расчета получим:

;

;

;

где – передаточная функция канала i- й выход, j- й вход, (i, j = 1,2). Анализ полученных выражений показывает, что все передаточные функции имеют одинаковый знаменатель, что объясняется влиянием каналов управления друг на друга за счет наличия в схеме перекрестных связей.

Найдем передаточные функции каналов в параметрической форме, то есть такой форме, где коэффициенты полиномов выражены явно через варьируемые параметры, будем иметь:

,

.

Итак, в ходе расчетов была получена матрица передаточных функций в численной форме:

и параметрической форме: ..

Самостоятельно провести подобные расчеты для схемы:

5.  Анализ качества управления по корням характеристического уравнения

Вспомним, что полином знаменателя передаточной функции САУ, приравненный к нулю, называется характеристическим уравнением. Найдем корни такого уравнения, если оно имеет вид:

+ 3.5 * +2.5 = 0.

Его корни следующие: По первой теореме Ляпунова следует, что САУ, имеющая данное характеристическое уравнение устойчива, так как оба корня имеют отрицательные вещественные части. Кроме оценки устойчивости по корням характеристического уравнения можно оценить и другие важные показатели:

-  степени устойчивости

h = | max Re(si)|, Re(si) < 0, ( i = 1,…, n).

-  колебательности

m = |Im (sдом) / Re (sдом)|; Y = arctg m.

-  времени регулирования

Tрег = (1/h) ln (1/).

- демпфирования (затухания)

= 1 - exp (-2p / m ).

В рассматриваемом примере эти показатели следующие:

h = 1.75, m= 0.43, Tрег = 1.71 (сек.), = 100%.

Самостоятельно найти показатели качества систем управления, если их характеристические уравнения имеют вид:

·  + 5 * + 6 = 0.

·  + 2 * + 1 = 0.

·  + 8 * + 4 = 0.

6.  Анализ качества САУ по критериям Гурвица, Рауса, Михайлова

Пусть характеристическое уравнение системы управления имеет вид:

s2+ 3.5 s+ 2.5 = 0.

Тогда с учетом его коэффициентов может быть составлена матрица Гурвица:

Гурвиц доказал, что для выполнения условия устойчивости, то есть для расположения всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы при ao > 0 все определители Гурвица (диагональные миноры матрицы Гурвица)

1 = 3.5; 2 =det = 3.5 * 2.5 = 8.75;

были положительными. Что мы и имеем в рассматриваемом примере.

Рассмотрим применение критерия Рауса для оценки качества САУ.

Пусть характеристическое уравнение системы управления имеет вид:

s2+ 3.5 s+ 2.5 = 0.

Найдем необходимые коэффициенты, введенные Раусом, и проверим условия:

a1 = 3.5 > 0; c11 = a2 – (a0 / a1) a3 =/3.5)*0 = 2.5 > 0,

следовательно, САУ устойчива.

Обратимся к оценке устойчивости САУ на основе частотного критеря Михайлова. Пусть характеристическое уравнение САУ при s = jw имеет вид:

D(jw) = (jw)2 + 3.5 (jw) + 2.5 = A (w) e jY (w) =

При изменении w от 0 до ¥, вектор D (jw) начинает описывать в комплексной плоскости кривую, которую называют кривой Михайлова.

Поскольку вектор кривой D(jw) при w = повернулся, не обращаясь в 0, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол n/2,нигде не обращаясь в ноль (где n=2 - степень характеристического уравнения), САУ устойчива.

7.  Анализ качества САУ по переходным и частотным характеристикам

Проведем анализ качества САУ по переходной характеристике. Пусть ее передаточная функция имеет вид.

.

Используя переход от изображения к оригиналу на основе разложения Хевисайда, получим формулу:

По рисунку можно определить показатели:

·  перерегулирование;

·  время регулирования (сек) при ;

· 

·  (сек);

· 

Построим логарифмические характеристики:

Как видно из графиков, запас устойчивости по фазе равен 0.5, а по амплитуде равен нулю.

Самостоятельно проанализировать качество в частотной области САУ, заданной передаточной функцией вида:

.

8.  Решение задач оптимизации и синтеза

Пусть задана схема управления в виде:

В схеме известен вид передаточных функций звеньев:

Wp = kp; W i= ki /s; Wd = kd s; Wор (s) = k / (s + a).

Нужно найти значения вектора параметров x = ( kp, ki, kd), при которых корни si характеристического уравнения замкнутой системы принадлежат области качества W, определяемой параметрами: степенью устойчивости = 2, колебательностью 1. Решение будем строить по шагам:

1.  Найдем передаточную функцию разомкнутой системы:

Wразом (x, s) = (kp + ki/s + kds) k /(s + a) = k(skp + ki + kds2)/(s(s +a)).

2.  Определим передаточную функцию замкнутой системы:

3.  Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

4. Зададим эталонное расположение корней характеристического уравнения и по ним составим эталонное характеристическое уравнение:

, = s2 + 5s + 6 = 0.

5. Cоставим целевую функцию F(x) на основе минимизации невязок коэффициентов двух характеристических уравнений:

.

Отметим, что поскольку на параметры вектора х не наложены ограничения, то имеем дело с задачей безусловной оптимизации. Для достижения минимума положительной квадратичной функции F(x) достаточно, чтобы нулю равнялись все три слагаемые, а именно:

Если мы используем необходимое и достаточное условие минимальности F(x), то получаем следующую систему уравнений:

Поскольку оптимизируемая функция является положительной, квадратичной, она имеет один экстремум – минимум и, следовательно, нет необходимости проверять условие Вейерштрасса, то есть положительность квадратичной формы. Требуемые значения параметров определяются через значения a, k:

При известных значениях a, k искомые параметры принимают конкретные значения. Равенство нулю коэффициента говорит о том, что заданный объект управления настолько прост, что не требует введения в схему дифференцирующего звена. Другими словами им можно управлять только при помощи ПИ регулятора. Обратимся к задаче организации адаптивного управления объектом.

Пусть динамика нестационарного объекта управления описывается передаточной функцией вида:

Требуется спроектировать схему управления объектом при не стационарности задающего воздействия r, при не стационарности параметров объекта k и a. Найти функцию управления объектом, позволяющую поддерживать качество управления на заданном уровне, обеспечивая выполнение условия:

s Î W, (h = 2, m £1),

где - степень устойчивости, а - показатель колебательности.

Выберем ПИ регулятор. Введем в рассмотрение два вектора х = (kp, ki), p = (k, a). Схема регулятора имеет вид:

Запишем характеристическое уравнение САР в параметрической форме:

.

Зададим эталонную САР через расположение корней характеристического уравнения: , уравнение примет вид:

s2 + 5 s + 6 = 0.

Составим целевую функцию:

Параметры регулятора определятся из уравнений:

По сути это есть зависимость x(tм)=x(k(tм),a(tм)).Таким образом, сигналы, подаваемые ЭВМ на регулятор будут формироваться в соответствии с законом:

V(tм) = х (a, k, tм) - х (a, k, tм-1))

V 1(tм) =

V2(tм) =

Схема 1 системы адаптивного управления примет вид:

Рассмотрим процедуру синтеза закона управления для схемы 2 адаптивного управления, воспользовавшись соответствующей формулой (см. курс лекций) при f = 0.

Поскольку управляющее воздействие должно вырабатываться только по завершению переходного процесса, то, положив s = 0, находим

что и требовалось найти.

Самостоятельно выполнить подобные расчеты для системы управления, объект которой имеет передаточную функцию

.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Морозовский теории многомерных систем

автоматического регулирования: Учеб. Пособие.- М. Наука, - 135с.

2.  Прохорова теории управления: Курс лекций. Тольятти,

2006,- 71с.

3.  Воронов теории автоматического управления:

Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем.- М. :

Энергия, 1980.-312с.

4.  , Попов автоматического регулирования. –

М. : Наука, 1972. – 768с.

5.  Мирошник автоматического управления. Линейные

системы. – СПб.: Питер,2005.-336с.

6.  Прохорова теории управления. Учебно-методический

комплекс. Москва: АПКиППРО, 2008. – 130 с.

7.  Прохорова теории управления. Лабораторный

практикум. Москва: АПКиППРО, 2008. – 24с.

8.  Прохорова научного пакета программ «MSO» в курсе

«Моделирование систем». - Сб. учебно – методических статей. М.: РГСУ,

2009 - С. 79 – 83.

9.  Прохорова систем. Курс лекций. М.: АПКиППРО,

2009. – 72 с.

10.  Прохорова систем в задачах. Практикум.

М.: АПКиППРО, 201с.

11.  Прохорова систем. Лабораторный практикум.

М.:АПКиППРО, 201с.

12.  Прохорова процессов и систем. Учебник.

М.:АПКиППРО, 201с.