Нелинейный анализ цифровых систем фазовой автоподстройки частоты

Нелинейный анализ цифровых систем фазовой автоподстройки частоты [1]

, кафедра прикладной кибернетики СПбГУ, *****@***ru

, кафедра прикладной кибернетики СПбГУ, *****@***ru

, кафедра прикладной кибернетики СПбГУ, *****@***edu

Аннотация

Проблемы синхронизации систем возникают в различных областях науки и техники, в таких, например, как системы фазовой автоподстройки (ФАП). В работе рассматриваются бифуркационные эффекты, возникающие в одномерных дискретных динамических системах, описывающих фазовую автоподстройку частоты в простейших цифровых системах ФАП.

В работе представлены численные значения бифуркационных параметров такой системы, вычисленные с помощью специальных аналитических методов и современных математических пакетов длинных чисел. Кроме того, показано, что для рассмотренного неунимодального отображения наблюдается эффект сходимости бифуркационных значений параметра системы, аналогичный эффекту Фейгенбаума для унимодальных отображений.

Введение

В системах фазовой автоподстройки (ФАП), используемых для синхронизации и генерации сигналов в радиосвязи, телекоммуникациях и компьютерных архитектурах, возникают проблемы синхронизации частот [1-19]. Качественный анализ уравнений ФАП позволяет определить необходимые условия работы системы (при которых, например, имеются синхронизация частот и коррекция расфазировок) [20,21]. В предложенной работе рассматривается дискретное одномерное неунимодальное отображение, описывающее работу цифровой ФАП.

В одной из первых работ, посвященных анализу цифровых ФАП [22], был рассмотрен алгоритм исследования периодических решений и показано, что даже в простой дискретной модели ФАП наблюдаются бифуркационные явления, приводящие к появлению новых устойчивых периодических решений и изменению их периода. В дальнейшем в работах [23] для таких систем была рассмотрена модель перехода к хаосу через каскад удвоения периода. Объединение и развитие этих идей в работах и [20, 21] позволило построить бифуркационное дерево перехода к хаосу через каскад удвоения периода. Для этого аналитически были получены первые несколько бифуркационных значений параметров, в то время как расчет последующих бифуркационных значений и изучение хаоса потребовали применения компьютерного моделирования. Эти вычисления выявили эффект аналогичный эффекту Фейгенбаума для унимодальных отображений [20, 24, 25]. Позднее в работах [26-28] для получения более точных численных значений бифуркационных параметров рассматриваемой системы потребовалось применение качественной теории динамических систем, специальных аналитических методов и современных математических пакетов длинных чисел.

Вычисление бифуркационных параметров

Рассмотрим блок-схему простейшей дискретной ФАП с аналоговым входом (См. Рис. 1).

Рисунок 1: Функциональная блок-схема ФАП

Здесь эталонный генератор OSCmaster вырабатывает синусоидальный сигнал:

где A - амплитуда, - сдвиг по фазе, - частота,

- фаза входного сигнала,

- период входного сигнала.

Сигнал поступает на Sampler (дискретизатор) и преобразуется в дискретный сигнал в моменты времени , определяемые импульсами управляемого генератора DCO. Выход дискретизатора пропускается через фильтр (Filter), и оставшийся на выходе фильтра сигнал поступает на вход управляемого генератора DCO.

Случай совпадения начальных частот эталонного и подстраиваемого генераторов имеет большое значение в инженерной практике дискретных ФАП [20, 29]. Определяя значение сдвига по фазе в интервале [-π, π] с учетом кратности 2π, можно в этом случае, согласно работам [20, 21], перейти к уравнению:

где r – положительное число.

В работе [20] указана верхняя граница параметра , при котором система (2) является отображением отрезка в себя, и аналитически получены первые три бифуркационных параметра системы , , . Было доказано, что при система является глобально асимптотически устойчивой, параметры и соответствуют бифуркации удвоения периода, а параметр соответствует бифуркации “расщепления” цикла: глобально устойчивый цикл периода 2 теряет устойчивость и рождаются два локально устойчивых цикла периода 2. В дальнейшем система переходит к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода.

Явление перехода к хаосу через бифуркации удвоения периода хорошо изучено для целого класса отображений отрезка в себя. В 1975 г. при исследовании бифуркаций удвоения периода логистического отображения

М. Фейгенбаум заметил, что для последовательных бифуркационных значений параметра λ справедлива сходимость:

и что аналогичный эффект имеет место для многих других отображений. В дальнейшем развитие теории ренорм-групп позволило доказать универсальность открытого Фейгенбаумом эффекта для одномерных однопараметрических унимодальных отображений отрезка в себя [30-34].

Отметим, что функция , представленная на Рис. 2, не является унимодальной или бимодальной. Здесь является нечетной функцией и имеет два локальных экстремума , а последовательность , начатая в точке , не проходит через точки локальных экстремумов и - последовательность отображена на рисунке в виде линий последовательно соединяющих точки

Рисунок 2: Отображение

Применение современных вычислительных пакетов, процедуры вычисления мультипликаторов и теории переходных процессов позволило получить численно первые 15 бифуркационных значений параметра системы (2), которые представлены в Таблице 1. Для полученных бифуркационных значений были также получены числа Фейгенбаума, которые представлены в последней колонке таблицы.

N	T	rj	Δj
1	½	2
2	½	Π	3.
3	2/4	3.	4,
4	4/8	3.	4,
5	8/16	3.	4,
6	16/32	3.	4,
7	32/64	3.	4,
8	64/128	3.	4,
9	128/256	3.	4,
10	256/512	3.	4,
11	512/1024	3.	4,
12	1024/2048	3.	4,
13	2048/4096	3.	4,
14	4096/8192	3.
15	8192/16384	3.

Таблица 1: Бифуркационные значения и числа Фейгенбаума дискретной динамической системы

Заключение

Из полученных значений видно, что здесь для неунимодального отображения (2) наблюдается эффект сходимости бифуркационных значений параметра , аналогичный эффекту Фейгенбаума для унимодальных отображений.

Литература

1.  G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, S. M. Seledzhi. Nonlinear Analysis and Design of Phase-Locked Loops (chapter in "Automation control – Theory and Practice)// In-Tech. – 2009. – Pp. 89-114.

2.  Kuznetsov N. V. Nonlinear Analysis of Phase Synchronization Systems: Phase-locked Loop and Costas Loop// Seminar series on Complex systems, networks, control and chaos. – City University of Hong Kong. – 2012. – Invited lecture.

3.  G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, M. V. Yuldashev, R. V. Yuldashev. Analytical method for computation of phase-detector characteristic// IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II. – Express Briefs. – Vol. 59. – Num. 10. – 2012. – Pp. 633-637.

4.  G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, M. V. Yuldashev, R. V. Yuldashev. Differential equations of Costas loop// Doklady Mathematics. – 86(2). – 2012. – Pp. 723–728.

5.  G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, M. V. Yuldashev, R. V. putation of Phase Detector Characteristics in Synchronization Systems// Doklady Mathematics. – 2011. – Vol. 84. – No. 1. – Pp. 586-590.

6.  N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, M. V. Yuldashev, R. V. Yuldashev. Analytical methods for computation of phase-detector characteristics and PLL design// ISSCS 2011 – IEEE International Symposium on Signals, Circuits and Systems, Proceedings. – 2011. – Art. num. 5978639. – Pp.7-10.

7.  G. A. Leonov, S. M. Seledzhi, N. V. Kuznetsov, P. Neittaanmäki. Asymptotic analysis of phase control system for clocks in multiprocessor arrays// ICINCO 2010 - Proceedings of the 7th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. – Vol. 3. – 2010. – Pp. 99-102.

8.  N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, P. Neittaanmäki, S. M. Seledzhi, M. V. Yuldashev, R. V. Yuldashev. Nonlinear Analysis of Phase-locked loop// IFAC Proc. Volumes (IFAC-PapersOnline). – 4(1). – 2010. – Pp. 34-38.

9.  N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, S. M. Seledzhi. Nonlinear analysis of the Costas loop and phase-locked loop with squarer// Proceedings of Eleventh IASTED International Conference Signal and Image Processing. – Vol. 654. – 2009. – Pp. 1-7. – ACTA Press.

10.  N. Kuznetsov, G. Leonov, S. Seledzhi. Phase Locked Loops Design And Analysis// ICINCO 2th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. – Proceedings Volume SPSMC. – 2008. – Pp. 114-118.

11.  N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, S. M. Seledzhi. Analysis of phase-locked systems with discontinuous characteristics of the phase detectors// IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). – 1(1). – 2006. – Pp. 107-112.

12.  Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Neittaanmäki P., Seledzhi S. M., Yuldashev M. V., Yuldashev R. V. Simulation of phase-locked loops in phase-frequency domain// International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, – 2012. – Pp. 351-356. – Art. no. 6459692.

13.  Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Neittaanmäki P., Seledzhi S. M., Yuldashev M. V., Yuldashev R. V. Nonlinear mathematical models of Costas Loop for general waveform of input signal// IEEE 4th International Conference on Nonlinear Science and Complexity, NSC 2012 Proceedings. – 2012. – Pp. 109-112.

14.  Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Yuldashev M. V., Yuldashev R. V. Nonlinear analysis of Costas loop circuit// ICINCO 2012 - Proceedings of the 9th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. – 2012. – Vol. 1. – Pp. 557-560.

15.  Kuznetsov N. V., Neittaanmäki P., Leonov G. A., Seledzhi S. M., Yuldashev M. V., Yuldashev R. V. High-frequency analysis of phase-locked loop and phase detector characteristic computation// ICINCO 2011 - Proceedings of the 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. – 2011. – Vol. 1. – Pp. 272-278.

16.  Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Seledzhi S. M. Phase synchronization and control of clock generators// 7th Seminar of Finnish-Russian University Cooperation in Telecommunications (FRUCT) Program. –2010. –Pp. 76-82.

17.  Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Neittaanmäki P., Seledzhi S. M., Yuldashev M. V., Yuldashev R. V. Nonlinear analysis of Phase-Locked Loop// Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology. – 2010.

18.  Kuznetsov N. V., Leonov G. A., Seledzhi S. M., Neittaanmäki P. Analysis and design of computer architecture circuits with controllable delay line// ICINCO 2th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. –2009. – Vol. 3 SPSMC. – Pp. 221-224.

19.  D. Abramovitch Phase-locked loops: A control centric tutorial// In Proceedings of the American Control Conference. –1. – 2002. – Pp. 1–15. – Plenary lecture.

20.  , Селеджи фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике// СПб. – Невский диалект. –2002.

21.  Leonov G. A., Seledzhi S. M. Stability and bifurcations of phase-locked loops for digital signal processors// International Journal of Bifurcation and Chaos.. – 2005. – 15(4) . – Pp. .

22.  Osborne H. C. Stability analysis of an Nth power digital phase-locked loop - Part 1: First-order DPLL// IEEE Transactions on Communications. – 1980. – Vol. 28. – No 8. – Pp. .

23.  , Максаков уравнения и динамика цифровой системы фазовой синхронизации первого порядка// Радиотехника и электроника. – 1979. – 24(5) . – С. 958-964.

24.  Abramovich S., Kudryashova E., Leonov G. A., Sugden S. Discrete Phase - Locked Loop Systems and Spreadsheets// Spreadsheets in Education (eJSiE). – 2005. – Volume 2. – Issue 1.

25.  Saleh R. Al-Araji, Zahir M. Hussain, Mahmoud A. Al-Qutayri. Digital Phase Lock Loops: Architectures and Applications // Springer. – 2006.

26.  Кудряшова бифуркационных параметров для цифровой системы фазовой автоподстройки// -Петерб. ун-та. – 2009. – Сер. 10. – Вып. 3. – C. 78–81.

27.  Kudryashova E. V. Cycles in continuous and discrete dynamical systems: Computations, computer-assisted proofs, and computer experiments// Jyvaskyla Univ. Printing House. – 2009.

28.  Шурухова бифуркационных параметров удвоения периода для дискретных систем фазовой синхронизации// Дипломная работа. – СПбГУ. – 2012.

29.  Banerjee T., Sarkar B. C. Chaos, intermittency and control of bifurcation in a ZC2-DPLL // Int. J. mun. – 2009. – 96(7). – Pp. 717-732.

30.  Cvitanovich P. Universality in Chaos// 2nd Edition. – Adam Hilder Publ. – 1989.

31.  Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations// Journal of Statistical Physics. – 1978. – 19. – Pp. 25-52.

32.  , , Ханин Фейгенбаума и термодинамический формализм// УМН. – 39:3(237) . – 1984. – C. 3-37.

33.  Campanino M., Epstain H. On the existence of Feigenbaum fixed-point// Comm, Math, Phys. – 1981. – Vol. 79. – №2. – Pp. 261-302.

34.  Lanford O. E. A computer assisted proof of the Feigenbaum conjectures// Bull. Amer. Math. Soc. – 1982. – 6(3). – Pp. 427–434.

[1] Работа выполнена при финансовой поддержке проектов Совета по грантам при Президенте РФ, Минобрнауки РФ, РФФИ и Санкт-Петербургского государственного университета.