XI Районная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку» | |
Полное название темы работы | Площадь фигуры на клетчатой бумаге |
Название направлений форума | Прикладная и фундаментальная математика |
Тип работы | Исследовательская работа |
Возрастная номинация | 5-8 класс, |
Фамилия имя | Бакач Ирина |
Территория | с. Хандальск, Абанского района |
Место учебы: | МКОУ Хандальская СОШ |
Класс | |
Место выполнения работы | МКОУ Хандальская СОШ |
Руководитель | , учитель математики |
Научный руководитель | |
Ответственный за корректуру текста работы | |
e-mail (обязательно) | *****@***ru
|
Введение.
На ЕГЗ по математике в 11 классе задание В3 на вычисление площади фигуры, изображенной на клетчатой бумаге. И я решила проверить смогу ли найти площади данных фигур, не зная формул для их вычисления. Единственную формулу, которую я знаю – это как вычислить площадь прямоугольника. А что если и выпускник тоже не знает формул. Как быть? Можно ли вычислить площадь фигуры, зная только формулу площади прямоугольника? Есть ли еще способы вычисления площади фигуры?
Я выдвинула гипотезу: если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то ее площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми.
Цель работы: рассмотреть способы вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге, не используя формулы геометрии.
Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:
1. Изучить способы нахождение площади фигуры по клеткам;
2. Решать задачи на вычисление площадей разными способами.
Основная часть
Вычислять площадь прямоугольника я научилась еще в 4 классе и знаю, что она равна произведению длины на ширину.
Как вычислить площадь данной фигуры нарисованной на клетчатой бумаге? Размер клетки 1см х 1см.
Решим, подсчитав количество целых клеточек. Их оказалось 4. не полных клеток – 12. 12:2=6. 6+4=10(см2). Площадь фигуры 10см2.
Можно решить, разбив ее на части. Зная, что площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые разбита данная. Я решила разбить данную фигуру на части, найти площадь каждой части и сложить.
Данную фигуру я разбила на квадрат и четыре треугольника. Площадь квадрата равна 2х2=4(см2)
Два треугольника образуют прямоугольник площадь которого равна 1х3=3(см2). Таким образом, площадь всей фигуры равна: 4+3+3=10(см2).
Можно ли вычислить площадь другим способом? Можно, но достроив его до прямоугольника. Для этого от площади прямоугольника, который оказался квадратом,
вычитаем площади треугольников.
Площадь квадрата равна 4х4=16(см2). Площади треугольников мы нашли, составив из них 2 прямоугольника, площадь каждого из них 3см2.
Получили, что площадь нашей фигуры равна:
16-3-3=10(см2).
Мы вычислили площадь данной фигуры тремя способами и получили один и тот же ответ. Можно вычислить площадь и формуле из геометрии, но я их не знаю. Но иногда бывают такие ситуации, когда либо просто не возможно посчитать площадь по формуле, либо проще сделать это по другому. Как? Есть ли еще простые способы решения данной задачи? Вместе с учителем, мы решили посмотреть в Интернете и нашли формулу Пика, которая очень проста в применении. Формула Пика позволяет найти площадь любого многоугольника, вершинами которого являются узлы клеток. Часть узлов он содержит на своих сторонах (мы обозначим их количество буквой X), а часть внутри себя (это количество обозначим буквой Y). Тогда площадь такого многоугольника можно вычислить по формуле:
Ее и называют формулой Пика. Приведем пример решения задачи B3 на ЕГЭ по математике и решим ее новым методом. Допустим, что нас просят найти площадь трапеции ABCD, изображенной на рисунке:
Разберем на примере:
Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке, где
Х – количество углов на границе решетки (зеленые)
Y – количество узлов внутри решетки (красные)
S – площадь фигуры.
Для нашего четырехугольника Y=8, Х=7, тогда площадь его найдем по формуле S=7+8:2-1=10(см2)
Это четвертый способ для нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге.
Прием очень показательный, красивый и точный. Формулу Пика можно использовать для устойчивого интереса к геометрии. Для выпускника – это практическая польза формулы Пика для сдачи ЕГЭ.
Ученик, владеющий приемом находится в довольно выигрышном положении, так как оформлять решение в тетради не нужно. Кто узнает, решил ли он задачу B3 как его должны были научить в школе или через узлы.
Пользоваться формулой Пика на ЕГЭ я советую осторожно. потому что сбиться со счета в подсчете узлов довольно легко, поэтому лучше её использовать в качестве
инструмента проверки.
Подборка заданий В3 на ЕГЭ
В3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1см × 1см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
В3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1см × 1см изображен прямоугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
В3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1см × 1см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Заключение.
В заданиях типа В3 проверяется умение выполнять действия с фигурами, в том числе, находить их площадь. В данной работе практически показано решение задания В3, используя четыре способа без знания формул
Подсчет по клеточкам; Разбить фигуру на простейшие и сумма их площадей и будет площадью данной фигуры; Описать вокруг данной фигуры прямоугольник. Вычесть из площади данного прямоугольника площади «лишних» простейших фигур; Формула Пика.Данная работа окажет помощь даже «слабому» ученику. Он сможет выбрать наиболее приемлемый для себя способ решения таких заданий.
Литература
1. Учебник авт. , и др. «Математика 5»
2. Формулу Пика – Интернет-сайты
3. Демо-версия ЕГЭ-2012
4. Тренировочные задания для ЕГЭ по математике
