О множествах высших мощностей

О МНОЖЕСТВАХ ВЫСШИХ МОЩНОСТЕЙ

г. Пермь

Рассматриваются некоторые свойства множеств мощности больше мощности континуума, в том числе таких, которые не удовлетворяют аксиоме выбора.

Введение

Обычно при изучении множеств произвольной мощности постулируется выполнение аксиомы выбора [1]. Т. е. не удовлетворяющие ей множества математикой фактически не рассматриваются (и в этом смысле не считаются множествами). Указанная аксиома качественно понимается как возможность выбора любого подмножества в произвольном множестве с использованием конечно представимого формального механизма.

Под конечно представимым формальным механизмом понимается тот, что выражается через конечную систему свойств и условий. Хотя сам алгоритм выбора для бесконечных множеств может иметь бесконечную длину. Например, выделение простых чисел в натуральном ряде. Таким образом, теория множеств в некотором смысле «субъективна» (предназначена для субъектов с конечным сознанием).

В данной работе изучаются некоторые свойства множеств мощности больше мощности континуума. В частности показывается, что любому множеству из некоторой построенной иерархии множеств (удовлетворяющих аксиоме выбора) можно взаимнооднозначно сопоставить набор трансфинитных чисел. Откуда следует, что любое множество из этой иерархии можно превратить в «трансфинитное метрическое пространство», т. е. задать на множестве «трансфинитное расстояние», удовлетворяющее известным аксиомам. При этом минимальный набор чисел для множеств указанной иерархии равен трем, т. е. минимальная размерность «трансфинитного метрического пространства» равна трем.

Описанные выше множества являются естественными верхними полурешетками. Именно из этого следует их минимальная «трансфинитная размерность». Приводятся также примеры частичных порядков, для которых минимальный набор трансфинитных чисел равен четырем и двум.

Кроме того, делается попытка найти множества, не удовлетворяющие аксиоме выбора. В частности, ей заведомо не удовлетворяет множество всех множеств вообще.

Мотивацией для выполнения данной работы было желание понять, почему пространство нашей вселенной трехмерно, а также желание понять, что определяет необратимость ее динамики (стрела времени).

1. Множества мощности

Мощность счетного множества обозначим как , мощность континуума – как . Мощность множества всех подмножества континуума обозначим как , мощность семейства всех подмножеств множества мощности - как и т. д. Вопрос о существовании промежуточных мощностей оставим открытым.

Аксиому выбора можно сформулировать в следующем рекурсивном виде: если множество мощности удовлетворяет аксиоме выбора, то и множество мощности удовлетворяют ей [2]. Иначе говоря, все множества мощности с конечным удовлетворяют этой аксиоме.

В качестве типичного представителя всех множеств заданной мощности можно взять трансфинитный отрезок той же мощности. Поэтому рассмотрим наглядное представление иерархии трансфинитных чисел возрастающих мощностей, соответствующих иерархии множеств мощности .

Для начала возьмем отрезок рациональных чисел . Он является всюду плотным и в то же время счетным. Растянем этот отрезок на всю положительную ось . Тогда рациональные числа будут выглядеть как натуральный ряд. Но это не значит, что промежутки меж ними пустые. Там находятся иррациональные числа, которые снова плотно заполняют эти промежутки.

А теперь растянем промежуток между соседними рациональными числами до бесконечности таким образом, чтобы иррациональные числа выглядели как дискретные. Но промежутки меж ними снова не пустые. Их плотно заселяют трансфинитные числа мощности . Такой процесс можно продолжить до любого с конечным .

Выше мы построили иерархию множеств возрастающих мощностей с помощью задания семейства всех подмножеств исходного множества. Существует еще один способ построения семейств множеств - с помощью декартова произведения [1] или обобщения понятия последовательности.

Например, известно, что семейство всех бинарных последовательностей несчетно, а значит и семейство всех бесконечных бинарных последовательностей тоже. Но последнее семейство эквивалентно декартову произведению по счетной системе индексов множества на себя. Иначе говоря, декартово произведение по счетной системе индексов индексированного семейства конечных множеств имеет мощность континуума.

Аналогично, семейство всех «последовательностей», порождаемых счетным множеством, имеет мощность . Пусть имеем исходное счетное множество . Без уменьшения общности его элементы можно считать натуральными числами в двоичном представлении. «Самые длинные» «последовательности», составленные из этих чисел включают бесконечное количество повторений каждого числа, соединенные во всех возможных порядках.

Таким образом, каждая из этих «последовательностей» эквивалентна множеству всех бинарных последовательностей, т. е. имеет мощность континуума. Отсюда, количество всех таких отрезков эквивалентно семейству всех несчетных подмножеств континуума и имеет мощность . В свою очередь, указанное семейство эквивалентно декартову произведению по счетной системе индексов счетного множества на себя.

Возникает интересный вопрос – какова мощность декартова произведения по системе индексов мощности множества мощности на себя. Равна ли эта мощность ?

Так как любое множество мощности с конечным можно вполне упорядочить [1], то ему действительно можно сопоставить один трансфинитный отрезок (мощности ). Но это требует специальных способов задания отношений полного порядка, зависящих от множеств. Попробуем найти более естественный и универсальный способ сопоставления множествам мощности трансфинитных чисел.

Самым естественным и универсальным отношением для всех множеств, удовлетворяющих аксиоме выбора, является отношение включения . Поскольку иерархия множеств мощности строилась через множество всех подмножеств, то возьмем некоторое множество из этой иерархии за исходное и построим семейство всех его подмножеств [1].

Частичный порядок на , определяемый отношением , является решеткой [1]. Для большей общности мы исключим из пустое множество . Тогда преобразуется в верхнюю полурешетку. Ее минимальными элементами будут элементы исходного множества , не имеющие структуры по .

Таким образом, задача свелась к поиску способа сопоставления трансфинитных чисел верхним полурешеткам.

Множество (т. е. , где - отношение принадлежности) непосредственно предшествует множеству в по отношению , если и в не существует таких, что ( - логическое «и»).

Непосредственной нижней алгебраической полуокрестностью не предельного элемента в частичном порядке назовем множество элементов из , непосредственно предшествующих . Подобным же образом определяется непосредственная верхняя полуокрестность элемента (через непосредственно следующие элементы). Непосредственная окрестность в , где знак объединения.

Непосредственной нижней полуокрестностью подсемейства назовем объединение непосредственных нижних полуокрестностей всех элементов из : . Здесь - элементы из . Определение непосредственной верхней полуокрестности и непосредственной окрестности подсемейства в очевидно.

В частности, можно определить непосредственную нижнюю полуокрестность для или непосредственно верхнюю полуокрестность для . Из сказанного следует, что в можно построить вложенную систему алгебраических полуокрестностей (или окрестностей) для произвольного элемента по отношению и что такая система будет вполне упорядочена.

Система полуокрестностей (окрестностей) элемента будет полной в , если она включает все полуокрестности (окрестности) в . Полная система полуокрестностей (окрестностей) имеет «наибольшую» или предельную полуокрестность (окрестность). Наибольшая полуокрестность совпадает с транзитивным замыканием . Полная система полуокрестностей по определению вполне упорядочена. Полная система нижних полуокрестностей исходного множества совпадает с . В произвольном частичном порядке полная система нижних полуокрестностей элемента выделяет верхнюю полурешетку с наибольшим элементом .

Вполне упорядоченной системе полуокрестностей любого элемента в по определению можно взаимнооднозначно сопоставить множество трансфинитных чисел , а каждой полуокрестности – трансфинитный -отрезок: . Это позволяет говорить об алгебраической полуокрестности порядка (о -полуокрестности) или . Само трансфинитное число определяет алгебраическую -границу окрестности .

Подчеркнем, что речь идет об алгебраических, а не топологических окрестностях и границах. Определение алгебраических окрестностей опирается на то, что всегда существует непосредственно предшествующий и непосредственно следующий элементы в любом частичном порядке. Определение топологических окрестностей опирается на то, что в не счетных множествах можно никогда не достигнуть границы окрестности дискретным перебором ее элементов.

Во вполне упорядоченной системе полуокрестностей система их границ также вполне упорядочена, если определить отношение порядка на множестве границ. Например, для границ нижних полуокрестностей определим по условию . И по определению . Если не существует , то будет наибольшей полуокрестностью во вполне упорядоченной их системе. Наибольшая нижняя полуокрестность исходного множества включает элементы .

Перейдем к частичным порядкам по отношению строгого включения . Элемент не может принадлежать одновременно нескольким границам вполне упорядоченной системы границ исходного множества . То же самое будет верным и для любой нижней полурешетки такой, что .

Действительно, элементы на одной границе по определению не сравнимы между собой по . Пусть от противного элемент принадлежит двум границам и , при этом для определенности . Тогда на находится - «прародитель» экземпляра из . Получаем противоречие: и одновременно они не сравнимы.

Если так, то в семействе полная система границ исходного множества образует расслоение . Во-первых, любая граница окрестности по определению не пересекается с непосредственно предшествующей окрестностью, а значит, она не пересекается и с ее границей. Во-вторых, для любого элемента из найдется наименьшая из окрестностей , которой он принадлежит, а значит, он принадлежит и только ей.

Далее отношения и частичные порядки, удовлетворяющие описанному требованию, будем называть правильными. Заметим, что отношение не обязательно является правильным.

Из сказанного следует, что «строгие» верхние полурешетки (по ) обладают следующим свойством:

- любой элемент является наибольшим элементом некоторой верхней полурешетки и одновременно наименьшим элементом хотя бы одного ограниченного полного порядка , такого, что наибольший элемент совпадает с - наибольшим элементом .

Иначе говоря, в «строгой» верхней полурешетке любой ее элемент , находящийся на произвольной не наибольшей -границе элемента , образует верхнюю полурешетку с наибольшим элементом . То есть, порядок есть семейство верхних полурешеток, в котором все полурешетки включаются в , а их наибольший элемент находится на какой-то границе .

Теперь можно ввести набор трансфинитных чисел (индексов), позволяющих взаимно однозначно сравнивать подмножества из по их расположению в модели .

Одно порядковое число мы уже ввели. Это индекс границы в полной системе нижних полуокрестностей элемента такой, что элемент принадлежит . Трансфинитный индекс можно назвать относительным «трансфинитным расстоянием» от . В дискретном случае введенный индекс называют обычно уровнем элемента в .

Но все элементы из уже не сравнимы по . Поэтому приходится вводить внешний для отношения способ «доупорядочения» состояний из .

Выделим во множестве некоторый элемент как «начало отсчета» и вполне упорядочим элементы границы относительно (если это возможно). Тогда этим элементам сопоставляется индекс как относительное «трансфинитное расстояние» от начала отсчета на -границе. Числа и однозначно выделяют элемент в семействе . Это значит, что они позволяют вполне упорядочить все такие элементы (например, лексикографически как элементы прямого произведения ). Но они еще не задают однозначно структуру , поскольку от к можно прийти разными путями.

Выделим непосредственную верхнюю полуокрестность элемента . В семействе она включается в непосредственно предшествующую к границу . В этой предшествующей границе имеется свое начало отсчета и расстояние от до непосредственно предыдущего состояния («родителя») у состояния . Для определенности назовем индекс «трансфинитным расстоянием» до предыдущего элемента.

Три «трансфинитных расстояния» – относительное расстояние от наибольшего элемента , расстояние от начального элемента на границе и расстояние до предыдущего элемента однозначно определяют положение элемента в . Они позволяют однозначно определить отношение (и вполне упорядочить множество пар этого отношения) в . Это справедливо и для любой верхней полурешетки .

Все сказанное выше о сопоставлении трансфинитных чисел множествам из , частично упорядоченным по , справедливо и для полурешеток по другим правильным отношениям порядка.

Поскольку верхние полурешетки ограничены сверху, то число всегда существует. Что касается двух других чисел, то они существуют, если существует возможность выделить начальный элемент и вполне упорядочить элементы на каждой границе (лучше всего с помощью единого для всех границ механизма).

Используя указанные числа, можно ввести «трансфинитное расстояние» на множестве . Возьмем, например, «строгую» верхнюю полурешетку мощности континуума , которая по числам представляется плоским треугольником. Возьмем в ней элементы и с числами , , , и , , и определим (в косоугольных координатах по и прямоугольной ) величину . Здесь – угол между и . Эта величина является расстоянием между состояниями в метрическом смысле и превращает указанную верхнюю полурешетку в обычное трехмерное метрическое пространство.

Если же мощность больше мощности континуума, то для определения «трансфинитного расстояния» по числам необходимо определить все операции, над трансфинитными числами мощности , используемые для определения расстояния, т. е. создать «трансфинитную арифметику» (и тригонометрию)[2].

Отметим еще раз, что если число определяется базовой структурой отношения на , то , и задаются дополнительными способами упорядочения границ окрестностей элемента в . В частности, выше рассматривалась возможность полного упорядочения каждой границы.

Пусть теперь нет возможности вполне упорядочить элементов на границах окрестностей (далее будем обозначать их как -окрестности и -границы или еще -окрестности, -границы). Но пусть для всех -границ существует частичный порядок, который обозначим как и для определенности назовем частичным приоритетом элементов на -границе.

Пусть далее частичный приоритет для всех является тоже «строгой» верхней полурешеткой и пусть ему, как и выше, взаимнооднозначно соответствуют три трансфинитных числа . Числа позволяют вполне упорядочить все элементы -границы. Т. е. в данном случае вместо одного свойства или индекса .необходимы два - . Расстояние до предыдущего элемента здесь не требуется. Это значит, что все равно каким путем мы придем к заданному элементу на -границе.

При этом определяется самим приоритетом , а снова требует внешнего способа упорядочения. Поскольку выше индекс также определялся через полный порядок на границе, то в данном случае вместо него также нужны два числа – .(определяется по ) и (опять требует нового отношения порядка).

В итоге если границы упорядочены лишь частично как «строгие» верхние полурешетки, то «трансфинитное расстояние» будет пятимерным. Тогда верхней полурешетке при соответствующих условиях будет соответствовать пятимерное «трансфинитное пространство». Ясно, что можно «гнать зайца дальше в лес» и предполагать, что границы окрестностей по частичному приоритету снова нельзя вполне упорядочить, но можно ввести частичный приоритет и т. д.

Нижние полурешетки описываются аналогично верхним. Решетки также однозначно представляются минимум тремя порядковыми числами. При этом окрестности в решетке можно строить по любому из отношений или .

Итак, только в достаточно частном случае «строгой» полурешетке или решетке соответствует трехмерное «трансфинитное пространство». Такая размерность является минимально возможной для верхних полурешеток и соответствует возможности полного упорядочения всех границ. В общем случае полурешеткам соответствует «трансфинитное пространство» любой конечной размерности (большей трех). В частности, выше рассмотрен случай размерности, удовлетворяющей условию . Если же процесс задания частичных приоритетов даже не сходится, то такой верхней полурешетке соответствует бесконечномерное «трансфинитное пространство».

Но существуют ли частичные порядки другого типа, которые взаимнооднозначно представляются другим количеством трансфинитных чисел? Ясно, что вполне упорядоченные множества представляются одним числом (точнее одним отрезком). Неограниченный правильный линейный порядок можно разбить на два множества, выбрав некоторый элемент за начало отсчета. Тогда одно множество будет вполне упорядочено по отношению , а другое – по . Отсюда следует, что правильные линейные порядки представляются не более чем двумя числами, одно из которых бинарное.

Неправильный линейный порядок представляется двумя трансфинитными числами. В качестве примера можно привести вещественный квадрат, в котором горизонтальные (или вертикальные) отрезки упорядочены по возрастанию, а все числа одного отрезка эквивалентны.

«Строгой» квазирешеткой назовем модель с отношением строгого порядка , в котором любые два элемента сравнимы по эквивалентности . Квазирешетку можно представить как объединение строгих верхних или нижних полурешеток или и тех и других. Для краткости ограничимся первым случаем. Допустим, что все полурешетки, входящие в можно вполне упорядочить, а значит и выбрать «начальную полурешетку». Тогда квазирешетке сопоставляются минимум четыре трансфинитных числа: одно число задает индекс полурешетки, а остальные три – «путь» к элементу в этой полурешетке. Способы возрастания «трансфинитной размерности» квазирешеток очевидны.

Рассмотрим еще пример неограниченных частичных порядков.

Пусть имеем «строгий» частичный порядок , обладающий следующими свойствами:

- каждый не предельный элемент является наибольшим элементов некоторой правильной верхней полурешетки и одновременно является наименьшим элементом неограниченного сверху полного порядка ;

- , где для всех (и произвольного непредельного ).

Тогда частичный порядок назовем «неограниченной правильной верхней полурешеткой». Легко видеть, что «неограниченные верхние полурешетки» представляются не менее чем четырьмя числами. Иначе говоря, неограниченная полурешетка не может быть трехмерной.

2. О множествах, не удовлетворяющих аксиоме выбора

Выше бегло рассмотрены некоторые свойства множеств мощности . Возникает вопрос: удовлетворяют ли аксиоме выбора множества предельной мощности .

Скорее всего, указанные множества предельной мощности не удовлетворяют аксиоме выбора. Эта аксиома интерпретируется как возможность выделения любого подмножества в произвольном множестве. Выделение осуществляется по соответствующему свойству элементов (например, выделение простых чисел из натурального ряда). При этом алгоритм выделения в пределе (для бесконечно больших чисел) будет иметь бесконечную длину. Для множеств мощности , видимо, нельзя выделить их произвольные подмножества тоже мощности (описание свойства, по которому идет выделение, будет иметь бесконечную длину).

Существуют ли множества мощности больше, чем ? Если множества мощности удовлетворяют аксиоме выбора, то ответ очевиден – семейство всех подмножеств множества мощности имеет мощность больше . Таким образом, можно говорить о множествах , их пределе и т. д. Если же множества мощности не удовлетворяют аксиоме выбора, то для них нельзя построить семейство всех их подмножеств. Иначе говоря, нельзя построить множество мощности и всех следующих мощностей.

Существует еще один класс экзотических абстрактных конструкций, которые в расширительном смысле можно назвать множествами. Это семейства всех множеств заданной мощности . Скорее всего они также не удовлетворяют аксиоме выбора. Для определенности возьмем множества мощности . К ним в том числе относятся все возможные варианты подмножеств мощности из семейств всех более высоких мощностей, чем . Ясно, что в итоге мы получим мощность не менее чем .

Возникает и еще более экзотический вопрос - существует ли «множество» наибольшей мощности? Ответ положительный – это семейство всех множеств вообще. Это устрашающее семейство является рефлексивным в том смысле, что включает самого себя как свое истинное подмножество и как свой элемент. Иначе говоря, оно заведомо не удовлетворяет аксиоме выбора. На нем нельзя задать никаких теоретико-множественных отношений и свойств. В частности, ему нельзя сопоставить никакую конечную совокупность трансфинитных чисел.

Может быть, в нем и можно выделить некоторое конкретное подмножество мощности при конечном . Но при этом нельзя гарантировать, что мы выделили все элементы с соответствующим свойством. Скорее можно гарантировать, что выделили не все.

Если бы семейство не было рефлексивным, то оно было бы верхней полурешеткой. Действительно, объединение любых двух множеств по определению принадлежит и является верхней гранью этих множеств. Но проверить это конструктивно нельзя, так как на нельзя конструктивно определить операцию объединения его произвольных подмножеств.

Рассмотрим семейство всех «других множеств». Оно отличается от тем, что не содержит самого себя. Добавим в элемент . Мы построили множество , которое снова не содержит самого себя. Добавив в элемент мы построим множество . И т. д. В итоге

Литература

Алгебраические системы. М. «Наука» 1970 К. Куратовский Топология. Том. 1. М. «Мир» 1966 Математический анализ. Специальный курс. М. «ФМ» 1961

About sets of superior powers

Abstract.

It is described some properties of sets with power of a set more then power of the continuum. It is considered even sets out of the axiom of choice.

[1] Интересно отметить, что исходное множество одновременно является и элементом , и подмножеством элементов из .

[2] Кроме ввода понятия угла, операций , и т. п. возникает общий вопрос. Для континуума существует развитый аппарат математического анализа. Возможно ли его расширение на множества высших мощностей. Интуитивно это кажется возможным. Ведь такие множества «еще более непрерывны», чем континуум. Но возникают вопросы о фундаментальности и сходимости последовательностей, сходимости сумм (например, при определении интегралов) и т. д. Ведь при определении пределов и сумм в анализе рассматривается только счетные последовательности. Или еще возникают вопросы об определении, например, гильбертовых пространств и т. п..