Рассмотрим два ряда:
Y – кредит доходов (базисный индекс)
X – счет товаров и услуг
Представленные ряды стационарны и нулевого порядка интегрированности, следовательно, для них можно построить семь типов моделей: статическая регрессия, процесс авторегрессии, модель опережающего показателя, модель распределенных запаздываний, модель частичной корректировки, фальстарт или приведенная форма, авторегрессионные ошибки.
Модель скорости роста построить нельзя, потому что для этой модели порядок интегрированности ряда X должен быть на порядок выше ряда Y.
1.Модель статической регрессии.
Yt = α0 + α1 Xt
Оценим данную модель:
Dependent Variable: Y | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/30/07 Time: 17:11 | ||||
Sample(adjusted): 1996:2 2006:1 | ||||
Included observations: 40 after adjusting endpoints | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
X | -0.000149 | 0.000899 | -0.165449 | 0.8695 |
C | 1.184352 | 0.246837 | 4.798120 | 0.0000 |
R-squared | 0.000720 | Mean dependent var | 1.205866 | |
Adjusted R-squared | -0.025577 | S. D. dependent var | 1.310290 | |
S. E. of regression | 1.326940 | Akaike info criterion | 3.452336 | |
Sum squared resid | 66.90930 | Schwarz criterion | 3.536780 | |
Log likelihood | -67.04671 | F-statistic | 0.027374 | |
Durbin-Watson stat | 0.219020 | Prob(F-statistic) | 0.869467 |
Для проверки качества построенной модели необходимо оценить коэффициент детерминации R2, t-статистики и статистику DW для определения наличия автокорреляции остатков.
В данной модели R2 =0.000720. Для проверки значимости данного коэффициента воспользуемся F-статистикой. Т. к. Prob(F-statistics) > 0,05, то это позволяет нам сделать вывод о том, что R2 не значим, а, следовательно, между переменными отсутствует связь.
Также мы оцениваем коэффициенты уравнения с помощью t-статистик. Т. к. Prob t –статистики при Х > 0,05, что говорит о незначимости коэффициента при данной переменной.
Проверять статистику DW нет смысла, т. к. модель уже неудовлетворительна.
Таким образом, построенная модель зависимости Y от X является неадекватной.
2. Процесс авторегрессии.
Yt = β0 + β1 Yt-1
Оценим данную модель:
Dependent Variable: Y |
| ||||
Method: Least Squares | |||||
Date: 04/30/07 Time: 17:14 | |||||
Sample(adjusted): 1996:3 2006:1 | |||||
Included observations: 39 after adjusting endpoints | |||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
|
C | 0.150801 | 0.135245 | 1.115017 | 0.2720 |
|
Y(-1) | 0.926236 | 0.079673 | 11.62541 | 0.0000 |
|
R-squared | 0.785071 | Mean dependent var | 1.211574 |
| |
Adjusted R-squared | 0.779263 | S. D. dependent var | 1.326914 |
| |
S. E. of regression | 0.623420 | Akaike info criterion | 1.942728 |
| |
Sum squared resid | 14.38015 | Schwarz criterion | 2.028039 |
| |
Log likelihood | -35.88320 | F-statistic | 135.1503 |
| |
Durbin-Watson stat | 1.478785 | Prob(F-statistic) | 0.000000 |
|
В данной модели R2 = 0.785071 . Т. к. Prob(F-statistics) < 0.05, то R2 значим, т. е. между рядами существует зависимость.
Оценим LM-статистику:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | |||||
F-statistic | 2.747732 | Probability | 0.106083 |
| |
Obs*R-squared | 2.765621 | Probability | 0.096309 |
| |
| |||||
Test Equation: | |||||
Dependent Variable: RESID | |||||
Method: Least Squares | |||||
Date: 04/30/07 Time: 17:15 | |||||
Presample missing value lagged residuals set to zero. | |||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
|
C | 0.115479 | 0.149397 | 0.772965 | 0.4446 |
|
Y(-1) | -0.113757 | 0.103784 | -1.096093 | 0.2803 |
|
RESID(-1) | 0.387010 | 0.233472 | 1.657628 | 0.1061 |
|
R-squared | 0.070913 | Mean dependent var | 1.65E-16 |
| |
Adjusted R-squared | 0.019297 | S. D. dependent var | 0.615163 |
| |
S. E. of regression | 0.609198 | Akaike info criterion | 1.920457 |
| |
Sum squared resid | 13.36041 | Schwarz criterion | 2.048423 |
| |
Log likelihood | -34.44891 | F-statistic | 1.373866 |
| |
Durbin-Watson stat | 1.565990 | Prob(F-statistic) | 0.266080 |
|
Автокорреляции остатков не наблюдается, следовательно, можем сделать вывод об адекватности модели.
3. Модель опережающего показателя
Yt = α0 + α1 Xt-1
Dependent Variable: Y |
| ||||
Method: Least Squares |
| ||||
Date: 04/30/07 Time: 17:16 |
| ||||
Sample(adjusted): 1996:2 2006:1 |
| ||||
Included observations: 40 after adjusting endpoints |
| ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
|
C | 1.297129 | 0.250232 | 5.183714 | 0.0000 |
|
X(-1) | 0.000598 | 0.000905 | 0.660950 | 0.5126 |
|
R-squared | 0.011366 | Mean dependent var | 1.205866 |
| |
Adjusted R-squared | -0.014651 | S. D. dependent var | 1.310290 | ||
S. E. of regression | 1.319853 | Akaike info criterion | 3.441625 | ||
Sum squared resid | 66.19649 | Schwarz criterion | 3.526069 | ||
Log likelihood | -66.83250 | F-statistic | 0.436856 | ||
Durbin-Watson stat | 0.209416 | Prob(F-statistic) | 0.512632 |
R2 = 0.011366 и F-статистика > 0,05, что говорит о низком качестве уравнения. Т-статистика при Х(-1) равна 0. (Prob > 0,05) => коэффициент при зависимой переменной Х(-1) не значим. Таким образом, делаем вывод, что связи между уравнениями нет.
4. Модель распределенных запаздываний
Yt = α0 + α1 Xt + α2Xt-1
Оценим данную модель:
Dependent Variable: Y | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/30/07 Time: 17:17 | ||||
Sample(adjusted): 1996:2 2006:1 | ||||
Included observations: 40 after adjusting endpoints | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
C | 1.296365 | 0.305612 | 4.241862 | 0.0001 |
X | -4.18E-06 | 0.000934 | -0.004474 | 0.9965 |
X(-1) | 0.000597 | 0.000946 | 0.631221 | 0.5318 |
R-squared | 0.011366 | Mean dependent var | 1.205866 | |
Adjusted R-squared | -0.042074 | S. D. dependent var | 1.310290 | |
S. E. of regression | 1.337570 | Akaike info criterion | 3.491624 | |
Sum squared resid | 66.19645 | Schwarz criterion | 3.618290 | |
Log likelihood | -66.83249 | F-statistic | 0.212690 | |
Durbin-Watson stat | 0.209458 | Prob(F-statistic) | 0.809388 |
В данной модели R2 = 0,011366. Т. к. Prob(F-statistics) > 0,05, то R2 незначим, а, следовательно, между переменными зависимости нет.
Т-статистика оказалась при Х(-1) незначима.
Делать проверку на автокорреляцию остатков нет необходимости.
Таким образом, в виду низких показателей статистик и незначимости коэффициента, данная модель также является неудовлетворительной.
5. Модель частичной корректировки
Yt = α0 + β1 Yt-1 + α1Xt
Dependent Variable: Y |
| ||||
Method: Least Squares |
| ||||
Date: 04/30/07 Time: 17:19 |
| ||||
Sample(adjusted): 1996:3 2006:1 |
| ||||
Included observations: 39 after adjusting endpoints |
| ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
|
C | 0.199942 | 0.144752 | 1.381277 | 0.1757 |
|
Y(-1) | 0.934895 | 0.080268 | 11.64723 | 0.0000 |
|
X | 0.000408 | 0.000425 | 0.959595 | 0.3437 |
|
R-squared | 0.790432 | Mean dependent var | 1.211574 | ||
Adjusted R-squared | 0.778789 | S. D. dependent var | 1.326914 | ||
S. E. of regression | 0.624088 | Akaike info criterion | 1.968754 | ||
Sum squared resid | 14.02150 | Schwarz criterion | 2.096720 | ||
Log likelihood | -35.39069 | F-statistic | 67.89093 | ||
Durbin-Watson stat | 1.452007 | Prob(F-statistic) | 0.000000 |
В данной модели R2 = 0.790432 . Т. к. Prob(F-statistics) < 0.05, то R2 значим.
Т-статистика при коэффициенте Х незначима.
Оценим LM-статистику:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: |
| ||||
F-statistic | 3.812412 | Probability | 0.058909 |
| |
Obs*R-squared | 3.830838 | Probability | 0.050318 |
| |
| |||||
Test Equation: |
| ||||
Dependent Variable: RESID |
| ||||
Method: Least Squares |
| ||||
Date: 04/30/07 Time: 17:19 |
| ||||
Presample missing value lagged residuals set to zero. |
| ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
|
C | 0.214491 | 0.177489 | 1.208477 | 0.2350 |
|
Y(-1) | -0.150896 | 0.109309 | -1.380450 | 0.1762 |
|
X | 0.000446 | 0.000469 | 0.950070 | 0.3486 |
|
RESID(-1) | 0.546535 | 0.279910 | 1.952540 | 0.0589 |
|
R-squared | 0.098227 | Mean dependent var | 3.30E-16 |
| |
Adjusted R-squared | 0.020932 | S. D. dependent var | 0.607443 |
| |
S. E. of regression | 0.601052 | Akaike info criterion | 1.916644 |
| |
Sum squared resid | 12.64422 | Schwarz criterion | 2.087265 |
| |
Log likelihood | -33.37455 | F-statistic | 1.270804 |
| |
Durbin-Watson stat | 1.516820 | Prob(F-statistic) | 0.299451 |
Делаем вывод о наличии автокорреляции, из-зи автокорреляции прогнозные качества модели ухудшаются. Также в модели есть незначимая переменная, значит, в целом, модель неадекватна.
6.Фальстарт или приведенная форма
Yt = α0 + β1 Yt-1 + α1Xt-1
Dependent Variable: Y | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/30/07 Time: 17:20 | ||||
Sample(adjusted): 1996:3 2006:1 | ||||
Included observations: 39 after adjusting endpoints | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
C | 0.283987 | 0.137763 | 2.061428 | 0.0465 |
Y(-1) | 0.940960 | 0.074924 | 12.55886 | 0.0000 |
X(-1) | 0.000995 | 0.000403 | 2.470988 | 0.0183 |
R-squared | 0.816238 | Mean dependent var | 1.211574 | |
Adjusted R-squared | 0.806029 | S. D. dependent var | 1.326914 | |
S. E. of regression | 0.584401 | Akaike info criterion | 1.837344 | |
Sum squared resid | 12.29488 | Schwarz criterion | 1.965311 | |
Log likelihood | -32.82821 | F-statistic | 79.95298 | |
Durbin-Watson stat | 1.720209 | Prob(F-statistic) | 0.000000 |
В данной модели R2 = 0,816238. Т. к. Prob(F-statistics) < 0,05, то R2 значим, а, следовательно, между переменными существует зависимость.
Т-статистикапри всех коэффициентах значимы.
Оценим LM-статистику:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | ||||
F-statistic | 0.413115 | Probability | 0.524581 | |
Obs*R-squared | 0.454958 | Probability | 0.499990 | |
Test Equation: | ||||
Dependent Variable: RESID | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/30/07 Time: 17:21 | ||||
Presample missing value lagged residuals set to zero. | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
C | 0.023002 | 0.143436 | 0.160366 | 0.8735 |
Y(-1) | -0.047266 | 0.105425 | -0.448336 | 0.6567 |
X(-1) | -0.000166 | 0.000481 | -0.345069 | 0.7321 |
RESID(-1) | 0.176322 | 0.274329 | 0.642740 | 0.5246 |
R-squared | 0.011666 | Mean dependent var | 1.25E-16 | |
Adjusted R-squared | -0.073049 | S. D. dependent var | 0.568814 | |
S. E. of regression | 0.589223 | Akaike info criterion | 1.876892 | |
Sum squared resid | 12.15145 | Schwarz criterion | 2.047514 | |
Log likelihood | -32.59940 | F-statistic | 0.137705 | |
Durbin-Watson stat | 1.789806 | Prob(F-statistic) | 0.936816 |
Автокорелляции остатков не наблюдается. По всем показателям делаем вывод, что модель – адекватна.
7.Авторегрессионные ошибки
Yt = α0 + α1Xt + β1 Yt-1 - α1 β1 Xt-1
Dependent Variable: Y |
| ||||
Method: Least Squares |
| ||||
Date: 04/30/07 Time: 17:22 |
| ||||
Sample(adjusted): 1996:3 2006:1 |
| ||||
Included observations: 39 after adjusting endpoints |
| ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
|
C | 0.393717 | 0.147590 | 2.667636 | 0.0115 |
|
X | 0.000707 | 0.000401 | 1.766243 | 0.0861 |
|
Y(-1) | 0.958681 | 0.073499 | 13.04342 | 0.0000 |
|
X(-1) | 0.001178 | 0.000405 | 2.910829 | 0.0062 |
|
R-squared | 0.831277 | Mean dependent var | 1.211574 | ||
Adjusted R-squared | 0.816815 | S. D. dependent var | 1.326914 | ||
S. E. of regression | 0.567921 | Akaike info criterion | 1.803245 | ||
Sum squared resid | 11.28869 | Schwarz criterion | 1.973867 | ||
Log likelihood | -31.16329 | F-statistic | 57.48019 | ||
Durbin-Watson stat | 1.506483 | Prob(F-statistic) | 0.000000 |
В данной модели R2 = 0,831277. Т. к. Prob(F-statistics) < 0,05, то R2 значим, а, следовательно, между переменными существует зависимость.
Т-статистика при коэффициенте Х оказалась незначимой.
Оценим LM-статистику:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: |
| ||||
F-statistic | 1.838926 | Probability | 0.184015 |
| |
Obs*R-squared | 2.001124 | Probability | 0.157183 |
| |
| |||||
Test Equation: | |||||
Dependent Variable: RESID | |||||
Method: Least Squares | |||||
Date: 04/30/07 Time: 17:23 | |||||
Presample missing value lagged residuals set to zero. | |||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
|
C | 0.106838 | 0.165771 | 0.644494 | 0.5236 |
|
X | 0.000208 | 0.000424 | 0.489490 | 0.6276 |
|
Y(-1) | -0.086572 | 0.096702 | -0.895245 | 0.3770 |
|
X(-1) | -5.15E-05 | 0.000402 | -0.128066 | 0.8989 |
|
RESID(-1) | 0.366987 | 0.270626 | 1.356070 | 0.1840 |
|
R-squared | 0.051311 | Mean dependent var | 1.88E-16 |
| |
Adjusted R-squared | -0.060300 | S. D. dependent var | 0.545042 |
| |
S. E. of regression | 0.561235 | Akaike info criterion | 1.801853 |
| |
Sum squared resid | 10.70946 | Schwarz criterion | 2.015130 |
| |
Log likelihood | -30.13614 | F-statistic | 0.459732 |
| |
Durbin-Watson stat | 1.611657 | Prob(F-statistic) | 0.764678 |
|
Автокорреляции остатков не обнаруживается. Коэффициент Х неадекватен по отношению к данной модели, соответственно неадекватна вся модель.
Вывод: Из всех построенных моделей адекватными являются только две, это подтверждает, что зависимость между двумя рядами отсутствует.
