Сложные радикалы

Освобождение от внешнего корня в сложном радикале

Метод

Описание преобразования

Пример

Выделение полного квадрата под корнем

Если подкоренное выражение в сложном радикале представляет собой полный квадрат, то можно освободиться от внешнего корня, применив тождество

Освободиться от внешнего радикала в выражении .

Решение.

Метод неопределенных коэффициентов

Если устный подбор полного квадрата под внешним корнем сложного радикала затруднителен, можно попытаться выделить полный квадрат методом неопределенных коэффициентов

Освободиться от внешнего радикала в выражении

методом неопределенных коэффициентов.

Решение.

Пусть существуют целые х и у такие, что

Возведем уравнение системы в квадрат:

Тогда

Для целых х и у возможны 4 варианта: (3;1), (1;3), (-3;-1), (-1;-3), второй и третий из которых не удовлетворяют неравенству .

Рассмотрим первый и четвертый варианты:

1.

2. Решений нет.

Следовательно, х = 3, у = 1 и

Метод

Описание преобразования

Пример

Применение формул сложных радикалов

В некоторых примерах удается освободиться от внешнего корня с помощью формул сложных радикалов:

В случае если является точным квадратом, эти формулы позволяют представить сложный радикал в виде суммы двух простых радикалов.

Эти формулы можно легко доказать, убедившись в том, что левая и правая части при неотрицательны, и возведя обе части формул в квадрат .

Представьте сложный радикал в виде суммы двух простых радикалов.

Решение.