Что такое число 
?
График функции 
пересекает ось 
с углом наклона меньше, чем 45°. График функции 
пересекает ось с углом наклона больше, чем 45°.
Значит, должно существовать
такое основание , что график функции
пересекает ось в точности под углом 45°.
Эта фраза и служит определением числа , которое называется также основанием натуральных логарифмов.
Существует единственная прямая, которая тоже проходит через точку (0,1) и пересекает ось тоже под углом 45°, – это прямая
.
Поэтому определение числа можно переформулировать еще и следующим образом:
число – это такое основание, что график функции
касается прямой в точке (0,1),
или еще по-другому
число – это такое основание, что при малых
выполняется приближенное равенство.
Пока, кроме неравенства
,
мы так до сих пор ничего не знаем о точном значении величины . Но посмотрим, что можно извлечь из его определения, в частности из последней формулировки. Итак, возьмем большое число 
и запишем
.
Последнее в этой цепочке приближенное равенство было получено следующим образом: из того, что большое число, следует, что 
– маленькое, и, значит, по определению числа мы можем заменить 
на 
. Равенство
является приближенным, но оно становится все более и более точным с ростом числа . Проверим это с помощью MathCAD.
К правой части приближенного равенства для 
можно применить формулу бинома Ньютона, и это даст еще один способ для вычисления
.
Опять посчитаем приближенное значение , используя MathCad.
Этот ряд быстро сходится, и мы легко получили с девятью знаками после запятой.
Обозначение для основания натуральных логарифмов было введено Эйлером в 1728 г. Число вместе с 
является самым важным во всей математике.
