Задачи

Задачи

1. Являются ли последовательности ограниченными, бесконечно малыми, бесконечно большими? На множестве действительных чисел указать наибольший и наименьший члены последовательностей, если они существуют.

1.  .	2.  .
3.  .	4.  .
5.  .	6.  .
7.  .	8.  .
9.  .	10.  .
11.  .	12.  .
13.  .	14.  .
15.  .	16.  .
17.  .	18.  .
19.  .	20.  .
21.  .	22.  .
23.  .	24.  .
25.  .	26.  .
27.  .	28.  .
29.  .	30.  .

2. Доказать, пользуясь определением предела последовательности, что:

1.  .	2.  .
3.  .	4.  .
5.  .	6.  .
7.  .	8.  .
9.  .	10. .
11. .	12. .
13. .	14. .
15. .	16. .
17. .	18. .
19. .	20. .
21. .	22. .
23. .	24. .
25. .	26. .

Показать, что последовательности п. п. 27-30 расходятся.

27. .	28. .
29. .	30. .

3. Воспользовавшись теоремой Вейерштрасса (о сходимости монотонной ограниченной последовательности), доказать сходимость следующих последовательностей:

1.  .	2.  .
3.  .	4.  .
5.  .	6.  .
7.  .	8.  .
9.  .	10. .
11. .	12. .
13. .	14. .
15. .	16. .
17. .	18. .
19. .	20. .
21. .	22. .
23. .	24. .
25. .	26. .
27. .	28. .
29. .	30. .

4. Воспользовавшись теоремой Вейерштрасса, найти пределы последовательностей, заданных рекуррентно:

1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
7.  .
8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
13.  .
14.  .
15.  .
16.  .
17.  .
18.  .
19.  .
20.  .
21.  .
22.  .
23.  .
24.  .
25.  .
26.  .
27.  .
28.  .
29.  .
30.  .

5. Критерий Коши сходимости последовательностей.

5.1. Доказать по определению, что последовательность является фундаментальной.

5.2. Является ли последовательность фундаментальной?

5.3. Пусть (пятерок ровно штук). Доказать, что – фундаментальная последовательность.

5.4. Используя критерий Коши, выяснить, сходится ли последовательность ?

5.5. Используя критерий Коши, доказать сходимость последовательности .

5.6. Используя критерий Коши, доказать сходимость последовательности .

5.7. Используя критерий Коши, доказать сходимость последовательности .

5.8. Используя критерий Коши, доказать сходимость последовательности .

5.9. Является ли последовательность фундаментальной?

5.10. Доказать, что последовательность является фундаментальной.

5.11. Показать, что последовательность не является фундаментальной.

5.12. Показать, что , если .

5.13. Доказать по определению, что последовательность является фундаментальной.

5.14. Пусть . Доказать, что – фундаментальная последовательность.

5.15. Используя критерий Коши, доказать сходимость последовательности .

5.16. Используя критерий Коши, доказать сходимость последовательности .

5.17. Доказать, что последовательность является фундаментальной.

5.18. Показать, что последовательность не является фундаментальной.

5.19. Используя критерий Коши, доказать сходимость последовательности .

5.20. Показать, что последовательность не является фундаментальной.

5.21. Доказать, что последовательность является фундаментальной.

5.22. Используя критерий Коши, доказать сходимость последовательности .

5.23. Используя критерий Коши, доказать сходимость последовательности .

5.24. Доказать, что последовательность является фундаментальной.

5.25. Показать, что последовательность не является фундаментальной.

5.26. Доказать, что последовательность является фундаментальной.

5.27. Используя критерий Коши, доказать сходимость последовательности .

5.28. Используя критерий Коши, доказать сходимость последовательности .

5.29. Доказать, что последовательность является фундаментальной.

5.30. Показать, что последовательность не является фундаментальной.

5.31.

6. Найти пределы:

1.  .	2.  .
3.  .
4.  .
5.  .	6.  .
7.  .
8.  .
9.  .	10.  .
11.  .	12.  .
13.  .	14.  .
15.  .
16.  .
17.  .	18.  .
19.  .	20.  .
21.  .	22.  .
23.  .	24.  .
25.  .	26.  .
27.  .	28.  .
29.  .
30.  .

7. Найти пределы:

1.  .	2.  .
3.  .	4.  .
5.  .	6.  .
7.  .	8.  .
9.  .	10.  .
11.  .	12.  .
13.  .	14.  .
15.  .	16.  .
17.  .	18.  .
19.  .	20.  .
21.  .	22.  .
23.  .	24.  .
25.  .	26.  .
27.  .	28.  .
29.  .	30.  .

8. Найти пределы:

1.  .	2.  .
3.  .	4.  .
5.  .	6.  .
7.  .	8.  .
9.  .	10.  .
11.  .	12.  .
13.  .	14.  .
15.  .	16.  .
17.  .	18.  .
19.  .	20.  .
21.  .	22.  .
23.  .
24.  .
25.  .
26.  .
27.  .
28.  .
29.  .
30.  .

9. Найти пределы:

1.  .	2.  .
3.  .	4.  .
5.  .	6.  .
7.  .	8.  .
9.  .	10.  .
11.  .	12.  .
13.  .	14.  .
15.  .	16.  .
17.  .	18.  .
19.  .	20.  .
21.  .	22.  .
23.  .	24.  .
25.  .	26.  .
27.  .	28.  .
29.  .
30.  .

10. Исследовать сходимость последовательностей:

1.  .	2.  .
3.  .	4.  .
5.  .	6.  .
7.  .	8.  .
9.  .	10.  .
11.  .	12.  .
13.  .	14.  .
15.  .	16.  .
17.  .	18.  .
19.  .	20.  .
21.  .	22.  .
23.  .	24.  .
25.  .	26.  .
27.  .	28.  .
29.  .
30.  .