Урок по теме «Задачи на сочетания» в 6 классе
Учитель математики МОУ-СОШ №3 г. Маркса
25 марта 2008 года
Цель : образовательная : формировать умение решать комбинаторные задачи, в которых нужно посчитать варианты выбора из данного количества элементов нескольких элементов;
развивающая : развивать логическое мышление, умение рассуждать;
воспитательная: воспитывать любовь к математике, интерес.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Устная работа
Включается презентация ( слайд 2,3 ) задача : Сколькими способами можно на полках расставить 3 книги?
Вопросы :
- Какие обозначения удобно вводить при решении комбинаторных задач?
Удобно обозначать предметы заглавными буквами, с которых начинается название этих предметов, или нумеровать предметы (кодировать)
- В чем состоит особенность задач на перестановки?
Нужно подсчитать число всевозможных способов перестановок
- Как решаются задачи на перестановки?
С помощью дерева вариантов или составлением таблицы
- Сколько можно составить перестановок из трех элементов?
Из трех элементов можно составить 6 перестановок
3. Объяснение нового материала
На прошлом уроке вы познакомились с комбинаторными задачами на перестановки. Сегодня мы рассмотрим другой вид задач. Чтобы понять их особенности, решим такие задачи
Задача 1. В школе учатся 4 мальчика, которые хорошо играют в волейбол. Сколькими способами можно выбрать из них двух человек для участия в соревнованиях?
Решение:
Дадим каждому мальчику номер от1 до 4. Тогда каждая пара будет закодирована двузначным числом. Ясно, что кодов 11, 22, 33, 44 быть не может. Кроме того, такие коды, как, например, 24 и 42, означают одну и ту же пару мальчиков, поэтому нужно учитывать только одно из таких чисел. Получим такие коды:
12, 13, 14
23, 24
34
Таким образом, выбрать двух школьников из четырех можно шестью способами.
Задача 2. ( из текста учебника) Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить с любого из четырех языков – русского, английского, французского, немецкого - на любой другой из этих языков?
Решение:
Каждый из языков обозначим его первой буквой, и тогда каждый словарь будет обозначен, например так АН, ФР, и т. д.
Выпишем для удобства подсчетов вариантов эти обозначения в отдельные строки:
АН АР АФ
НА НР НФ
РА РН РФ
ФА ФН ФР
Таким образом переводчику понадобилось 12 словарей.
Вопросы: ( слайд 4)
- Что общего в этих задачах?
И в той, и в другой задаче из четырех элементов нужно было выбрать по два элемента всеми возможными способами.
- Почему в первой задаче мы получили 6 способов, а во второй 12?
В первой задаче коды 12 и 21 считались одинаковыми, а во второй АН и НА – разными.
Таким образом, в обеих задачах нужно было составить сочетания из четырех элементов по два. В первой задаче нам был не важен порядок этих сочетаний, то есть выбор двух школьников был равноправен. Во второй задаче при работе с двумя языками, например с русским и английским, нужны два словаря : англо-русский и русско-английский. Поэтому порядок сочетаний был важен, и именно поэтому в результате получилось ровно в два раза больше вариантов.
Комбинаторные задачи, в которых нужно выбрать из n элементов m элементов всевозможными способами называются задачами на сочетания. Решаются такие задачи кодированием и подсчетом кодов путем
расположения их в таблицу треугольником или прямоугольником.
4. Формирование умений и навыков
Задача 3.( из текста учебника) При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?
Решение:
Дадим каждому из приятелей номер – от 1 до 8. Тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным числом. Для подсчета расположим коды треугольником
1218
23
34
45
56 57 58
67 68
78
Число рукопожатий равно : 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28
Задача 4 ( из учебника № 000) На районной олимпиаде по математике оказалось шесть победителей. Однако на областную олимпиаду можно отправить только двоих.
а) Сколько существует вариантов выбора двух кандидатов?
б) Сколько существует вариантов, если один из шести ребят признан лучшим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде?
Решение:
а) Дадим каждому победителю номер – от 1 до 6.Составим треугольник
12
23
34 35 36
45 46
56
Число пар кандидатов равно: 5 + 4 + 3 + 2 +1 = 15
Значит существует 15 вариантов выбора двух кандидатов.
б) Если один из ребят признан лучшим, например 1, то число вариантов будет равно 5.
Задача 5. ( из учебника № 000) К переправе одновременно подошли пять человек. Лодочник сказал, что в его лодке поместятся только два пассажира.
а) Сколькими способами можно выбрать двоих пассажиров из пяти?
б) Сколько существует способов выбора пассажиров, если одного из них необходимо срочно отправить на другой берег в больницу?
в) Предположим, лодочник отвез двоих пассажиров и вернулся за оставшимися. Сколькими способами можно выбрать того, кому придется остаться?
Решение:
а) Дадим каждому пассажиру номер – от 1 до 5. Составим треугольник
12
23 24 25
34 35
45
Число пар пассажиров равно: 4 + 3 + 2 + 1 = 10, значит можно выбрать двумя способами.
б) Если одного из пассажиров необходимо срочно отправить, то его можно отправить с любым из четырех других пассажиров, т. е. 4 способами, оставшихся троих можно отправить 3 способами, значит, всего получаем 7 способов.
в) После того, как двое уехали, осталось трое, значит тремя способами можно выбрать того, кто должен остаться.
Задача 6. ( из учебника № 000) Человек забыл код, открывающий замок на его чемодане, но вспомнил, что код состоит из трех разных цифр, каждая из которых не больше3. Кроме того, в код точно не входят сочетание 13. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть чемодан?
Решение:
Так как код состоит из трех цифр, каждая из которых не больше 3, то это цифры 0, 1, 2, 3. Составим таблицу всевозможных сочетаний из трех цифр.
Но так как в код не входит сочетание 13, то варианты 013, 130, 132, 213 не могут быть кодом, значит в худшем случае человеку надо перебрать 24 – 4 = 20 вариантов. Проверка выполняется (слайд 5, 6 )
Самостоятельно выполнить задания из Рабочей тетради ( раздел «Комбинаторика» № 9, № 10 )
№ 9 Андрей зашел в магазин, чтобы купить футболки. В магазине оказались футболки четырех цветов: белые, голубые, красные, черные.
а) сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить 2 футболки?
Б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить 2 футболки разного цвета?
Решение: а) ББ БГ БК БЧ б)если футболки разного цвета, то вариантов
ГГ ГК ГЧ покупки 6
КК КЧ
ЧЧ
Ответ: а) 10 вариантов, б) 6 вариантов
Проверка выполняется ( слайд 7 )
№10 В теннисном турнире участвовали 5 человек.
а) Сколько было сыграно партий, если каждый участник сыграл с остальными по одной партии?
б) Сколько было сыграно партий, если каждый участник сыграл с остальными по две партии?
Решение:
а)б) если каждый сыграл с остальными по 2 партии,
23то было сыграно 20 партий.
34 35
45
Ответ: а) 10 партий, б) 20 партий
Проверка выполняется в классе ( слайд 8 )
5.Итоги урока.
Вопросы:
- В чем состоит особенность задач на сочетания?
В них необходимо составить всевозможные сочетания из n элементов m элементов.
- Какие два вида задач существует?
Есть задачи в которых не важен порядок, и есть такие задачи, где порядок важен.
Домашнее задание.
№ 000, № 000, № 000 ( слайд 9 )
