Задача

Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить эту кривую: .

Решение.

Начнем с поворота осей координат.

Для уничтожения члена с произведением ху выполним поворот системы координат. Для выполнения поворота осей системы координат используем формулы . Подставим эти значения в исходное уравнение .

Раскроем скобки и приведем подобные члены (A)

Выберем теперь угол поворота так, чтобы коэффициент при х1у1 обратился в нуль. Для этого приравняем коэффициент при х1у1 нулю .

Разделим все члены уравнения на , получим равносильное уравнение .

Из этого следует, что угол может быть в первой или третьей та второй или четвертой четвертях. Выберем первую.

Из формул тригонометрии известно, что:

Таким образом, угол поворота составляет .

Определим коэффициенты при :

при = ,

при = ;

при ;

при .

Подставим эти коэффициенты в уравнение (А) .

Выполним преобразования, выделив полный квадрат в левой части,

получим уравнение (В).

Выполним теперь параллельный перенос системы координат.

Формулы преобразования запишем так: .

Теперь в уравнении (В) введем обозначения и сравним с вышеуказанной системой. Приходим к выводу, что, а уравнение (В) запишется.

Как видно из последнего уравнения, нам дано уравнение, отображающее геометрический образ гиперболы. Центр новой системы координат расположен в точке .

Система координат, повернутая на угол . Коричневый цвет – построение в новой системе координат.