МБОУ Красноярская СОШ
Учитель:
ТЕМА УРОКА. Квадратные уравнения.
Цель урока:
· обобщение и систематизация знаний учащихся при решении квадратных уравнений;
· изучение свойств квадратных уравнений;
· развитие у школьников желания и потребности самостоятельности и творчества.
1. Организационный момент.
«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
С. Коваль.
2. Устная работа.
а) Отгадать слово в данном предложении.
Любое уравнение требует
р | е | ш | е | н | и | я |
1. 2х2 – 11х + 5 = 0 и Вопросы:
2. х2 + 5х + 4 = 0 е 1) Какое уравнение не является квадратным?
3. х2 + 2х = х2 + 6 в 2) Какое уравнение можно решить вынесением
4. 7х2 + 14х = 0 е общего множителя за скобки?
5. 3х3 + 7х – 2 = 0 н 3) Решением какого уравнения являются
6. х2 – 4 = 0 я числа 2 и -2?
7. х2 + 5 = 0 ш 4) Какое уравнение можно решить по теореме
8. (х – 1)(х + 7) = 0 р Виета?
9. 2х2 = 0 к 5) Какое уравнение можно решить только по
общей формуле?
6) Какое уравнение не имеет корней?
7) Корнями какого уравнения являются числа 1
и -7?
б) Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.
1. х2 – 5х + 1 = 0 1 – 5 + 1 = -3
2. 9х2 – 6х + 10 = 0 9 – 6 + 10 = 13
3. х2 + 2х – 2 = 0 1 + 2 – 2 = 1
4. х2 – 3х – 1 = 0 1 – 3 – 1 = -3
Учитель. При решении некоторых квадратных уравнений немаловажную роль играет сумма коэффициентов. Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решали дома.
1.
3. Проверка домашнего задания.
Применение решения к изучению нового свойства.
(На доске записаны квадратные уравнения, решить которые нужно было дома).
Уравнения корни сумма коэффициентов
1.х2 + х – 2 = 0 1 и -2 0
2. х2 + 2х – 3 = 0 1 и -3 0
3. х2 – 3х + 2 = 0 1 и 2 0
4. 5х2 – 8х + 3 = 0 1 и 3/5 0
5. 7х2 – 7х + 2 = 0 1 и 2/7 0
Учащиеся отвечают, чему равны корни квадратного уравнения и сумма коэффициентов. Затем находят закономерность:
1) в корнях этих уравнений;
2) в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;
3) в сумме коэффициентов.
Ответы:
1) первый корень равен 1;
2) второй корень равен с или с/а;
3) сумма коэффициентов равна 0.
4. На основе ответов делают вывод и придумывают правило:
Если в уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0, то один корень равен 1, а другой с/а
Запись в тетради можно сделать так:
ах2 + вх + с = 0; а + в + с = 0 х = 1, х = с/а ( если а = 1, то х = 1, х = с) |
Учитель. Это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений.
Закрепление свойства. Номер 534 а, б, д. (Алгебра – 8, под. ред.
).
5. Самостоятельная работа. (карточки)
6. Немного из истории возникновения квадратных уравнений.
а) Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В
одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований
следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
(х/8)2 + 12 = х.
Решая, получил корни.
б) Квадратные уравнения в Европе XIII – XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г, итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.
Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV – XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2 + вх = с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
в) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.
Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне.
Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются кроме неполных и такие, например, полные квадратные уравнения:
х2 + х = 3/4 х2 – х = 14 ½,
Правило решений этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
5. Домашнее задание.
Теоретический материал по записи в тетради.
№ 000б, з. Решить уравнения: x2 – 19x + 18 = 0
12x2 – 35x + 35 = 0
