Треугольники. Практикум по планиметрии

Треугольники

Практикум

по планиметрии

для 10 класса Михеев 1

1. На отрезке AB точка C расположена так, что . Найдите отношение .

2. На отрезке AB точка C расположена так, что . Найдите отношение .

3. На отрезке AB точки C и D расположены так, что точка C лежит между точками A и D. Известно, что ,. Найдите отношение .

4. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AC, а точки E на AB, H на BC, F и G на BD расположены так, что , , EF и GH параллельны AC. Найдите отношение .

5. В треугольнике ABC точки D на стороне AC и E на стороне BC расположены так, что . Отрезки BD и AE пересекаются в точке P. Найдите отношение

6. В треугольнике ABC точка M середина стороны AB, а точка K расположена на продолжении стороны AC так, что . Прямая MK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение .

7. В треугольнике ABC точки M на стороне AB и N на стороне BC расположены так, что , . Отрезки AN и CM пересекаются в точке P, а прямая BP пересекает сторону AC в точке K. Найдите отношение .

8. В треугольнике ABC точки M на стороне AB и K на стороне BC расположены так, что , . Отрезки AK и CM пересекаются в точке P. Найдите площадь четырехугольника PMBK, если площадь треугольника ABC равна 12.

11. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении считая от вершины.

________________________________________________________________

Михеев 2

12. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота BH к гипотенузе AC. Известно, что площади треугольников ABH и BCH равны соответственно 8 и 18. Найдите AC.

13. В прямоугольнике ABCD из вершин A и C проведены перпендикуляры AM и CN к диагонали BD. Известно, что . Найдите площадь прямоугольника.

14. В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC с основанием AC высоты AM и BH пересекаются в точке F. Известно, что , . Найдите площадь треугольника ABC.

15. В остроугольном треугольнике ABC медианы BM, CN и высота AH равны соответственно 4, 5 и 6. Найдите площадь треугольника ABC.

16. Площадь остроугольного треугольника ABC равна 12, его медианы AN и CM имеют длину 6 и соответственно. Найдите стороны треугольника ABC.

17. Выведите формулу, выражающую длину медианы AM треугольника ABC через длины сторон треугольника: .

18. В треугольнике ABC точка K – середина медианы BM. Известно, что , , . Найдите CK.

19. В треугольнике ABC проведена медиана , причем , . Найдите сторону AB.

20. Если в треугольнике ABC отрезок BL – биссектриса, то

21. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами , проведена биссектриса BL. Найдите AL и LC.

22. Если в треугольнике ABC с неравными сторонами AB и BC биссектриса внешнего угла при вершине B пересекает прямую AC в точке L, то

23. В треугольнике ABC стороны , , . Найдите

-

МФТИ 10-11

27. Найдите основание равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна а периметр

28. В равнобедренном треугольнике проведена высота Найдите ее длину, если периметр а периметр

29. В равнобедренном треугольнике основание относится к боковой стороне как Найдите длину основания, если периметр равен

30. Найдите высоты равнобедренного треугольника с основанием и боковой стороной

31. В равнобедренном треугольнике, с боковой стороной равной медиана боковой стороны равна Найдите основание треугольника.

32. Длина одного из катетов больше длины другого катета на но меньше гипотенузы на Найдите длину гипотенузы.

33. В прямоугольном треугольнике один из углов равен а сумма гипотенузы и меньшего катета равна Найдите длины гипотенузы и катетов.

34. В прямоугольном треугольнике длины медиан, проведенных к катетам, равны и Найдите длину гипотенузы.

35. На гипотенузе прямоугольного треугольника взята точка, равноудаленная от катетов. Эта точка делит гипотенузу на отрезки и Найдите длины катетов.

36. В прямоугольном треугольнике один из катетов вдвое больше другого, а длина гипотенузы равна Найдите длину биссектрисы прямого угла.

37. В равнобедренном треугольнике основание равно а высота, опущенная на основание, равна Найдите длину высоты, опущенной на боковую сторону.

38. Основание равнобедренного треугольника равно а медиана боковой стороны Найдите длину боковой стороны.

39. Площадь равнобедренного треугольника равна Найдите длину если

40. Найдите косинусы углов треугольника если

41.Найдите сторону треугольника если

42. В равнобедренном треугольнике на боковой стороне взяты точки так, что Найдите периметр треугольника если

43. В равнобедренном треугольнике основание равно а синус угла при основании Найдите площадь треугольника.

44. Найдите длину сторону если

45. В треугольнике площадь равна Найдите сторону если угол острый.

46. В треугольнике Найдите длину медианы

47. Длина медианы треугольника равна сторона угол Найдите площадь треугольника.

48. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна катет На гипотенузе взята точка так, что Найдите

49. В треугольнике На стороне взята точка так, что Найдите

50. В треугольнике На стороне взята точка так, что Найдите

51. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом если известно, что биссектриса прямого угла равна

52. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответсвенно и Найдите биссектрису угла при основании.

54. В равнобедренном треугольнике основание равно а угол при основании равен Найдите длину медианы, проведенной к боковой стороне.

55. В треугольнике биссектриса отрого угла Найдите если расстояние от до сторон равно

56. В треугольнике Найдите угол

Методический семинар "Медианы и биссектрисы"

57. Две стороны треугольника равны и Медианы, проведенные к этим сторонам перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

58. Длина одной из сторон треугольника равна а длины медиан, проведенных к двум другим сторонам, равны Найдите площадь треугольника.

59. В треугольнике медианы пересекаются в точке Найдите площадь треугольника

60. Найдите площадь треугольника, медианы которого равны

61. Длины двух сторон треугольника равны Длина медианы, проведенной к третьей стороне, равна Найдите высоту треугольника, проведенную, к стороне длиной

62. В треугольнике медиана перпендикулярна медиане Найдите площадь треугольника если

63. Основание равнобедренного треугольника равно Медианы, проведенные к боковым сторонам взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

64. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, если боковая сторона равна

65. В треугольнике медианы перпендикулярны. Чему равен квадрат третьей стороны, если

66. Сторона треугольника равна а медианы, проведенные к двум другим сторонам, равны Найдите площадь треугольника.

67. Стороны треугольника равны Найдите площади треугольников, на который разбивают треугольник его медианы.

68. Площадь треугольника равна Из вершины тупого угла проведена медиана Найдите сторону если

69. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны а медиана, проведенная к третьей стороне, равна

70. В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к катету, равна Найдите площадь треугольника.

71. В равнобедренном треугольнике боковая сторна равна а медиана к боковой стороне равна Найдите основание треугольника.

72. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны а медиана, проведенная к третьей стороне, равна

73. Основание равнобедренного треугольника равно а медиана, проведенная к боковой стороне, равна Найдите боковую сторону треугольника.

74. В равнобедренном треугольнике основание равно а угол при основании равен Найдите длину медианы, проведенной к боковой стороне.

82. В треугольнике из вершины проведены высота и биссектриса Найдите площадь треугольника если

83. В треугольнике биссектриса Найдите площадь треугольника если

84. В треугольнике Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла этого треугольника.

НГУ

86. В остроугольном треугольнике АВС медианы ВМ, СК, высота АР равны соответственно 4, 5, 6. Найдите площадь треугольника АВС. (ЕН 89)

87. При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом и периметром 8 имеет наибольшую площадь? (Ф87)

88. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 4. Перпендикуляр опущенный из вершины на сторону делит среднюю линию трапеции пополам. Найдите площадь трапеции. (М89)

89. Площадь тупоугольного треугольника равна его медианы пересекаются под углом , Найдите стороны треугольника (М88)

90. Найдите площадь треугольника если известно, что (М86)

91. В трапеции с основаниями биссектриса угла проходит через середину стороны Известно, что Найдите длину отрезка. (М85)

92. В равнобедренной трапеции длина основания равна 2, Диагональ трапеции биссектриса угла и высота опущенная на основание пересекаются в одной точке. Найдите длину основания (М81)

93. В трапеции ( Биссектрисы углов и высота опущенная на основание пересекаются в одной точке. Найдите площадь трапеции. (М81)

94. В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, если длина медианы равна а биссектрисы - (М75)

95. Площадь равнобедренного тупоугольного треугольника равна а медиана, проведенная к боковой стороне, равна Найдите стороны треугольника.(ФЕН 99)

96. В трапеции длина основания равна 12, боковая сторона равна Известно, что точка пересечения биссектрис углов лежат на основании Найдите площадь трапеции. (М76)

97. В остроугольном треугольнике высоты пересекаются в точке Найдите если (ФЕН 04)

Теорема Менелая: Пусть прямая пересекает стороны треугольника в точках а продолжение стороны за точку в точке Тогда выполняется равенство

Теорема Чевы: Пусть в треугольнике точки лежат соответсвенно на сторонах а отрезки пересекаются в одной точке. Тогда

Теорема: Пусть в треугольнике точки делят стороны соответсвенно в отношениях Если отрезки и пересекаются в точке то точкой пересечения делится в отношении

98. В треугольнике на стороне взята точка на продолжении стороны за точку взята точка Прямая пересекает сторону в точке Найдите отношение

99. На стороне треугольнике взята точка на стороне точку Точка пересечения отрезков делит отрезок в отношении считая от точки Найдите отношение

100. В треугольнике медиана, точка середина медианы. Прямая пересекает сторону в точке В каком отношении точка делит считая от точки

101. Пусть медиана треугольника На взята точка так, что Прямая разбивает треугольник на два. найдите отношение площадей этих треугольников.

102. Биссектрисы и треугольника пересекаются в точке Найдите площадь треугольника если

103. В треугольнике площадь которого равна на стороне взята точка а на стороне точка Точка пересечения прямых и удалена от прямой на расстояние Найдите длину стороны

104. В треугольнике точки лежат соответственно на сторонах причем точка пересечения отрезков Найдите площадь треугольника если

105. В треугольнике точка делит сторону пополам, а прямая делит высоту в отношении Докажите, что

106. В треугольнике точка делит сторону пополам, точка лежит на прямой на расстоянии от точки а прямая делит сторону в отношении Найдите длину

107. Высота треугольника равна Точка лежит на луче Прямая пересекает продолжение медианы в точке Найдите высоту треугольника

108. В равнобедренном треугольнике точка лежит на боковой стороне вдвое ближе к чем к а точка лежит на боковой стороне вдвое ближе к чем к На какие отрезки делит прямая высоту треугольника если известно, что

109. В треугольнике точка лежит на стороне вдвое ближе к чем к а точка лежит на боковой стороне вдвое ближе к чем к Прямая пересекает на расстоянии от вершины Найдите длину стороны

110. В трапеции точка лежит на боковой стороне вдвое ближе к чем к а точка лежит на боковой стороне вдвое ближе к чем к Прямая пересекает на расстоянии от вершины Найдите стороны основания, если одно из них вдвое больше другого.

111. В треугольнике Биссектриса и медиана пересекаются в точке Найдите площадь треугольника

112. В треугольнике Биссектриса и медиана пересекаются в точке Найдите площадь треугольника

113. Площадь треугольника равна Точка расположена на так, что прямая проходит через середину медианы Найдите площади треугольников и

114. Отрезок делится точкой в отношении а отрезок точкой в отношении Отрезки и пересекаются в точке Найдите отношение площадей треугольников и

-----

Решение задач повышенной сложности (Рязановский, Мирошин, с. 344)

139. На прямой отмечена две точки такие, что Найдите отношение

140. На прямой отмечена точка такая, что Найдите длину отрезка если

141. На прямой отмечена точка такая, что Где на прямой лежат все такие точки Какие значения может принимать длина отрезка если

142. Найдите острый угол между биссектрисами углов и треугольника если

143. В треугольнике Найдите острый угол между высотами, проведенными из вершин и

144. В равнобедренном треугольнике биссектириса угла при основании рабивает его на два равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника

145. В остроугольном треугольнике заданы стороны Найдите расстояние от точки пересечения высот до вершины

146. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает ее на отрезки и Найдите площадь этого треугольника.

147. В прямоугольном треугольнике один катет равен а проекция другого катета на гипотенузу равна Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника.

151. В треугольнике Найдите

-------

Решение треугольников (Сб. задач по геометрии, Лужина)

169. Длина биссектрисы равностороннего треугольника равна Найдите сторону треугольника.

170. В треугольнике отрезок биссектриса угла Найдите углы треугольника

171. Длина основания равнобедренного треугольника равна а длина биссектрисы угла треугольника, противолежащему основанию, равна Найдите боковую сторону треугольника.

172. Длины сторон треугольника относятся как периметр треугольника равен Найдите стороны треугольника.

173. В треугольнике сторона равна Через середину высоты проведен перпендикуляр, пересекающий стороны и в точках Найдите длину отрезка

174. В равнобедренном треугольнике точки середины сторон и Найдите углы треугольника.

175. В равнобедренном треугольнике высота равна Средняя линия пересекает в точке Найдите длину

176. В треугольнике Найдите и

177. В треугольнике Найдите и градусную меру угла

178. В треугольнике Известно, что треугольник имеет наибольшую площадь. Найдите площадь треугольника и

179. Докажите, что биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.

180. Докажите, что если две высоты треугольника раваны между собой, то этот треугольник равнобедренный.

181. равносторонний треугольник, точка середина Найдите угол

182. В треугольнике Найдите если

183. В равнобедренном треугольнике основание равно а высота, проведенная к основанию равна Найдите длину медианы, проведенной к боковой стороне.

184. В треугольнике Найдите и

185. В равнобедренном треугольнике основание равно а высота, проведенная к основанию, равна Найдите периметр треугольника.

186. Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника в шесть раз короче гипотенузы. Найдите острые углы этого треугольника.

187. Найдите площадь треугольника если а медианы перпендикулярны.

188. В треугольнике биссектриса и медианы перпендикулярны и равны . Найдите стороны треугольника.

189. Дан треугольник со сторонами Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

190. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на боковые стороны равны и Найдите стороны треугольника.

191. В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и высотой, проведенной из вершины прямого угла, равен Найдите острые углы треугольника.

192. В прямоугольном треугольнике угол прямой, медиана треугольника. Найдите острые углы треугольника, если

193. Из вершины прямого угла треугольника проведены высота и медиана Найдите острые углы треугольника если является биссектрисой треугольника

194. В прямоугольном треугольнике катеты равны Найдите высоту, проведенную из вершины прямого угла.

195. В прямоугольном треугольнике катеты равны Вычислите значения тригонометрических функций острых углов треугольника .

196. В прямоугольном треугольнике Найдите длины катетов и площадь треугольника.

197. В прямоугольном треугольнике Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

198. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки Докажите, что треугольники и подобны и найдите длину

199. В прямоугольном треугольнике один из катетов больше медианы, проведенной из вершины прямого угла, на Найдите площадь треугольника, если второй катет равен

200. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длины и

201. Найдите острые углы треугольника где высота треугольника.

202. В треугольнике Найдите расстояние от точки до точки лежащей на биссектрисе прямого угла и равноудаленной от точек

203. На стороне треугольника взята точка такая, что а на стороне точка так, что В каком отношении делятся отрезки и точкой их пересечения?

204. В трапеции Найдите остальные углы трапеции.

205. Найдите площадь равнобедренной трапеции, диагональ которой равна и наклонена к основанию под углом

206. Большее основание равнобедренной трапеции равно диагональ равна и перпендикулярна боковой стороне. Найдите высоту трапеции и среднюю линию.

207. Найдите площадь трапеции с основаниями и и боковыми сторонами и

-------

МФТИ (Подобие треугольников, стр. 27)

227. В треугольнике Найдите если

228. В треугольнике через точку пересечения медиан проведены прямые, параллельные сторонам. Найдите площадь отсекаемых треугольников.

229. Точка делит отрезок в отношении точка делит отрезок в отношении Найдите отношение

230. На отрезке взяты точки так, что Найдите отношение

231. Прямая делит медиану треугольника пополам. В каком отношении эта прямая делит сторону

232. Прямая проходит через середину медианы и точку лежащую на стороне треугольника В каком отношении эта прямая делит если

233. В треугольнике точка лежит на стороне точка лежит на стороне

В каком отношении делится отрезок точкой пересечения и

234. В прямоугольном треугольнике биссектриса угла пересекает сторону в точке Найдите площадь треугольника если

235. В треугольнике биссектриса угла пересекает сторону в точке Найдите площадь треугольника если

236. В равнобедренном треугольнике основание а биссектриса Найдите длину боковой стороны

237. Высота и биссектриса, опущенные из прямого угла, равны и Найдите площадь треугольника.

241. Найдите площадь треугольника со сторонами

242. Найдите высоту треугольника

243. Найдите высоту треугольника

244. В треугольнике основание равно один из углов при основании равен а сторона напротив этого угла равна Найдите третью сторону.

245. Точки делят отрезок в отношении Найдите отношение

246. На какие отрезки делит катет треугольника биссектриса если

247. На сторонах треугольника взяты точки так, что: а) б)

Найдите площадь треугольника если

250. В треугольнике биссектриса угла пересекает в точке Найдите площадь треугольника

251. В треугольнике биссектриса угла пересекает в точке Найдите площадь треугольника

252. В прямоугольном треугольнике биссектриса угла пересекает сторону в точке Найдите площадь треугольника если

253. В треугольнике проведены биссектрисы Найдите отношение площадей треугольников и

254. В треугольнике биссектриса угла пересекает сторону в точке Найдите площадь треугольника если

255. В равнобедренном треугольнике основание биссектриса Найдите боковую сторону

256. В остроугольном треугольнике проведены высоты Найдите если

267. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в точке Найдите площадь треугольника если

-------

НГУ

277. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой биссектриса пересекает медиану в точке так, что Найдите стороны треугольника (ФЕН 00)

278. В треугольнике на продолжении медианы выбрана точка так, что Найдитеесли известно, что (ФЕН 99)

279. В треугольнике медианы и высота равны соответсвенно Точка лежит между и Найдите площадь треугольника (ФЕН 89)

281. Дана трапеция На сторонах выбраны точки так, что и прямая делит площадь трапеции пополам. Найдите отношение (Фен 85)

282. На сторонах треугольника выбраны точки Прямые пересекаются в точке Найдите отношение ФЕН 85)

283. В треугольнике медиан биссектриса и высота пересекаются в точке Найдите площадь треугольника если (ММФ 03)

284. В треугольнике медиан биссектриса и высота пересекаются в точке Найдите площадь треугольника если (ММФ03)

285. В треугольнике точка середина медианы Найдите если (ММФ99)

291. В равнобедренной трапеции диагональ биссектриса угла и высота опущенная на основание пересекаются в одной точке. Найдите основание (ММФ 81)