Работа № 14

РАБОТА № 14

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Приборы и принадлежности: физический маятник, датчик угла поворота, компьютер.

Цель работы: исследовать характер затухания колебаний под действием сухого трения, определить угол застоя и момент силы трения.

ВВЕДЕНИЕ

Если на колеблющееся тело действуют силы сопротивления, то его колебания будут затухать, так как тело будет расходовать энергию на работу против этих сил. Возможны разные законы сил трения: вязкое и сухое трение.

ВЯЗКОЕ ТРЕНИЕ

В случае, когда силы сопротивления пропорциональны скорости тела (вязкое трение), зависимость отклонения его от положения равновесия x(t), как известно, следующая:

x (t) = A (t) cos (wt+a) (1),

причем амплитуда колебаний A (t) изменяется по закону

A(t) =A0×e –bt (2).

w– частота затухающих колебаний:

(3)

w0 – частота колебаний в отсутствие трения, a – начальная фаза, A0 – амплитуда в начальный момент времени, b – коэффициент затухания. График колебаний изображён на рис. 1. На этом графике пунктирной линией изображена зависимость (2) амплитуды колебаний A (t) от времени.

Графики колебаний, затухающих под действием вязкого трения. Время выражено в единицах собственного периода колебаний.

Рис. 1.

Коэффициент затухания можно определить из (2), если известны A0 и A(t):

(4).

Затухание колебаний вместо b можно характеризовать другой величиной- логарифмическим декрементом затухания l, который определяется как логарифм отношения двух амплитуд, взятых через период

(5)

Из (2) и (5) следует, что l и b связаны соотношением

l=bT (6)

Физический смысл логарифмического декремента затухания очень прост. Из (6) видно, что l можно записать как T/t, где t=1/b – время “ жизни ” колебаний (его также называют временем релаксации), за которое амплитуда убывает в раз. Тогда

l = T/t = 1/N,

где N – число колебаний за время “жизни” t.

СУХОЕ ТРЕНИЕ

Помимо рассмотренного вязкого трения возможен и другой случай, когда имеет место сухое трение (или кулоновское). При сухом трении, если система находится в движении, величина силы трения почти постоянна, а ее направление противоположно скорости, изменяясь всякий раз при изменении направления скорости.

В дальнейшем будем говорить о колебаниях маятника с сухим трением. Если маятник движется, то величину момента силы трения скольжения будем считать равной Nmax. Если же маятник покоится, момент силы статического трения может принимать любое значение от –Nmax до Nmax. Из–за того, что момент силы трения покоя может принимать любые значения вплоть до Nmax, по обе стороны от положения равновесия имеется интервал углов отклонения, в пределах которого трение покоя в состоянии уравновесить момент силы тяжести. Этот интервал называют зоной застоя или мертвой зоной. Если угловая скорость маятника обращается в нуль где-либо в пределах зоны застоя, маятник останавливается и в дальнейшем покоится в этой точке.

Важная отличительная черта затухания колебаний под действием силы сухого трения заключается в том, что движение полностью прекращается после конечного числа циклов. Пока осциллятор совершает колебания, знак скорости периодически изменяется, и каждое очередное изменение направления скорости происходит при всё меньшем отклонении от средней точки зоны застоя. В конце концов точка поворота оказывается внутри зоны застоя, где трение покоя в состоянии уравновесить возвращающую силу. В этот момент движение полностью прекращается. В какой именно точке произойдет остановка, зависит от начальных условий, которые могут меняться от случая к случаю.

Найдём закон движения маятника с сухим трением. На вращающийся маятник одновременно действуют момент силы тяжести – mgl× j и момент Nтр силы трения скольжения. Уравнение вращения маятника с моментом инерции I имеет следующий вид:

(7).

В соответствии с принятой идеализированной характеристикой сухого трения, момент силы трения скольжения N­тр направлен противоположно угловой скорости маятника , и остается постоянным (равным по модулю Nmax) до тех пор, пока продолжается вращение маятника в одном направлении. Тем самым движение маятника описывается двумя разными уравнениями, в зависимости от направления движения маятника:

(8).

Удобно выразить Nmax через максимальный угол отклонения маятника jm, при котором он еще может находиться в состоянии покоя:

Nmax = mgljm (9).

Очевидно, что угол jm соответствует границе зоны застоя.

Введём ещё частоту собственных колебаний маятника:

Система уравнений (8) теперь запишется в виде:

(10).

Пусть в начальный момент t = 0 маятник повернут влево (по часовой стрелке) от положения равновесия, так что j(0) < 0. Если это начальное отклонение выходит за границу зоны застоя, т. е. |j(0)| > jm, маятник, будучи освобожденным без толчка, т. е. с нулевой начальной скоростью, начнет двигаться вправо (w> 0), и его движение будет описываться верхним из уравнений (9). Это уравнение приводится к виду обычного уравнения гармонических колебаний, если сделать замену переменных j+jm = y:

(11).

Решение уравнения (11) представляет собой простое гармоническое колебание с частотой w0:

y = y0 × cos w0t,

откуда найдём зависимость j от t:

j = – jm + y0 × cos w0t

Среднее положение, около которого происходят эти колебания, совпадает, как видим, с левой границей зоны застоя jm. Это смещение среднего положения колебаний маятника вызвано постоянным моментом силы сухого трения, который действует на маятник влево (по часовой стрелке), пока он движется вправо (вращаясь против часовой стрелки).

Амплитуду колебаний, т. е. модуль величины y0 найдём из начального условия j(0) = – j0:

– j0 = – jm + y0,

y0 = – (j0 – jm), |y0| = j0 –jm.

Как видим, амплитуда колебания около средней точки –jm равна j0 – jm.

Первый отрезок графика таких колебаний на рис. 2 представляет собой часть синусоиды со средней точкой, смещенной вниз от оси абсцисс на расстояние – jm. Крайнее отклонение маятника вправо (верхняя часть синусоиды) в конце первого полупериода колебаний равно:

j0 – 2jm.

Графики колебаний, затухающих под действием сухого трения. Время выражено в единицах собственного периода колебаний. Пунктирная линия изображает зависимость амплитуды от времени.

Рис. 2.

Когда маятник достигает этого положения, его угловая скорость обращается в нуль. Затем он начинает двигаться назад, т. е. влево. Поскольку при этом его угловая скорость отрицательна, мы должны перейти ко второму уравнению (10). Значения и j в конце предыдущего полупериода служат начальными условиями для дальнейшего движения. Это движение опять представляет собой половину цикла гармонического колебания той же самой частоты w0, но средняя точка колебаний теперь смещена к правой границе зоны застоя jm. Амплитуда соответствующего сегмента синусоиды равна j0 – 3jm. Продолжая дальше такой анализ движения, мы заключаем, что в последующие полупериоды маятник совершает гармонические колебания около средних точек, поочередно смещенных к границам мертвой зоны jm и — jm. Каждому полупериоду соответствует одна и та же частота w0 (частота собственных колебаний в отсутствие трения). Поэтому длительность каждого цикла затухающих колебаний равна периоду Т0 = 2p/w0 собственных колебаний осциллятора в отсутствие трения.

Сшивание синусоидальных сегментов, средние точки которых поочередно смещены к правой и левой границам мертвой зоны, дает всю кривую процесса затухания колебаний под действием сухого трения, показанную на рис. 2. После каждого полного цикла таких колебаний максимальное отклонение маятника уменьшается на одну и ту же величину, равную удвоенной ширине зон застоя (т. е. на величину 4jm). Колебания продолжаются до тех пор, пока конечная точка очередного сегмента синусоиды не окажется внутри зоны застоя (—jm, jm).

Таким образом, в случае затухания под действием сухого трения максимальные отклонения маятника убывают по линейному закону (см. рис. 2). Последовательность максимальных отклонений образует убывающую арифметическую прогрессию, и колебания полностью прекращаются через конечное число циклов, в противоположность случаю вязкого трения, когда максимальные отклонения убывают в геометрической прогрессии (экспоненциально) и формально движение продолжается бесконечно долго.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ С СУХИМ ТРЕНИЕМ

Описание установки и метода измерений.

Рис. 3

Измерения проводятся в полуавтоматическом режиме на установке, схема которой изображена на рисунке 3. Ось маятника соединена с подвижным контактом реостата, концы которого подключены к источнику постоянного напряжения. Параллельно реостату подключены два одинаковых резистора R1, образующих делитель напряжения. Когда маятник находится в состоянии равновесия, подвижной контакт реостата находится в середине реостата и напряжение между точками А и В равно нулю. При отклонении от равновесного положения маятник поворачивает ось реостата, его контакт сдвигается (точка А1), и между контактом реостата (точкой А1) и серединой делителя напряжения (точкой В) возникает напряжение пропорциональное углу поворота маятника. Это напряжение подаётся на вход звуковой платы компьютера. Параллельно входу звуковой платы подключён конденсатор большой ёмкости, нужный для уменьшения шумов, возникающих при движении ползунка реостата. Программа обработки сигнала выводит на экран график колебаний (рис. 6).

Порядок выполнения работы.

·  Включите компьютер и запустите программу «Колебания». На экране появится стартовое окно программы (Рис.4).

Рис. 4

·  Нажмите кнопку ПУСК, после чего появится новое окно (Рис. 5). Введите в окно вашу фамилию и инициалы.

Рис. 5

·  Нажмите Ok, вызвав основное окно программы (Рис. 6).

·  Запустите маятник, отклонив его в сторону на 20 – 30 градусов.

·  Нажмите кнопку Старт программы, после чего начнётся процесс измерений. Надпись на кнопке изменится на Стоп, при этом в окне программы начнётся построение графика зависимости отклонения маятника от времени. По горизонтальной оси графика выводится время в секундах, прошедшее с момента нажатия кнопки Старт, а по вертикальной оси величина отклонения маятника в некоторых условных единицах. Соотношение между углом отклонения маятника и этими условными единицами следующее:

углу отклонения в 300 соответствует на графике величина порядка 10000.

·  Следите ходом графика. После того, как колебания затухнут, и график превратится в горизонтальную линию, остановите программу кнопкой Стоп.

·  После остановки процесса измерений надпись Стоп вновь превратится в Старт и активизируются кнопки Огибающая и Печать.

·  Нажав кнопку Огибающая, вы получите график зависимости амплитуды колебаний от времени (Рис. 7). Одновременно вы сохраните график в файле Колебания на рабочем столе Windows.

Нажав Печать, вы вызовете обычный диалог печати. Выбрав в нём нужные

Рис. 6

·  опции или оставив стандартные, вы можете распечатать график.

·  По графику определите период колебаний T.

·  Зная начальный угол отклонения и число колебаний маятника до его остановки (определите это всё по графику) оцените угол застоя j­m.

·  По формуле (9) вычислите момент силы трения. При вычислениях примите массу груза равной 0,5 кг, длину маятника измерьте самостоятельно.

Рис. 7

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.  По какому закону изменяется амплитуда колебаний под действием вязкого трения?

2.  Как изменяется со временем энергия колебаний при вязком трении?

3.  Постройте график зависимости энергии колебаний от времени при вязком трении.

4.  Каков физический смысл логарифмического декремента затухания?

5.  Во сколько раз изменяется энергия маятника за время “жизни” колебаний t?

6.  Как зависит время жизни колебаний t от начальной амплитуды колебаний при вязком трении?

7.  По известному из первого опыта периоду колебаний маятника и коэффициенту b найдите собственную частоту колебаний w0.

8.  Какое движение совершает маятник, если b > w0?

9.  В чём различие между колебаниями с сухим и вязким трением?

10. Как зависит частота колебаний маятника от величины сухого трения?

11. Как изменяется со временем энергия колебаний при сухом трении?

12. Постройте график зависимости энергии колебаний от времени при сухом трении.

13. Как зависит время жизни колебаний t от начальной амплитуды колебаний при сухом трении?