Задачи по теме
"Делимость"
1. Докажите, что одно из двух последовательных четных чисел делится на 4
2. Докажите, что если взять три последовательных натуральных числа, то одно из них делится на 3.
4. Докажите, что если 
- простое больше 5, то 
делится на 24
7. Докажите, что число 
делится на 9.
8. Докажите, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1.
9. Докажите, что ни при каком натуральном n число n2 +1 не делится на 3.
10. К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получилось число в 23 раза больше первоначального. Найдите это число.
11. Докажите, что ни одно число с суммой цифр 15 не является квадратом целого числа.
14. Если между цифрами двузначного числа вписать это же двузначное число, то полученное четырехзначное число будет в 77 раз больше первоначального. Найдите это число.
16. Докажите, что если записать в обратном порядке цифры любого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.
17. Сколько множителей 2 содержится в произведении чисел от 1 до 500.
24. Докажите, что число 111 … 1 (44 единицы) кратно 121.
25. Докажите, что число 
– составное.
26. Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, делящееся на 11.
27. Докажите, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечетные цифры.
28. Найдите все пятизначные числа вида 34X5Y, которые делятся на 45.
29. Найдите все пятизначные числа вида 71x1y которые делятся на 132.
30. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.
32. На какую цифру оканчивается число 
33. Найдите две последние цифры числа 
35. Может ли число 
при натуральном 
оканчиваться на 
36. Последняя цифра числа равна 
Если ее переставить на первое место, то исходное число увеличится в два раза. Найдите исходное число.
37. Запись квадрата некоторого числа записана цифрами 
Найдите это число.
42. Сумма цифр натурального числа равна 
Может ли это число быть точным квадратом?
44. Может ли число 
быть точным квадратом?
48. Докажите, что число не может быть квадратом натурального числа, если 
делится на 
50. При каких натуральных n дробь (3n+1)/5 является целым числом.
52. Докажите, что дроби 
несократимы.
53. При каких n дробь сократима и на какие числа можно сократить дробь 
?
62. Пусть N делится на 99. Докажите, что сумма цифр N не меньше 18.
63. Сумма цифр трехзначного числа равна 7. Докажите, что это число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны.
64. Дано шестизначное число 
, причем 
- 
делится на 7. Докажите, что и само число делится на 7.
65. Сформулируйте и докажите признак делимости на 7, 33. Докажите, что число 111 … 11 (2n единиц) – составное.
66. Сумма цифр a и b делится на 7. Докажите, что число 
также делится на 7.
67. На сколько нулей оканчивается 100!? Четна или нечетна последняя ненулевая цифра 100!?
69. Сформулируйте и докажите признак делимости на 13.
70. Некоторое положительное четное число при делении на 3 дает остаток 1. Чему равен остаток от деления этого числа на 6?
71. Докажите, что число 
является полным квадратом.
72. Задумано число, состоящее из 31 цифры. Взяли число, равное сумме цифр этого числа. У получившегося числа взяли снова сумму цифр и. т.д., пока не получили цифру 1. Найдите остаток от деления исходного числа на 9.
71. Число x оканчивается на 5. Докажите, что x² оканчивается на 25.
89. Найдите все числа 
, равные 9(a + b).
90. Найдите все числа , равные 18(a + b + c).
91. Пусть сумма цифр числа A равна сумме цифр 2A. Докажите, что A делится на 9.
95. Докажите, что - 
не является полным квадратом.
123. Найдите все натуральные числа, которые при делении на 31 дают в остатке 5, а при делении на 5 дают в остатке 3.
124. Найдите все натуральные числа, которые при делении на 37 дают в остатке 3, а при делении на 3 дают в остатке 1.
132. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.
134. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.
140. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.
141. Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, первые две цифры которого равны между собой и последние две цифры которого также равны между собой.
151. Найдите все натуральные числа 
удовлетворяющие равенству 
153. В натуральном числе 
переставили цифры и получили число 
причем 
. Найдите наименьшее возможное значение 
155. Вася составил семизначное число 
использовав все цифры от 1 до 7 ровно по одному разу. Коля сделал то же самое и получил число 
Оказалось, что Васино число больше Колиного. Докажите, что Васино число не делится на Колино.
157. Может ли число делиться на 
а при делении на 
давать в остатке 
159. Найдите все натуральные числа такие, что 
не делится на
160. Найдите все натуральные числа 
такие, что 
164. Найдите все четырехзначные числа вида 
которые делятся на 
165. Найдите все числа вида 
которые делятся на 
167. Найдите все числа вида 
которые являются полным квадратом.
169. Докажите, что в Пифагоровом треугольнике хотя бы один катет делится на 3 (на 5).
171. Найдутся ли целые числа 
удовлетворяющие условию 
172. Докажите, что при делении квадратов натуральных чисел на 4 или 5 в остатке могут получиться только 2 и 3.
173. Докажите, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть полным квадратом.
174. Докажите, что при всех натуральных числа вида 
не делятся на 169.
175. Докажите, что при делении на 8 квадрата целого числа в остатке может получиться только 0, 1 или 4.
176. Докажите, что сумма квадратов трех целых чисел не может при делении на 8 давать остаток 7.
178. Может ли число, составленное из всех шестерок быть полным квадратом?
183. Найти все двузначные числа 
такие, что выражение 
делится на 13.
184. Найти все двузначные числа 
такие, что выражение 
делится на 17.
185. Найдите все целые 
для которых 
делится на 
192. Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечетная.
193. Предпоследняя цифра квадрат натурального числа – нечетная. Докажите, что последняя цифра равна 6.
197. Найдите четырехзначные числа вида 
которые делятся на 45.
198. Найдите четырехзначные числа вида 
которые делятся на 15.
214. Натуральное число при делении на 8 дает в остатке 7. Докажите, что куб этого числа при делении на 8 дает в остатке 7.
215. Натуральное число при делении на 5 дает в остатке 2. Докажите, что куб этого числа при делении на 5 дает в остатке 3.
216. Докажите, что уравнение 
не имеет решений в натуральных числах.
217. Докажите, что уравнение 
не имеет решений в натуральных числах.
218. Докажите, что шестизначное число вида 
кратно 
и 
219. Докажите, что выражение 
делится на 
при любом нечетном 
220. Решите в натуральных числах уравнение 
221. Решите в натуральных числах уравнение 
222. Решите в натуральных числах уравнение 
223. Решите уравнение 
в целых числах.
224. Решите уравнение 
в целых числах.
225. Решите в целых числах уравнение 
226. Решите в натуральных числах уравнение 
227. Решите в натуральных числах уравнение 
228. Решите в натуральных числах уравнение 
229. Решите в натуральных числах уравнение 
