Принцип Вольтерра. Теоремы Арутюняна

8.4. Принцип Вольтерра. Теоремы Арутюняна

При решении квазистатических задач теории ползучести, когда рассматриваются постоянные или медленно меняющиеся во времени нагрузки, мы располагаем уравнениями равновесия (2.1), геометрическими уравнениями (2.2) и физическими соотношениями (8.49) либо (8.54). При этом на части поверхности тела граничные условия заданы в напряжениях (2.24) а на другой части – в перемещениях (2.22). Заданные объемные силы, поверхностные силы и перемещения представляют собой известные функции времени, либо постоянны. Будем предполагать также, что при все напряжения, деформации и перемещения равны нулю.

Операция интегрирования во времени, предусматриваемая физическими соотношениями для однородного изотропного материала, и операция дифференцирования или интегрирования по координатам, выполнение которых необходимо при решении уравнений равновесия и совместности, переставимы. Отсюда вытекает простое правило, сформулированное Вольтерра, позволяющее решить задачу расчета конструкций при ползучести. Согласно принципу Вольтерра, для решения задачи теории ползучести, необходимо решить обычную задачу теории упругости, обращаясь с операторами ползучести или релаксации как с упругими постоянными. В результате решение будет представлено в виде произведения функции от упругих постоянных и координат x, y, z на известную функцию времени. Затем следует заменить упругие константы соответствующими операторами и расшифровать функцию от операторов. Ограничение возможности применения принципа Вольтерра заключается в том, что тип граничных условий должен оставаться неизменным в течение всего рассматриваемого периода времени.

Из принципа Вольтерра вытекают следующие две теоремы, сформулированные и доказанные Н. Арутюняном.

Прямая теорема. Если однородное изотропное тело, обладающее линейной ползучестью имеет постоянный коэффициент Пуассона n (t) = n = const и загружено системой внешних сил, то его напряженное состояние тождественно напряженному состоянию соответствующего упругого тела, а деформации и перемещения могут быть определены путем линейных интегральных преобразований деформаций и перемещений упругого тела.

Теорема справедлива когда на контуре приложены силы либо неподатливые (жесткие) связи. В силу малости деформаций справедлив принцип суперпозиции. Следовательно, теорема применима при любом числе воздействий и при переменных во времени силах. Для неоднородной системы, например, бетонного массива, состоящего из блоков с разными деформативными свойствами, данная теорема не справедлива.

В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим изгиб вязкоупругой пластинки, краевые условия которой не зависят от упругих постоянных; например, края защемлены или шарнирно оперты. В этом случае внутренние усилия не зависят от ползучести, а прогиб определяется выражением

(8.57)

или в развернутом виде

. (8.58)

Если нагрузка во времени не изменяется, то

, (8.59)

где – “упругий” прогиб пластинки в момент t0 приложения нагрузки; – характеристика ползучести. При за счет ползучести прогибы пластинки увеличатся в 3 раза.

Обратную теорему используют, когда по заданным деформациям требуется определить напряжения. Она формулируется так. Если однородное изотропное тело, обладающее линейной ползучестью и постоянным коэффициентом Пуассона, подвержено действию заданных деформаций и перемещений, то его деформации и перемещения совпадают с таковыми соответствующего упругого тела, а напряжения могут определяться путем линейных интегральных преобразований напряжений упругого тела.

В качестве примера рассмотрим плоскую задачу вязкоупругости. Решение плоской задачи теории упругости сводится к решению бигармонического уравнения (3.21) относительно функции напряжений F: . Если граничные условия заданы в усилиях, то есть не зависят от ползучести, то распределение напряжений в каждый момент времени t в вязкоупругом теле совпадает с распределением напряжений в упругом теле. Иное дело, если плоское напряженное состояние вызвано вынужденными деформациями и . Уравнение (3.21) становится таким

. (8.60)

В случае изменения температуры Т уравнение (8.60) приобретает вид

, (8.61)

где a – коэффициент линейного температурного расширения; Е – модуль упругости.

Функция напряжений вязкоупругого тела связана с функцией напряжений упругомгновенной задачи с помощью интегрального уравнения, подобного уравнению (8.13)

. (8.62)

Поскольку напряжения определяются дифференцированием функции напряжений по координатам (3.19) то указанные напряжения связаны с напряжениями упругомгновенной задачи уравнениями

(8.63)

Решение этих уравнений релаксации представлено формулой (8.4). Ядра релаксации для нескольких частных ядер ползучести получены в п. 8.2. Соответствующие функции изменения деформаций определяют из решения упругомгновенной задачи (8.61).

8.5. Применение метода конечных элементов к решению плоской задачи линейной теории ползучести

Среди численных методов особую популярность за последние годы приобрел метод конечных элементов (МКЭ). Это объясняется его удобством, ясной физической трактовкой и связью с классическими методами строительной механики : перемещений, сил, смешанным. Однако возможности его применения к расчету конструкций, выполненных из материалов, обладающих ползучестью, ограничены в силу недостаточной проработки соответствующей методики.

При использовании метода конечных элементов задачи наследственной теории ползучести в общем случае сразу формулируются в виде систем интегральных уравнений; отпадают трудности и ограничения, связанные с выделением таких уравнений из систем интегро-дифференциальных уравнений, характерных для этой теории. Это обстоятельство, а также наличие достаточно полно проработанного и удобного для машинного счета аппарата решения систем линейных интегральных уравнений открывает широкие возможности для создания рациональных алгоритмов.

Поскольку наличие ползучести не влияет на связи между деформациями и перемещениями, то может быть использована формула (4.18)

, (8.64)

где – вектор полных перемещений узлов конечного элемента; [B] – градиентная матрица.

Формулы (4.23) и (8.64) позволяют определить напряжения в конечном элементе через перемещения его узлов

, (8.65)

где (1 – R) – интегральный оператор релаксации (8.8)

При выводе зависимостей между узловыми и объемными силами, с одной стороны, и перемещениями узлов, с другой, используется уравнение потенциала внешних и внутренних сил на возможных мгновенных перемещениях. Потенциал внутренних сил в случае статического приложения нагрузки определяется выражением:

. (8.66)

Полная потенциальная энергия Э конечного элемента при наличии узловых сил {P} с учетом (8.64) – (8.66)

. (8.67)

Чтобы, согласно принципу Лагранжа, минимизировать величину Э, необходимо продифференцировать выражение (8.67) по и приравнять результат к нулю. В итоге получим:

, (8.68)

где

(8.69)

является матрицей жесткости упругой задачи. Таким образом, матрица жесткости конечного элемента, обладающего линейной ползучестью, определяется выражением:

. (8.70)

Для образования расчетной модели диска, состоящего из конечных элементов, матрицы жесткости которых известны, необходимо удовлетворить условиям неразрывности перемещений и условиям равновесия сил в узлах. Условия неразрывности выполняются автоматически, поскольку конечные элементы соединены в узлах (рис. 4.1.).

Уравнения равновесия, учитывающие реакции в дополнительных связях, наложенных на узлы и внешние узловые силы, позволяют построить общую систему уравнений задачи. Для типового узла i расчетной схемы

, (8.71)

где: – вектор искомых перемещений узла j в общей системе координат; – блок матрицы жесткости упругой задачи конечного элемента e; – матрица преобразования координат конечного элемента e при переходе от локальной к общей системе координат; – вектор внешних сил, приложенных к узлу i в произвольный момент времени t; е – номер конечного элемента; q – общее количество конечных элементов, входящих в узел i расчетной схемы; m – число узлов конечного элемента е.

Таким образом, при использовании метода конечных элементов решение плоской задачи сводится к решению системы интегральных уравнений типа (8.71), записанной относительно перемещений. Порядок этой системы – 2q´2q (q – общее количество узлов, 2 – количество искомых перемещений в каждом узле).

При однородных контурных условиях и рассмотрении однородного и изотропного тела мгновенные и длительные характеристики деформативности всех конечных элементов одинаковы. Система интегральных уравнений распадается на систему алгебраических уравнений, описывающую упруго-мгновенную задачу, и интегральные уравнения, позволяющие определить напряжения с учетом ползучести через упруго-мгновенные (теоремы Арутюняна). При изучении неоднородного тела в наиболее общем случае всем конечным элементам необходимо приписать различные значения упругих и длительных характеристик деформативности. Задачу упростить нельзя и приходится решать систему интегральных уравнений.

При решениях систем интегральных уравнений метода конечных элементов удобно применять дискретизацию во времени, т. е. определять перемещения и напряжения в наперед заданные моменты времени t0, t1 ... tn.

Зависимости между напряжениями и деформациями для плоского напряженного состояния на основе (8.44), (8.45) и (4.21) могут быть представлены и так:

, (8.72)

где

(8.73)

– векторы напряжений (деформаций) плоской задачи в моменты времени .

Выполнив преобразования, аналогичные приведенным ранее, получим матрицу жесткости , учитывающую упругие деформации и ползучесть материала:

. (8.74)

Блочная матрица [K] является матрицей жесткости упругой задачи и относится к моменту начала приложения нагрузки или введения вынужденных смещений узлов . Множители , учитывающие влияние ползучести, являются элементами приведенной резольвентной матрицы.

Поскольку в элементах блочной матрицы величины , учитывающие ползучесть, стоят в виде множителей при матрицах [K], относящихся к упругой задаче, то правило (8.74) построения матрицы является общим. Иными словами, матрица может строиться применительно к (8.74) вне зависимости от характера напряженного состояния. Естественно, что, поскольку при различных напряженных состояниях порядок матрицы [K] может быть различным, соответственно изменяется порядок матрицы .

Используя матрицы жесткости конечных элементов , из условий равновесия узлов можно построить общую систему уравнений:

. (8.75)

Так как порядок матриц увеличился в n раз, то и порядок матрицы увеличится в n раз – . Условия закрепления при этом учитываются так же, как и в упругой задаче.

Однако, поскольку матрица – блочная нижняя треугольная, решение системы (8.75) может быть сведено к последовательному решению n систем линейных алгебраических уравнений, подобных системе уравнений упругой задачи. Для момента времени

, (8.76)

. (8.77)

В (8.77) – дополнительный вектор узловых сил, учитывающий влияние деформаций ползучести, накопленных в предыдущие моменты времени

. (8.78)

Такой подход приводит к необходимости хранения в памяти ЭВМ: векторов , содержащих перемещения узлов и реакций в наложенных связях в предыдущие моменты времени; матриц – по количеству материалов в рассматриваемой конструкции.

Для иллюстрации методики ниже приведен пример расчета бетонной платины на действие гидростатического давления и собственного веса. Считалось, что объемный вес воды 10 кН/м3, бетона – 24 кН/м3 (рис.8.4). Плотина неоднородна. Заштрихованная зона 1 выполнена из бетона класса В30; зона I – из бетона класса В15. Приведенные (плоская деформация) характеристики деформативности бетона I зоны описаны выражениями (8.47); для бетона II зоны в этих выражениях принимали Ei = 2,56 × 104 МПа, Сi = 5,58 × 10-5 (МПа)–1. На рис. 8.5. показана схема разбиения бетонной плотины на конечные элементы, нумерация узлов и элементов. Приложенные нагрузки приведены к узловым силам (в кН).

 

Рис. 8.4

 

Рис. 8.5

Условно считалось, что плотина была загружена в возрасте бетона
40 сут., и в дальнейшем нагрузка не изменялась. Расчет выполнялся с использованием матриц седьмого порядка, принимая t0 = 40, t1 = 60, t2 = 60, t3 = 90, t4 = 130, t5 = 180, t6 = 260, t7 = 360 сут. Проверка показала, что увеличение порядка матрицы не оказывает заметного влияния на результаты вычислений. Приведенная резольвентная матрица, построенная для бетона I зоны приведена в п. Элементы приведенной резольвентной матрицы определены через элементы резольвентной матрицы . Поскольку число узлов q = 11, то общая система уравнений на каждом шаге по времени имеет 22-й порядок. Ниже для примера записаны в блочной форме два уравнения этой системы, относящиеся к узлу 1 и моменту времени t1.

Здесь и т. д. – блоки матриц жесткости конечных элементов (1) и (2) упругой задачи. Численно, с учетом найденных на первом шаге перемещений, эти два уравнения записываются так (для сокращения записи за скобками вынесен множитель Е0 = 3,07·104 МПа)

В табл. 8.1 приведены результаты расчета для возрастов бетона 40 и 360 суток. В первых двух столбцах вместо нулевых перемещений в узлах 8, 9, 10, 11 приведены опорные реакции в кН. Как видно из таблицы, перемещения существенно увеличиваются; вследствие неоднородности бетона напряженное состояние плотины во времени изменяется.

Таблица 8.1

Результаты расчета бетонной плотины с учетом ползучести

Номер узла или КЭ	Перемещения (мм) или реакции (кН) в узлах	Напряжения в конечных элементах s × 100 (МПа)
горизонтальное	вертикальное
Расчет для t = 40 суток
1	0,318	0,092	-4,34	-9,63	-1,71
2	0,319	0,153	-1,55	-9,57	-2,22
3	0,224	0,073	-7,51	-25,43	-4,75
4	0,220	0,133	-8,92	-19,60	-7,64
5	0,118	0,034	-8,31	-18,97	-14,40
6	0,110	0,800	-12,81	-38,92	-8,32
7	0,100	0,084	-3,21	-16,00	-22,31
8	-1347	267	-5,50	-27,44	-15,08
9	-564	-2687	-10,45	-29,66	-13,03
10	-740	-2226	-5,76	-28,32	-13,76
11	-230	-730
Расчет для t = 360 суток
1	0,625	0,152	-3,94	-10,06	-1,80
2	0,626	0,278	-1,60	-9,92	-2,28
3	0,432	0,120	-7,21	-27,38	-4,48
4	0,427	0,244	-7,53	-19,92	-8,62
5	0,219	0,053	-7,44	-16,40	-13,59
6	0,209	0,151	-12,55	-44,97	-8,08
7	0,192	0,162	-3,05	-15,19	-25,70
8	-1458	422	-5,06	-25,35	-14,09
9	-539	-2965	-9,79	-28,13	-11,73
10	-666	-2132	-5,46	-27,26	-12,88
11	-219	-697

8.6. Изохронные кривые ползучести

Практические применения не отражают в должной степени успехов, достигнутых в теории ползучести. По-видимому, это связано со сложностями в выполнении инженерных расчетов, поскольку, как правило, возникает необходимость в решении интегральных уравнений.

Предложенный метод изохронных кривых, позволяет учитывать различные особенности поведения материала. Он успешно применяется для расчета конструкций из металла при высоких температурах. Не имея строгого физического или механического обоснования, в области инженерных применений этот метод пока не имеет себе равных.

На рис. 8.6 представлено семейство кривых ползучести каждая из которых соответствует определенному значению напряжения s. Однако те же экспериментальные данные можно изобразить и другим образом, а именно на плоскости (e, s); различные кривые будут соответствовать различным моментам времени На рис.8.7 изображены эти кривые, называемые изохронными

 

Результаты обработки опытных данных для металла при высоких температурах показали возможность определения семейства изохронных кривых эмпирической формулой вида

. (8.79)

Равенство (8.79) есть уравнение кривой мгновенного деформирования. Необходимо получить ее вид, что само по себе достаточно сложно, и выбрать константы а и b, согласующиеся с экспериментом. Для расчета напряженного и деформированного состояний, соответствующих этому моменту, следует взять кривую для момента времени t и интерпретировать ее как диаграмму s – e для пластического материала. Уравнение пластичности и соответствующая методика расчета хорошо разработаны (см. гл. 7). Однако значение напряжения s не остается постоянным в процессе ползучести. Для описания этого изменения как функции времени, необходимо выполнить расчеты для последовательных моментов времени, рассматривая кривые s – e, соответствующие различным значениям времени t.

Приведем теперь методику, позволяющую преобразовать диаграмму s – e, учитывающую нелинейность и нисходящую ветвь деформирования бетона при осевом сжатии или растяжении, в диаграммы-изохроны, учитывающие нелинейную ползучесть (рис. 8.8).

 

 

Рис. 8.8

Представим зависимость между деформациями e (t) и напряжениями s (t) бетона при сжатии (или растяжении) для момента времени t в таком же виде, как и кратковременном действии нагрузки

, (8.80)

где n (t) – функция, учитывающая нелинейность и особенности длительного деформирования бетона. С другой стороны, при произвольном режиме изменения напряжений, в случае, если начальный модуль упругости бетона (8.1)

, (8.81)

где n =n (s) – коэффициент, учитывающий изменение модуля упругости Е при действии напряжений – функция, учитывающая нелинейность деформаций ползучести, – уровень напряжений; R – прочность бетона. Приравняв (8.80) и (8.81), после некоторых преобразований получим

, (8.82)

. (8.83)

Для характеристики ползучести бетона j (t, t) используем описание наследственной теории старения (8.28), (8.29)

, (8.84)

. (8.85)

При длительном действии постоянной нагрузки, когда напряжения во времени не меняются

. (8.86)

При этом необходимо, конечно, учесть, что напряжения s (t) не должны превышать длительного сопротивления бетона, т. е.

. (8.87)

Кривая относительного длительного сопротивления бетона при сжатии может быть представлена так

. (8.88)

Если положение вершины диаграммы e (t) - s (t) и ее восходящей ветви имеет достаточное экспериментальное обоснование, то этого нельзя сказать о нисходящей ветви. Рекомендуется следующая зависимость для

(8.89)

полученная из условия аффинного подобия нисходящих ветвей диаграмм e - s (рис. 8.8, кривая 1) и e (t) - s (t) (рис. 8.8, кривая 2). Использование длительного модуля деформаций (8.26) и

(8.90)

приводит к существенному завышению деформаций (рис. 8.8, кривая 4).

Для практически важного случая, когда напряжения возрастают во времени t с постоянной скоростью (режим возведения сооружения)

(8.91)

значения можно определять по формулам:

для восходящей ветви

; (8.92)

для нисходящей ветви

. (8.93)

В этих формулах

,

, (8.94)

Отметим, что изохронная кривая ползучести (кривая 3 на рис. 8.8) при возрастающих во времени напряжениях (8.91) характеризуется меньшими деформациями, чем кривая 2. Обусловлено это естественным старением бетона, учитываемым зависимостью (8.84).

Применение формул (8.92) – (8.94) ограничено периодом возведения сооружения . Если нагрузка, приложенная к моменту времени в дальнейшем постоянна, то соответствующие диаграммы-изохроны можно построить по формулам (8.82), (8.86), (8.89). При этом вместо n следует использовать , а заменить на .