Логика высказываний

Логика высказываний

Понятие высказывания. Виды высказываний

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие высказывания:

Высказывание – ________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Приведем примеры высказываний:

1)  Новгород стоит на Волхове. ________

2)  Париж – столица Англии. ________

3)  Карась не рыба. ________

4)  Число 6 делится на 2 и на 3. ________

5)  Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости. ________

6)  Да здравствуют наши спортсмены!» ________

Элементарное (простое) высказывание – __________________________________________

________________________________________________________________________________

Сложное (составное) высказывание – _____________________________________________

________________________________________________________________________________

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

В дальнейшем будем элементарные высказывания обозначать буквами латинского алфавита: A,B,C,…; истинное значение – буквой И, а ложное значение – буквой Л.

Если высказывание A истинно, то будем писать A = И, если же ложно, то A = Л.

Логические операции над высказываниями.

1. ОТРИЦАНИЕ

Отрицание высказывания А – ____________________________________________________

________________________________________________________________________________

Отрицание высказывания А обозначается и читается:

______________________________

______________________________

______________________________

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ

А
И
Л

2. КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение).

Конъюнкция высказываний А и В – ________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Конъюнкция высказываний А и В обозначается символом . Высказывания А, В называются конъюнктами. Конъюнкция читается:

______________________________

______________________________

______________________________

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ

А	В
И	И
И	Л
Л	И
Л	Л

Например, для высказываний А = «6 делится на 2» и В = «6 делится на 3» их конъюнкцией будет высказывание = __________________________________________________________

3. ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение).

Дизъюнкция высказываний А и В – ________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Дизъюнкция высказываний А и В обозначается символом . Высказывания А, В называются дизъюнктами. Дизъюнкция читается:

______________________________

______________________________

______________________________

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ

А	В
И	И
И	Л
Л	И
Л	Л

Например, для высказываний А = «6 делится на 2» и В = «6 делится на 3» их дизъюнкцией будет высказывание = __________________________________________________________

4. ИМПЛИКАЦИЯ.

Импликация высказываний А и В – ________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Импликация высказываний А и В обозначается символом . Высказывание А называется условием или посылкой, В называется следствием или заключением. Импликация читается:

______________________________

______________________________

______________________________

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ

А	В
И	И
И	Л
Л	И
Л	Л

Например, для высказываний А = «число делится на 2» и В = «число делится на 3» их импликацией будет высказывание = ______________________________________________

Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме “Если …, то …”.

5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

Эквивалентностью высказываний А и В – __________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Эквивалентность высказываний А и В обозначается символом . Эквивалентность читается:

______________________________

______________________________

______________________________

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ

А	В
И	И
И	Л
Л	И
Л	Л

Например, для высказываний А = «число делится на 2» и В = «число делится на 3» их эквивалентностью будет высказывание = _________________________________________

Эквивалентность играет большую роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, т. е. в форме эквивалентности

Формулы логики высказываний

С помощью логических операций над высказываниями из заданной совокупности высказываний можно строить различные сложные высказывания. При этом порядок выполнения операций указывается скобками.

Формула логики высказываний – __________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего приоритета операций:

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Законы логики высказываний

Равносильными _________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Равносильность формул будем обозначать знаком , а запись означает, что формулы А и В равносильны.

Тавтологией (тождественно истинной) __________________________________________

________________________________________________________________________________

Противоречием (тождественно ложной) _________________________________________

________________________________________________________________________________

Между понятиями равносильности и эквивалентности существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула А«В – тавтология, и обратно, если формула А«В – тавтология, то формулы А и В равносильны.

Очевидно, формула не является тавтологией, если она принимает значение Л хотя бы на одном наборе значений переменных. Определение дает нам автоматическую процедуру установления того, является ли какая-либо формула тавтологией: достаточно вычислить ее таблицу истинности и установить, что всегда получаются лишь значения И. Этот способ универсальный и надо им пользоваться, если возникают сомнения.

Например, тавтологией является следующее высказывание. «Если внедрить новую технологию (А), то качество продукции улучшится (В). При улучшении качества продукции (В) ее сбыт увеличится (С). Новая технология внедрена (А). Следовательно, сбыт продукции увеличился (С)». Оно выражается следующей формулой:______________________________________________

Составим таблицу истинности:

А	В	С
Л	Л	Л
Л	Л	И
Л	И	Л
Л	И	И
И	Л	Л
И	Л	И
И	И	Л
И	И	И

Теорема. Пусть В – формула, в которую входят только элементарные формулы , а В* – формула, полученная из В одновременной подстановкой формул вместо соответственно. Если В – тавтология (╞ В), то В* – тавтология (╞ В*). Другими словами, различные подстановки в тавтология, независимо от их конкретного содержания, всегда являются истинными (общезначимыми) предложениями в силу одной только своей логической структуры. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно.

Основные законы логики высказываний:

╞ ╞

╞ ╞

╞ ╞

╞ ╞

╞ ╞

╞ ╞ – принцип тождества

╞ ╞

╞ – цепное заключение

╞ – перестановка посылок

╞ – закон экпортации (вынесения)

╞ – отрицание антцедента (из ложного что угодно)

╞ – закон контрапозиции

╞ – закон силлогизма

╞ – закон отделения ╞

╞ – рефлексивность ╞ – симметричность

╞ – транзитивность

╞ ╞ – ассоциативность

╞ ╞ – коммутативность

╞ ╞–дистрибутивность

╞ ╞ – идемпотентность

╞ ╞ – элиминация

╞ – закон двойного отрицания ╞ – закон исключенного третьего

╞ – отрицание противоречия ╞ – отрицание импликации

╞ ╞ - законы де Моргана

╞ ╞

╞ ╞

╞ ╞

╞