Расчет переходных процессов в сложных и специальных схемах

10.5. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В СЛОЖНЫХ И СПЕЦИАЛЬНЫХ СХЕМАХ

10.5.1. Понятие о частотном методе

Метод аналогичен операторному, но вместо преобразования Лапласа использует преобразования Фурье – прямое и обратное:

Если рассматриваются переходные процессы с нулевыми независимыми начальными условиями (а именно о них идет речь в этом разделе), то можно воспользоваться прямым односторонним преобразованием Фурье:

(10.35)

Оно позволяет по оригиналу найти его частотный спектр 

Формула (10.35) представляет собой частный случай прямого преобразования Лапласа (10.18) при замене р на jw. Поэтому для нахождения частотных спектров можно использовать таблицы перехода от оригинала к изображению по Лапласу с той же самой заменой (см. табл. 10.1 и в приложении).

Следует только предварительно проверить, существует ли спектр данной функции времени. Дело в том, что прямое преобразование Фурье по сравнению с преобразованием Лапласа применимо к более ограниченному классу временных функций. Они должны быть абсолютно интегрируемы, т. е. должен существовать интеграл Например, экспонента при имеет изображение по Лапласу, но ее частотный спектр не может быть определен. Даже частотный спектр единичного скачка Хевисайда можно найти лишь предельным переходом от затухающей экспоненты. Действительно, поскольку 1

Обратное преобразование Фурье

(10.36)

дает возможность по частотному спектру  найти оригинал . А в частном случае, когда частотный спектр представляет собой рациональную дробь, для этой цели подходит и теорема разложения (10.26) – опять же с заменой р на jw.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме имеют тот же вид, что и в операторной, но вместо операторных изображений токов и напряжений в них фигурируют частотные спектры соответствующих величин, вместо операторного сопротивления – комплексное. Последнее выглядит в буквенном виде так же, как в комплексном методе, но представляет собой не комплексное число, а функцию частоты.

Первый закон Кирхгофа для узла:
Второй закон Кирхгофа для контура:
Закон Ома для ветви R, L, C:	.
Комплексное сопротивление ветви:

В общем случае расчет частотным методом аналогичен расчету операторным, но рассчитывается комплексная схема замещения послекоммутационной цепи, которая естественно, подобна операторной схеме (сравните табл. 10.4 с табл. 10.3).

Таблица 10.4
Элемент схемы	Изображение	Соотношения
		Напряжение не зависит от тока
		Ток не зависит от напряжения

Использование частотного метода целесообразно, когда приходится производить одновременно какие-нибудь исследования, использующие аналитический аппарат, основанный на преобразовании Фурье. Примером могут служить системы автоматического регулирования с исследованием проблем устойчивости, качества регулирования и т. п.

Преимущества же именно частотного метода сказываются при расчетах приближенными методами переходных процессов в цепях высоких порядков, особенно когда частотные характеристики цепи получены в результате эксперимента.

Пусть, например, частотный спектр величины на входе некоторой электрической цепи (рис. 10.23,а) известен:    Тогда частотный спектр выходной величины  можно найти как Здесь – комплексная передаточная функция, которая определяется расчетом комплексной схемы замещения цепи или экспериментально. В свою очередь – амплитудно-частотная характеристика, – фазо-частотная характеристика, – вещественная частотная характеристика, – мнимая частотная характеристика. Нетрудно заметить, что и являются четными функциями частоты, а и – нечетными.

Если входная величина изменяется по закону единичного скачка Хевисайда то ее частотный спектр, как показано выше, . В этом случае оригинал выходной величины (переходная характеристика) может быть найден как Тогда по теореме дифференцирования при нулевых начальных условиях и с помощью (10.36) можно найти

Учитывая соображения о четности и нечетности частотных характеристик, приходим к выводу, что первый интеграл – это четная функция частоты и поэтому его значения на интервалах (–∞, 0) и (0, ∞) одинаковы, а второй интеграл – нечетная функция частоты и равен нулю. Поэтому

.

Если заменить в этой формуле t на и учесть, что до коммутации цепь не имела запасов энергии, так что то окажется

Расписывая тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов через синусы и косинусы каждого из углов, получим

После почленного сложения и вычитания этих равенств придем к формуле

И, наконец, взяв интеграл с учетом получим:

Эта формула служит основой для приближенного вычисления переходной функции по вещественной или по мнимой частотной характеристике.

Более подробное знакомство с частотным методом предполагается в специальных курсах.