КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
Санкт-Петербургский колледж управления и экономики
«Александровский лицей»
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Методические указания к выполнению расчетного задания
Санкт-Петербург
2013
Оглавление
Введение. 3
Приближение табличных функций по методу наименьших квадратов. 3
Полиномиальное приближение по методу наименьших квадратов. 4
Варианты заданий. 6
Список рекомендуемой литературы.. 7
Введение
В методических указаниях изложены краткие теоретические сведения о том, что представляет собой метод наименьших квадратов и когда его применять.
Представлен вывод коэффициентов полинома второй степени по методу наименьших квадратов, а также таблицы, упрощающие трудоемкий процесс вычисления.
В методических указаниях содержится 15 вариантов расчетных заданий. В каждом задании необходимо аппроксимировать табличную функцию полиномом второй степени, а также определить степень достоверности такого приближения.
Приближение табличных функций по методу наименьших квадратов
Пусть в результате экспериментов получена таблица значений некоторой функции 
с произвольным расположением аргументов x
x | X0 | X1 | X2 | …….. | xn |
y | Y0 | Y1 | Y2 | …….. | yn |
На основе этой таблицы требуется найти формулу 
, приближенно описывающую зависимость между экспериментальными данными этой таблицы.
Метод интерполяции, в основе которого предполагается утверждение, что 
, не подходит, в основном по двум причинам:
1. Интерполяционный полином часто является полиномом высокой степени, что является неудобным на практике. Кроме того, построение этого полинома затруднительно, тогда, когда «шаг таблицы» не является постоянным.
2. Экспериментальные данные сами являются случайными величинами, и имеют случайные и систематические ошибки. В этом случае интерполированием стараются «сглаживать» случайные ошибки. Интерполирующий полином включает в себя вместе с данными все их погрешности и в результате может оказаться довольно грубым приближением. С помощью простой функции, проходящей около таблицы данных, удается добиться эффекта сглаживания ошибок и получить более точное приближение. По этим причинам не стоит требовать от функции 
обязательного равенства с табличными значениями 
в узлах таблицы. Главное, чтобы она была достаточно простой, учитывала характер табличной функции и имела близкие к 
значения в узлах таблицы.
Будем называть - эмпирической функцией. Поиск осуществляется графически: на координатной плоскости отмечаются точки (xi;yi) в соответствие с таблицей, а затем по характеру расположения подбирается вид из числа известных элементарных функций (см. рис.1).
Часто выбираются, как многочлены не высокой степени 
, 
; тригонометрические функции 
,
; логарифмические функции 
; показательные функции
; дробно-линейные 
и др.
Пусть вид выбран, причем функция 
зависит от одного, двух или более параметров. Что бы определить функцию, необходимо определить эти параметры таким образом, чтобы расстояние от до 
на 
было минимальным.
Числа 
называется «уклонениями», а 
- среднеквадратичным уклонением.
Рис.1. График эмпирической функции
Задача наилучшего приближения функции функции сводится к задаче минимизации 
- среднеквадратичного уклонения, т. к. подкоренное выражение является «квадратом», то этот метод получил название метода наименьших квадратов. Здесь не ставится задача оценки погрешности приближенного равенства 
,т. к. приближение получено наилучшей функцией в выбранном классе функций.
Полиномиальное приближение по методу наименьших квадратов
Пусть выбрана в классе алгебраических функций 
. Необходимо определить параметры a,b,c наилучшим способом так, чтобы среднеквадратичное уклонения было минимально. Будем минимизировать функцию 
Частные производные 
,
,
должны быть равны «0». Составим систему для нахождения параметров a,b,c.
имеем систему:
Для упрощения вычислений коэффициенты в системе при неизвестных a,b,c необходимо представить в виде таблицы:
Xi 4 | X04 | X14 | X24 | ……. | Xn4 |
|
Xi 3 | X03 | X23 | X23 | ……. | Xn3 |
|
Xi 2 | X02 | X22 | X32 | ……. | Xn2 |
|
Xi | X0 | X1 | X2 | ……. | Xn |
|
Yi | Y0 | Y1 | Y2 | ……. | Yn |
|
Xi 2yi | X02y0 | X12y1 | X22y2 | ……. | Xn2yn |
|
Xi yi | X0y0 | X1y1 | X2y2 | ……. | xnyn |
|
Система линейных уравнений с неизвестными a, b ,c
Ma + Nb + Kc = C
Na + Kb + Ac = D
Ka + Ab + c(n+1) = B
решается методом Гаусса, либо методом Крамера.
После нахождения a, b ,c необходимо вычислить средне квадратичное уклонение.
Для удобства вычисления результаты сведем в таблицу
x |
|
|
| …… |
|
y |
|
|
| …… |
|
P(x) |
|
|
| .….. |
|
V |
|
|
| …… |
|
V2 |
|
|
| …… |
|
Варианты заданий
Для расчетного задания «Квадратичное приближение табличных функций по методу наименьших квадратов»
Таблица | |||||||
Вариант 1 | x | 0,10 | 0,30 | 0,40 | 0,60 | 0,70 | 0,80 |
y | 0,25 | 0,50 | 0,65 | 0,55 | 0,42 | 0,30 | |
Вариант 2 | x | -2,00 | -1,80 | -1,70 | -1,60 | -1,40 | -1,30 |
y | 5,10 | 4,00 | 3,20 | 3,90 | 4,80 | 0,60 | |
Вариант 3 | x | 1,30 | 1,40 | 1,60 | 1,70 | 2,00 | 2,10 |
y | 2,40 | 1,80 | 0,05 | 1,40 | 2,30 | 2,90 | |
Вариант 4 | x | 0,40 | 0,70 | 0,90 | 0,10 | 1,40 | 1,60 |
y | 0,15 | 0,83 | 1,65 | 1,52 | 0,90 | 0,31 | |
Вариант 5 | x | 2,00 | 2,50 | 2,70 | 2,90 | 3,20 | 3,40 |
y | -0,11 | -0,81 | -1,05 | -0,90 | -0,23 | -0,05 | |
Вариант 6 | x | -0,50 | -0,30 | -0,20 | 0,10 | 0,40 | 0,80 |
y | 2,30 | 1,20 | 1,05 | 0,90 | 1,20 | 2,10 | |
Вариант 7 | x | 1,10 | 2,00 | 2,50 | 2,90 | 3,50 | 4,00 |
y | 0,32 | 0,05 | -0,10 | -0,12 | 0,12 | 0,27 | |
Вариант 8 | x | 0,30 | 0,50 | 0,80 | 0,90 | 1,20 | 1,40 |
y | 1,10 | 0,60 | 0,40 | 0,38 | 0,65 | 0,90 | |
Вариант 9 | x | -0,40 | -0,10 | 0,10 | 0,20 | 0,50 | 0,70 |
y | 1,30 | 3,50 | 4,20 | 4,00 | 2,80 | 1,60 | |
Вариант 10 | x | 1,20 | 1,40 | 1,50 | 1,60 | 1,80 | 2,10 |
y | 0,90 | 3,30 | 4,10 | 3,90 | 2,80 | 1,10 | |
Вариант 11 | x | -0,90 | -0,80 | -0,50 | -0,40 | -0,20 | -0,10 |
y | 0,15 | 0,61 | 1,20 | 1,10 | 0,70 | 0,22 | |
Вариант 12 | x | -1,00 | -0,80 | -0,70 | -0,40 | -0,30 | -0,20 |
y | 1,40 | 0,90 | 0,65 | 0,51 | 0,78 | 1,30 | |
Вариант 13 | x | 0,20 | 0,30 | 0,50 | 0,70 | 0,90 | 1,20 |
y | -2,10 | -0,50 | 1,15 | 1,30 | -0,60 | -0,29 | |
Вариант 14 | x | 2,20 | 2,50 | 2,60 | 2,80 | 3,10 | 3,20 |
y | 1,70 | 0,80 | 0,52 | 0,30 | 0,91 | 1,50 | |
Вариант 15 | x | -0,30 | -0,10 | 0,20 | 0,30 | 0,70 | 0,90 |
y | -2,10 | 1,30 | 3,00 | 2,40 | -2,30 | -8,00 |
1. На координатной плоскости построить точечный график функции y=f(x), заданной таблично; убедиться, что он располагается вблизи графика некоторой квадратной параболы.
2. Написать систему уравнений для определения коэффициентов 
и решить её.
3. Построить график и убедиться, что он находится вблизи графика y=f(x)
4. Найти все уклонения и среднеквадратичное уклонение многочлена от табличной функции y=f(x)
Список рекомендуемой литературы
1. , , .
Высшая математика в упражнениях и задачах. - М. , «Высшая школа».1997
2. Исаков численных методов. –М.:ACADEMA, 2003
3. Амосов Ю. А., Копченова методы для инженеров. –М.: Высшая школа, 1994
