МОСКОВСКАЯ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
Согласовано на уч. год Начальник УМУ__________________ «_____»_______________2009 г. |
Дисциплина: Математика (4 часть из 4)
Специальность (направление): все
Форма обучения: все
Программа для подготовки к экзамену
I. Теоретическая часть.
1. Определители. Определения, свойства, способы вычисления.
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений по теореме Крамера.
3. Матрицы. Определения, свойства, обратная матрица.
4. Матричный способ записи и решения систем линейных алгебраических уравнений.
5. Ранг матрицы. Способы вычисления. Теорема Кронекера-Капелли.
6. Алгоритм исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений.
7. Векторы. Определения, свойства, линейные операции, разложение вектора по базису.
8. Скалярное произведение. Определения, свойства, решение в координатной форме.
9. Векторное произведение. Определения, свойства, решение в координатной форме.
10. Смешанное произведение. Определение, свойства, решение в координатной форме.
11. Уравнения прямой на плоскости. Отображение уравнений на графиках.
12. Основные задачи на прямую на плоскости.
13. Линии второго порядка на плоскости. Окружность и эллипс. Определения, уравнения, основные свойства.
14. Гипербола и парабола. Основные определения, уравнения и свойства.
15. Уравнения плоскости в пространстве.
16. Основные задачи на плоскость.
17. Уравнения прямой в пространстве.
18. Основные задачи на прямую в пространстве.
19. Функция. Определения и свойства.
20. Основные элементарные функции. Определения, формулы, свойства, графики.
21. Построение графиков элементарных функций.
22. Предел числовой последовательности.
23. Предел функции в точке и в бесконечности.
24. Бесконечно малые функции и их свойства.
25. Основные теоремы о пределах функции.
26. Первый и второй замечательные пределы, их следствия.
27. Сравнение бесконечно малых функций.
28. Неопределенные выражения. Приемы раскрытия неопределенных выражений.
29. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.
30. Основные свойства функции, непрерывной в точке. Непрерывность функции на отрезке.
31. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая формы комплексного числа.
32. Арифметические операции над комплексными числами.
33. Производная. Определение, геометрический смысл.
34. Дифференциал. Определение, геометрический смысл.
35. Основные правила дифференцирования.
36. Таблица производных основных элементарных функций.
37. Правила дифференцирования сложной и неявной функций.
38. Производные высших порядков. Определение, правила нахождения.
39. Правило Лопиталя.
40. Основные теоремы дифференциального исчисления.
41. Возрастание и убывание функции. Определение, графическое представление.
42. Теоремы об условиях возрастания и убывания функции.
43. Экстремумы функции. Определения, необходимое условие существования экстремума.
44. Достаточные условия существования экстремума.
45. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
46. Выпуклость функции. Определение, условия выпуклости функции.
47. Точки перегиба. Определение, условия существования.
48. Асимптоты графика функции. Определение, уравнения асимптот.
49. Схема исследования функции и построения ее графика.
50. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные понятия и определения.
51. Основные свойства неопределенного интеграла.
52. Основные методы интегрирования.
53. Таблица неопределенных интегралов от простейших функций.
54. Рациональные дроби. Основные понятия. Разложение рациональной дроби на простейшие.
55. Интегрирование простейших рациональных дробей.
56. Интегрирование тригонометрических выражений.
57. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
58. Определенный интеграл. Определение, геометрический смысл.
59. Основные свойства определенного интеграла.
60. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
61. Основные методы вычисления определенного интеграла.
62. Вычисление площади плоской криволинейной трапеции.
63. Функция двух переменных. Определение, способы задания, область определения.
64. Предел функции двух переменных.
65. Непрерывность функции двух переменных в точке и в области.
66. Частные производные функции двух переменных. Определение, геометрический смысл, алгоритм вычисления.
67. Частные и полный дифференциалы функции двух переменных. Определения, вычисление.
68. Сложные и неявные производные функции двух переменных.
69. Производные и дифференциалы высших порядков.
70. Экстремумы функции двух переменных. Определения, необходимое условие существования.
71. Достаточное условие существования экстремумов функции двух переменных.
72. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Определения, уравнения.
73. Двойной интеграл. Определение, геометрический смысл.
74. Основные свойства двойного интеграла.
75. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат.
76. Замена переменной в двойном интеграле.
77. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла.
78. Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка. Основные определения, ДУ с разделенными и разделяющимися переменными.
79. Однородные ДУ первого порядка. Определение, методика решения.
80. Линейные ДУ первого порядка, подстановка Бернулли, метод Лагранжа.
81. ДУ высших порядков. Основные понятия и определения., интегрирование ДУ, допускающих понижение порядка.
82. Числовой ряд. Основные понятия и определения.
83. Основные свойства сходящихся числовых рядов.
84. Признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов.
85. Знакочередующиеся числовые ряды. Определение. Признак сходимости Лейбница.
86. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Признак Даламбера.
87. Степенной ряд. Основные понятия и определения.
88. Сходимость степенных рядов в точке, интервале, области. Формулы радиуса, интервала и области сходимости.
89. Множества. Операции с множествами.
90. Диаграммы Эйлера-Венна.
91. Декартово произведение множеств. Функция. Взаимно-однозначное соответствие.
92. Мощность конечных и бесконечных множеств. Счетность. Теорема Кантора.
93. Высказывания. Основные операции с высказываниями.
94. Таблицы истинности высказываний.
95. Основные тождества алгебры логики.
96. Предикаты. Множества истинности предикатов.
97. Кванторы. Тождества алгебры предикатов.
98. Комбинаторика. Выборки. Упорядоченные и неупорядоченные выборки.
99. Факториал. Свойства факториалов.
100. Сочетания. Свойства сочетаний. Правило суммы и правило произведения.
101. Треугольник Паскаля и бином Ньютона.
102. Упорядоченные множества (кортежи). Размещения. Перестановки.
103. Размещения с повторениями.
104. Комбинаторные уравнения.
105. Случайные события и случайные величины. Вероятностная модель.
106. Сумма и произведение событий. Дополнительное событие. Достоверное и невозможное события. Независимые и несовместные события.
107. Вероятность события. Полная группа. Элементарное событие. Базис равновероятных элементарных событий.
108. Сумма и произведения вероятностей.
109. Формула полной вероятности и формула Байеса.
110. Функция распределения случайной величины. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия.
II. Типовые задачи.
1. Определители (детерминанты).
Вычислить определители:
1.1. 
;
1.2. 
;
1.3. 
.
2. Операции с квадратными матрицами.
Даны матрицы: 
и 
. Найти:
2.1. 5А – В;
2.2. 3Аt – 2B;
2.3. АВ.
3. Операции с прямоугольными матрицами
3.1. Даны матрицы А=
и В=
. Найти их произведение.
4. Ранг матрицы. Расширенная матрица системы уравнений. Частные определители.
4.1. Определить ранг матрицы 
;
4.2. Вычислить частные определители системы 
.
5. Обратные матрицы.
5.1. Найти обратные матрицу для матрицы 
.
6. Системы линейных алгебраических уравнений
6.1. Решить систему 
методом Крамера.
7. Операции с векторами на плоскости.
Даны векторы 
и 
. Найти:
7.1. длины этих векторов;
7.2. 
;
7.3. скалярное произведение данных векторов и угол между ними.
8. Операции с векторами в пространстве
Даны векторы 
и 
. Найти:
8.1. длины этих векторов;
8.2. 
;
8.3. скалярное произведение данных векторов и угол между ними.
9. Векторное и смешанное произведение векторов.
9.1. Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах 
(1;0;1), 
(4;-1;-1), 
(1;0;1).
10. Прямые и окружности на плоскости.
10.1. Составить уравнение прямой, представленной на рисунке.
10.2. Определить угловой коэффициент "k" и величину отрезка "b", отсекаемого прямой 
на оси OY.
10.3. Даны уравнения прямых:
а) x+y+1=0; б) x+y=0; в) 2·x+y+2=0; г) y=2·x
Какие из заданных прямых параллельны?
10.4. Составить уравнение прямой, если известно, что прямая проходит через точку М(1;1) и имеет угловой коэффициент к=1.
10.5. Найти длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой
3у+4х-12=0 с осями координат.
10.6. Определить угол между прямыми х–2у–2=0 и у=–2 х+3.
10.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
.
10.8. Определить, с какими из прямых а) у=3; б) у=-х; в) х=5; г) у=2х пересекается окружность х2 +у2=25.
10.9. Определить координаты центра и радиус окружности х2 +у2 –4х+8у–16=0.
10.10. Составить уравнение окружности, проходящей через точку М(-1;1) и центр которой лежит в точке С(-4;5).
10.11. Определить координаты центра окружности, заданной уравнением 
.
10.12. Составить уравнение касательной к окружности 
в точке (3;–1).
10.13. Составить каноническое уравнение окружности, представленной на рисунке.
11. Кривые второго порядка.
11.1. Определить координаты фокусов эллипса 25x2+9y2=900.
11.2. Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х2 =4у.
11.3. Определить, какая кривая задается уравнением:
· 
;
· 
;
· 
;
· 
.
12. Прямые, плоскости и сферы.
12.1. Определить, какое из уравнений а) 2x-3y+z+1=0; б) x+2y-6=0; в) x+3y=0 определяет плоскость, параллельную оси OZ.
12.2. Найти координаты нормального вектора к плоскости 2·x-3·y+z-6=0.
12.3. Определить взаимное расположение прямых 
и 
.
13. Поверхности второго порядка.
13.1. Определить, какая поверхность задаётся уравнением
· 
;
· 
;
· 
.
14. Функции.
14.1. Определить на какое множество функция 
отображает множество (0; 1).
14.2. Определить на какое множество функция 
отображает множество (0; 2).
15. Пределы дробно-рациональных функций и замечательные пределы
Вычислить пределы:
15.1. 
.
15.2. 
15.3. 
.
16. Сложные пределы
16.1. 
.
16.2. 
17. Дифференцируемость функции
17.1. Вычислить значение производной функции 
в точке х0=2.
18. Производные элементарных функций
18.1. Найти производную функции 
.
19. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной
19.1. Составить уравнение касательной к графику функции 
в точке (1;2).
20. Возрастание, убывание, экстремумы функции одной переменной.
20.1. Исследовать на экстремум функцию y=2x2+6x-7.
20.2. Определить наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
.
21. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции одной переменной
21.1. График какой функции на всем отрезке 
одновременно удовлетворяет трем условиям: 
; 
; 
?
21.2. Исследовать характер вогнутости функции 
на отрезке 
.
22. Табличные интегралы
22.1. Вычислить интеграл
.
22.2. Вычислить интеграл
.
22.3. Вычислить интеграл
.
22.4. Вычислить интеграл
.
22.5. Вычислить интеграл
.
23. Интегрирование подстановкой
23.1. Вычислить интеграл 
23.2. Вычислить интеграл 
23.3. Вычислить интеграл 
24. Интегрирование по частям
24.1. Вычислить интеграл 
24.2. Вычислить интеграл 
24.3. Вычислить интеграл 
25. Геометрический смысл интеграла
25.1. Каким интегралом задается площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже?
25.2.
 |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, 
и 
25.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
26. Частные производные первого порядка функции многих переменных.
26.1. Найти значение 
в точке 
, е сли 
.
26.2. Найти 
, если 
.
27. Частные производные высших порядков функции многих переменных.
27.1. Вычислить вторую производную 
функции 
.
27.2. Вычислить вторую производную 
функции 
.
28. Экстремумы функций двух переменных.
28.1. Определить координаты стационарной точки функции z=x2-xy+y2+6x.
29. Кратные и повторные интегралы
29.1. Вычислить двойной интеграл 
по прямоугольнику 
.
29.2. Площадь области S ограничена графиками функций: y=-x2+9 и y=x+3. Записать двойной и повторный интегралы, выражающие эту площадь.
30. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
30.1. Определить частное решение дифференциального уравнения
при у(0)=1 .
30.2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 
.
31. Числовые ряды
31.1. Найти формулу общего члена числового ряда
….
31.2. Исследовать на сходимость ряды:
a) 
; b) 
; c) 
.
32. Ряд Тейлора
32.1. Найти радиус сходимости R степенного ряда 
.
32.2. Выписать первые три отличные от нуля члена ряда Тейлора, при разложении функции 
в окрестности точки 
.
33. Теория множеств.
33.1. Пусть А – множество различных букв слова «РЕКЛАМА», В – множество различных букв слова «МАРКЕТИНГ». Найти АÈВ, АÇВ, А\В, В\А.
33.2. Пусть А = { (x, y) | x<y}; В = {(x, y) | y >0 } Изобразить множества АÇВ, ВÈА, А\В, В\А.
33.3. Даны множества A = {1,5,7,137}, B = {5,7,23}, C = {0,1,5, 23}, D = {0,7,23,1998}. Найдите множество (AÈB) \ (CÇD)
33.4. Пусть А={Аня; Лена; Вова}, B={Велосипед; Ролики}. Найти декартово произведение AxB. Выделить из него функцию
34. Алгебра логики.
34.1. Построить таблицу истинности для высказывания A & B Ú ØA Þ A & (B Ú C)
34.2. Пусть, A = “ 2·2 = 5 ”, B= ” Париж – столица Китая ”.
Сформулировать (словами) высказывание A Þ ØB и определить истинно оно или ложно
34.3. Пусть, P(n) = “ n – натуральное, кратное трем”, Q(n) = “n < 20”. Найти множество истинности предиката ØP(n) Ú ØQ(n)
34.4. Пусть, на множестве рек задан предикат P(x) = “x – протекает через несколько стран”. Сформулировать 4 высказывания: "xP(x), $xP(x) и их отрицания. Определить истинность полученных высказываний
35. Комбинаторика
35.1. Сколько прямых можно провести через 8 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, так чтобы каждая прямая проходила через 2 точки?
35.2. Сколько различных шестизначных чисел, начинающихся цифрой 2 и оканчивающихся цифрой 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что каждая цифра в обозначении числа встречается 1 раз?
35.3. Найти m и n, если 
.
35.4. Вычислить: 
.
36. Теория вероятностей.
36.1. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность того, что появится не менее пяти очков.
36.2. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают сразу 2 шара. Найти вероятность того, что шары разного цвета.
36.3. Пусть, испытание-приобретение одного лотерейного билета; событие А-«выигрыш 1000 рублей»; событие B – «любой выигрыш», событие C-«отсутствие выигрыша». Найти A+B+C, A·B·C, (A+B)·C, (A+C)·B. Как называются полученные события? Чему равны их вероятности? Объяснить полученные результаты.
36.4. Завод изготовил две партии телевизоров. Первая партия телевизоров в два раза больше второй. Надежность телевизоров первой партии-0.9, второй партии-0.8. Определить вероятность того, что наугад купленный телевизор будет надежным.
III. Типовые билеты
Типовой билет №1
1. | Вычислить |
2. | Вычислить частный определитель Dz системы |
3. | Даны векторы |
4. | Выяснить какие из прямых, заданных уравнениями параллельны: а) х+4у-7=0; в) 12у=3х+3; с) 8у=9-4х; д) 4х+у=7. |
5. | Вычислить предел: |
6. | Вычислить производную |
7. | Определить наибольшее значение функции |
8. | Вычислить интеграл |
9. | Найти М(3X+3), если случайная величина X задана плотностью распределения |
10. | В результате пяти измерений длины стержня одним прибором (без математических погрешностей) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти несмещенную оценку длины стержня. |
.
(-5;2). Найти скалярное произведение 
.Типовой билет №2
1. | Решить систему линейных уравнений:
|
2. | Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах |
3. | Уравнение касательной к графику функции |
4. | Определить промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции |
5. | Вычислить интеграл |
6. | Вторая производная |
7. | Решить задачу линейного программирования:
|
8. | Вычислить двойной интеграл |
9. | Найти частное решение дифференциального уравнения |
10. | Вычислить: |
=(-1;1;0), 
в точке (-1;2) имеет вид...
.
функции 
равна
по прямоугольнику 
.
.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
Демин . Учебно-методическое пособие для экономистов. – М.: МФА, 2002 – 130 с. Демин . Учебно-методическое пособие для гуманитарных специальностей. – М.: МФА, 2002 – 90 с. Письменный лекций по высшей математике: Полный курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 20с.: ил. –(Высшее образование). , , Сальников математика / под ред. . – 3-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 368 с. – (Решебник) – ISBN -1. и др. Высшая математика для экономистов. Учебник, ЮНИТИ, М.,2002г. Щипачев по высшей математике. учебное пособие. Высшая школа, М.,1997 Гмурман вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1999.